Symétrie axiale exercices corrigés 2AC
📋Exercice : Questions de cours (Symétrie axiale)
Définir le symétrique d’un point \(A\) par rapport à une droite \((D)\). Quelle condition l’axe \((D)\) doit-il vérifier ?
Qu’est-ce qu’un point invariant dans une symétrie axiale ? Donner un exemple.
Énoncer la propriété concernant le symétrique d’un segment. Que peut-on dire des longueurs ?
Que signifie l’affirmation : « La symétrie axiale est une isométrie » ?
Énoncer la propriété concernant le symétrique d’une droite. Quelle est la position relative de la droite et de son symétrique ?
La symétrie axiale conserve-t-elle l’alignement des points ? Justifier.
Que devient un angle par une symétrie axiale ? Quelle propriété est conservée ?
Énoncer la propriété concernant le symétrique d’un cercle. Que peut-on dire du centre et du rayon ?
Quelles sont les quatre propriétés fondamentales de la symétrie axiale ?
Écrire le tableau récapitulatif des propriétés de la symétrie axiale (élément, symétrique, propriété conservée).
Le symétrique d’un point \(A\) par une symétrie axiale d’axe \((D)\) est le point \(A’\) tel que \((D)\) soit la médiatrice du segment \([AA’]\).
- \((D)\) est perpendiculaire à \([AA’]\)
- \((D)\) coupe \([AA’]\) en son milieu
Un point invariant dans une symétrie axiale est un point qui est son propre symétrique.
Exemple : Tout point \(M\) appartenant à l’axe de symétrie \((D)\) est invariant : \(M = M’\).
Le symétrique d’un segment \([AB]\) par une symétrie axiale est un segment \([A’B’]\) de même longueur.
La symétrie axiale conserve les longueurs.
La symétrie axiale est une isométrie car elle conserve les distances entre deux points.
Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs.
Le symétrique d’une droite \((D)\) par une symétrie axiale est une droite \((D’)\) qui est parallèle à \((D)\).
Si \((D)\) coupe l’axe de symétrie, alors \((D’) = (D)\) (la droite est invariante).
Oui, la symétrie axiale conserve l’alignement.
Si \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés, alors leurs symétriques \(A’\), \(B’\) et \(C’\) sont également alignés.
Le symétrique d’un angle par une symétrie axiale est un angle de même mesure.
La symétrie axiale conserve les mesures des angles.
Le symétrique d’un cercle par une symétrie axiale est un cercle de même rayon \(r\).
- Le centre du cercle image est le symétrique du centre du cercle d’origine.
- Le rayon est conservé.
- Conservation des distances : \(AB = A’B’\)
- Conservation de l’alignement : A, B, C alignés \(\Rightarrow\) A’, B’, C’ alignés
- Conservation des mesures des angles : \(\widehat{ABC} = \widehat{A’B’C’}\)
- Conservation du parallélisme : Le symétrique d’une droite est une droite parallèle.
| Élément | Symétrique | Propriété conservée |
|---|---|---|
| Point | Point (A → A’) | — |
| Segment | Segment (AB → A’B’) | Longueur (AB = A’B’) |
| Distance | Conservée | Isométrie |
| Droite | Droite parallèle | Parallélisme |
| Demi-droite | Demi-droite parallèle | Parallélisme |
| Alignement | Conservé | Alignement |
| Angle | Angle de même mesure | Mesure d’angle |
| Cercle | Cercle de même rayon | Rayon (r) |
📐Exercice 1 : Symétrie axiale – Définition et construction
Compléter et réaliser les constructions suivantes :
Rappel de la définition de la symétrie axiale : (compléter la phrase suivante)
Deux points \(A\) et \(B\) sont symétriques par rapport à la droite \((d)\)
……………………………………………………………………..
Sur papier uni, tracer un segment \([AB]\) de longueur \(5\text{ cm}\). Placer son milieu \(M\).
Tracer en rouge la médiatrice \((d)\) du segment \([AB]\).
Rappel : La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire au segment et qui passe par son milieu.
Deux points \(A\) et \(B\) sont symétriques par rapport à la droite \((d)\)
si \((d)\) est la médiatrice du segment \([AB]\).
Réponse : Figure réalisée avec le segment \([AB]\) de 5 cm, son milieu \(M\) et la médiatrice \((d)\) tracée en rouge.
📐Exercice 2 : Reconnaître des points symétriques
Figure 1 | Figure 2 | Figure 3
Figure 1 : Le point \(B\) est-il le symétrique de \(A\) par rapport à \((d)\) ? Justifier.
Figure 2 : Le point \(B\) est-il le symétrique de \(A\) par rapport à \((d)\) ? Justifier.
Figure 3 : Le point \(B\) est-il le symétrique de \(A\) par rapport à \((d)\) ? Justifier.
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📐Exercice 3 : Construire les symétriques d’un triangle
Figure : Triangle ABC avec les axes (d) et (d’)
Construire le symétrique du triangle \(ABC\) par rapport à la droite \((d’)\) en utilisant le quadrillage.
