Repère dans le plan – Cours

REPÈRE DU PLAN

Repère du plan et coordonnées d’un point

Définition

Deux axes gradués et sécants (OI) et (OJ) forment ce qu’on appelle un repère du plan.

Notation : (O, I, J)

O est appelé origine du repère.

(OI) est appelé axe des abscisses.

(OJ) est appelé axe des ordonnées.

Types de repères

• Repère orthogonal : \( (OI) \perp (OJ) \)

• Repère orthonormé : \( (OI) \perp (OJ) \) et \( OI = OJ \)

Coordonnées d’un point

Soit (O,I,J) un repère orthonormé. À tout point M du plan, on associe un unique couple \( (x_M, y_M) \) de nombres réels appelé couple de coordonnées du point M dans le repère.

Notation

• \( x_M \) est appelé abscisse du point M

• \( y_M \) est appelé ordonnée du point M

Exemple

Soit (O,I,J) un repère orthonormé.

Placer les points suivants : A(2, 4) , B(-2, 1) , C(-4, -2) et D(3, -4)

Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété

Dans un repère orthonormé (O, I, J), soient les points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \) et M le milieu du segment [AB].

Le couple de coordonnées du point M est :

\( M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)

Exemple

Calcul du milieu

Soient A(2, 3) et B(-2, 1) dans un repère orthonormé.
Le milieu M de [AB] a pour coordonnées :
\( x_M = \frac{2 + (-2)}{2} = 0 \)
\( y_M = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)
Donc M(0, 2)

III

Coordonnées d’un vecteur

Propriété

Dans un repère orthonormé (O, I, J), soient les points \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \).

Le couple de coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est :

\( \overrightarrow{AB}(x_B – x_A, y_B – y_A) \)

Exemple

Soient A(4, 3) et B(3, -1) dans un repère orthonormé.

Déterminer les coordonnés du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) :

On a : \( \overrightarrow{AB}(x_B – x_A, y_B – y_A) \)

\( \overrightarrow{AB}(3 – 4, -1-3) \)

\( \overrightarrow{AB}(-1, -4) \)

Vecteurs égaux

Dans un repère orthonormé (O, I, J), soient \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) deux vecteurs non nuls.

\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) signifie que : \( x_B – x_A = x_D – x_C \) et \( y_B – y_A = y_D – y_C \)

Règles de calcul

Soient \( \overrightarrow{AB}(x, y) \) et \( \overrightarrow{CD}(x’, y’) \) deux vecteurs et k un nombre réel, alors :

• \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}(x + x’, y + y’) \)

• \( k\overrightarrow{AB}(kx, ky) \)

Exemple

Calcul vectoriel

Soient \( \overrightarrow{AB}(2, 3) \) et \( \overrightarrow{CD}(-1, 5) \).
• \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} (2 + (-1), 3 + 5) \) ⇒ \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} (1, 8) \)
• \( \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \left(\frac{1}{3} \times 2, \frac{1}{3} \times 3\right) \) ⇒ \( \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\left(\frac{2}{3}, 1\right) \)

Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Propriété

Si dans un repère orthonormé, on a : \( A(x_A, y_A) \) et \( B(x_B, y_B) \), alors la distance entre les points A et B est donnée par :

\( AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \)

Remarque

Si dans un repère orthonormé on a : \( \overrightarrow{AB}(x, y) \), alors la distance AB est donnée par :

\( AB = \sqrt{x^2 + y^2} \)

Exemple

Calcul de distance

Dans un repère orthonormé, soient les points A(3, -2) et B(5, -1).
\( AB = \sqrt{(5 – 3)^2 + (-1 – (-2))^2} \)
\( AB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)

Conclusion

Le repérage dans le plan est une technique fondamentale en géométrie analytique qui permet de localiser des points, de calculer des distances et d’effectuer des opérations vectorielles. La maîtrise des coordonnées, du calcul du milieu et des distances est essentielle pour résoudre de nombreux problèmes géométriques.

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