Statistiques 2AC exercices corrigés
📊Exercice : Questions de cours (Statistiques)
Définissez les termes suivants : population statistique, individu, caractère et modalités.
Donnez la définition de l’effectif d’une donnée, de l’effectif total et de la fréquence.
Qu’appelle-t-on effectif cumulé croissant d’une valeur ? Quelle est la particularité du dernier effectif cumulé ?
Définissez la fréquence cumulée croissante. Quelle est la somme de toutes les fréquences d’une série statistique ?
Donnez la formule de la moyenne arithmétique pondérée pour une série discrète (valeurs \(x_i\) et effectifs \(n_i\)).
Comment calcule-t-on le centre d’une classe du type \([a ; b[\) ? Pourquoi utilise-t-on le centre dans le calcul de la moyenne ?
Qu’est-ce que la médiane d’une série statistique ? Expliquez la méthode de détermination selon que l’effectif total \(N\) est pair ou impair.
Qu’appelle-t-on mode d’une série statistique ? Comment le détermine-t-on pour une série regroupée en classes ?
Citez trois types de représentations graphiques utilisées en statistiques. Dans quel cas utilise-t-on un diagramme en bâtons ? Dans quel cas utilise-t-on un histogramme ?
Population statistique : C’est l’ensemble sur lequel on fait l’étude.
Individu : C’est un élément de la population.
Caractère (ou variable statistique) : C’est la propriété qu’on veut étudier dans une population.
Modalités : Ce sont les différentes valeurs que le caractère peut prendre.
Exemple : Dans une classe de 20 élèves, on étudie le mois de naissance. La population est la classe, chaque élève est un individu, le caractère est le mois de naissance, les modalités sont 1,2,…,12.
Effectif d’une donnée : C’est le nombre de fois que cette donnée apparaît.
Effectif total (N) : C’est la somme des effectifs de toutes les données.
Fréquence (f) : C’est le quotient de l’effectif d’une donnée par l’effectif total. \( f = \frac{\text{effectif}}{N} \)
Exemple : Si la note 10 apparaît 6 fois sur 20 élèves, son effectif est 6, N=20, sa fréquence est 6/20 = 0,3.
Effectif cumulé croissant d’une valeur : C’est la somme de l’effectif de cette valeur et des effectifs de toutes les valeurs précédentes (dans l’ordre croissant).
Particularité : Le dernier effectif cumulé est toujours égal à l’effectif total \(N\).
Exemple : Si les effectifs sont 2, 5, 3, les ECC sont 2, 7, 10.
Fréquence cumulée croissante : C’est la somme des fréquences de cette valeur et des fréquences de toutes les valeurs précédentes (dans l’ordre croissant).
Somme de toutes les fréquences : La somme de toutes les fréquences d’une série statistique est toujours égale à 1.
Exemple : Fréquences : 0,2 ; 0,3 ; 0,5 → FCC : 0,2 ; 0,5 ; 1.
Pour une série statistique discrète avec des valeurs \(x_i\) et des effectifs \(n_i\), la moyenne arithmétique pondérée est donnée par :
où \(N = n_1 + n_2 + … + n_p\) est l’effectif total.
Le centre d’une classe \([a ; b[\) ou \(a \leq x < b\) est donné par :
Utilisation : On utilise le centre de chaque classe pour calculer la moyenne d’une série regroupée en classes, en considérant que toutes les valeurs de la classe sont égales au centre.
Exemple : Pour la classe [8,12[, le centre est (8+12)/2 = 10.
Médiane : C’est la valeur qui partage la série statistique ordonnée en deux parties de même effectif.
Méthode de calcul :
- Si l’effectif total \(N\) est impair : la médiane est la valeur de rang \(\frac{N+1}{2}\).
- Si l’effectif total \(N\) est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang \(\frac{N}{2}\) et \(\frac{N}{2}+1\).
Exemple : Si N=25 (impair), médiane = 13e valeur. Si N=30 (pair), médiane = (15e + 16e)/2.
Mode : C’est la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif.
Pour une série regroupée en classes : On détermine la classe modale qui est celle ayant le plus grand effectif.
Exemple : Si les effectifs sont 1, 6, 7, 8, 3, la classe modale est celle dont l’effectif est 8.
Trois types de représentations graphiques :
- Diagramme en bâtons (pour un caractère quantitatif discret)
- Diagramme en tuyau d’orgue (pour un caractère qualitatif)
- Diagramme circulaire (pour des pourcentages ou des effectifs)
Diagramme en bâtons : On l’utilise quand le caractère représente des valeurs . Chaque valeur est représentée par un bâton vertical dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
Histogramme : On l’utilise pour une série regroupée en classes. Chaque classe est représentée par un rectangle dont la largeur est l’amplitude de la classe et la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
📊Exercice 1 :
La liste suivante donne les notes d’un contrôle surveillé en mathématiques dans une classe de 3e année :
12 – 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 13 – 12 – 16 – 12 – 14
14 – 7 – 6 – 12 – 9 – 8 – 13 – 15 – 14 – 16 – 14
Déterminer la population statistique et le caractère étudié.
Construire le tableau des effectifs, effectifs cumulés croissants, fréquences et fréquences cumulées croissantes.
Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique.
Construire un diagramme en bâtons pour cette série statistique.
Population statistique : L’ensemble des élèves de la classe de 3e année.
Caractère étudié : La note obtenue au contrôle surveillé de mathématiques.
Toutes les notes sont comprises entre 6 et 16. Effectif total = 33.
| Note | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 0 | 4 | 3 | 7 | 2 | 3 |
| ECC | 3 | 6 | 9 | 12 | 14 | 14 | 18 | 21 | 28 | 30 | 33 |
| Fréquence | 0,09 | 0,09 | 0,09 | 0,09 | 0,06 | 0 | 0,12 | 0,09 | 0,21 | 0,06 | 0,09 |
| FCC | 0,09 | 0,18 | 0,27 | 0,36 | 0,42 | 0,42 | 0,54 | 0,63 | 0,84 | 0,90 | 1 |
Vérification : La somme des effectifs est 3+3+3+3+2+0+4+3+7+2+3 = 33
La moyenne arithmétique est d’environ 11,30.
📊Exercice 2:
Le tableau suivant donne le nombre de fautes commises par 30 élèves lors d’une dictée en français :
| Nombre de fautes | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6x | 3x | x | 2x | … | 9x |
| Fréquence | 0,3 |
Effectif total = 30 élèves.
Calculer l’effectif correspondant à la valeur 4.
En déduire la valeur du nombre \( x \).
Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique.
Déterminer le pourcentage correspondant à la valeur 5.
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📊Exercice 3: Distribution des notes en arabe
Le diagramme suivant représente la distribution des notes d’élèves lors d’un contrôle de langue arabe :
Figure : Distribution des notes
Déterminer la population statistique et le caractère étudié.
Construire le tableau des effectifs et des fréquences.
Construire le diagramme circulaire de cette série statistique.
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🌡️Exercice 4: Températures dans certaines villes
Le tableau suivant donne les températures dans certaines villes :
14 – 13 – 16 – 22 – 11 – 17 – 16 – 18 – 23 – 24 – 18 – 9 – 20 – 12 – 17 – 10 – 18 – 7 – 21 – 9 – 10 – 17 – 19 – 9
Déterminer la population statistique et le caractère étudié.
Construire le tableau des effectifs et des fréquences.
Construire le diagramme en bâtons de cette série statistique.
Construire le diagramme circulaire de cette série statistique.
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📊Exercice 5 :
Le tableau ci-dessous représente la distribution des effectifs, des fréquences et des pourcentages d’une étude statistique. Certaines cases ont été effacées. Votre ami vous demande de l’aider à trouver les valeurs manquantes, sachant que le nombre total d’unités de l’étude est de 100 unités.
Aidez ensuite votre ami à construire un diagramme circulaire.
| Valeur | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | TOTAL |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 21 | 100 | |||||
| Fréquence | 0,2 | 0,09 | 1 | |||||
| Pourcentage (%) | 12 | 10 | 100% |
Compléter le tableau en trouvant toutes les valeurs manquantes.
Construire le diagramme circulaire correspondant à cette série statistique.
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📊Exercice 6:
Un club est composé de plusieurs personnes dont les âges sont répartis comme suit :
| 17 | 38 | 30 | 18 | 24 |
| 22 | 17 | 24 | 28 | 30 |
| 18 | 24 | 28 | 22 | 30 |
| 18 | 37 | 18 | 29 | 24 |
| 22 |
Déterminer le nombre de membres de ce club.
Construire le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants.
Représenter graphiquement cette série statistique (diagramme en bâtons).
Calculer la moyenne arithmétique de cette série.
Récemment, un nouveau membre a rejoint le club. Déterminer l’âge de ce membre sachant que la moyenne de la série n’a pas changé.
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📊Exercice 7:
On considère la série statistique représentée par le diagramme en bâtons suivant :
Déterminer l’effectif total.
Construire le tableau des effectifs et des effectifs cumulés croissants.
Déterminer la médiane de cette série statistique.
Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique.
La moyenne de cette série change-t-elle si l’effectif correspondant à la valeur 0 change ? Justifiez votre réponse. Si oui, augmentera-t-elle ou diminuera-t-elle ?
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