Construire le symétrique du triangle \(ABC\) par rapport à la droite \((d)\) en utilisant le quadrillage.
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📐Exercice 4 : Constructions au compas – Symétrie axiale
Construire les symétriques demandés en utilisant le compas.
Figure : Segment [AB] et droite (d’) par rapport à l’axe (d)
Construire le symétrique \([A’B’]\) du segment \([AB]\) avec le compas par rapport à \((d)\).
Construire le symétrique \((d_1)\) de la droite \((d’)\) par rapport à \((d)\) à la règle et au compas.
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📐Exercice 5 : Symétrique d’un cercle et d’un demi-cercle
Construire les symétriques demandés par rapport à la droite \((d)\).
Figure : Cercle de centre A et demi-cercle de diamètre [BC]
Construire le symétrique du cercle de centre \(A\) par rapport à \((d)\).
Construire le symétrique du demi-cercle de diamètre \([BC]\) par rapport à \((d)\).
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📐Exercice 6 : Retrouver l’axe de symétrie et construire le symétrique d’un triangle
Sur la figure ci-dessous, le point \(A’\) est le symétrique de \(A\) par rapport à une droite qui a été effacée.
Figure : Le point A’ est le symétrique de A par rapport à un axe effacé
Retrouver graphiquement cette droite en expliquant le pourquoi de votre construction.
Tracer alors le symétrique \(A’B’C’\) du triangle \(ABC\) par rapport à \((d)\).
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📐Exercice 7 : Symétrie axiale – Cercle et droite
On donne la figure ci-dessous :
Figure : Cercle de centre C et droite (d1)
Quel est le symétrique du point \(A\) par rapport à \((d)\) ?
Construire le symétrique du cercle de centre \(C\) et de rayon \([CA]\) par rapport à \((d)\).
Construire le symétrique \((d_1′)\) de la droite \((d_1)\) par rapport à \((d)\).
Quel est le symétrique du cercle de centre \(C\) et rayon \([CA]\) par rapport à \((d_1)\) ?
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📐Exercice 8 : Triangle isocèle et symétrique – Losange
Réaliser les constructions suivantes :
Construire un triangle \(LMP\) isocèle en \(P\) tel que \(LM = 6\text{ cm}\) et \(LP = 4\text{ cm}\).
Construire au compas l’image de ce triangle par rapport à \((LM)\). On appelle \(N\) le symétrique de \(P\).
Quelle est la nature du quadrilatère \(LPMN\) ainsi formé ? Justifier la réponse.
Les points \(L\) et \(M\) sont-ils symétriques ? Si oui, par rapport à quelle droite ? Justifier.
Rappel :
• Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur.
• Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
• Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
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📐Exercice 9 : Deux cercles de même rayon et leurs médiatrices
Réaliser les constructions suivantes :
Tracer deux cercles de même rayon qui se coupent en \(M\) et en \(N\).
Tracer le segment qui joint les centres \(A\) et \(B\) de ces deux cercles.
Tracer la droite \((MN)\).
Que semble représenter la droite \((MN)\) pour le segment \([AB]\) ?
Que semble représenter la droite \((AB)\) pour le segment \([MN]\) ?
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📐Exercice 10 : Médiatrice et symétrie axiale
Réaliser les constructions et répondre aux questions suivantes :
Tracer un segment \([AB]\) puis sa médiatrice \((d)\).
Quel est le symétrique de \(A\) par rapport à \((d)\) ?
Quel est le symétrique de \(B\) par rapport à \((d)\) ?
Placer un point \(K\) sur \((d)\) et n’appartenant pas à \([AB]\). Quel est le symétrique de \(K\) par rapport à \((d)\) ?
Que peut-on dire des longueurs \(KA\) et \(KB\) ?
Que peut-on dire du triangle \(BAK\) ?
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📐Exercice 11 : Symétrique d’un triangle
On considère le triangle \(ABC\) tel que \(AB = 4,5\text{ cm}\), \(AC = 6\text{ cm}\) et \(BC = 4\text{ cm}\), et \((d)\) une droite quelconque.
Construire ce triangle.
Tracer les symétriques \(A’\), \(B’\) et \(C’\) de \(A\), \(B\) et \(C\) par rapport à \((d)\).
Construire le triangle \(A’B’C’\).
Que peut-on dire des segments \([AC]\) et \([A’C’]\) ? Justifier.
Quel angle a la même mesure que l’angle \(\widehat{BAC}\) ? Justifier.
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📐Exercice 12 : Triangle rectangle et symétrie axiale
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que : \(AB = 5\text{ cm}\) et \(\widehat{ABC} = 50^\circ\).
Soit \(B’\) le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\).
Faire une figure.
Montrer que \(B’\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \((AC)\).
En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{CB’B}\).
Soit \(D\) un point de \(BC\) (\(D \neq B\) et \(D \neq C\)). Construire \(D’\) le symétrique de \(D\) par rapport à la droite \((AC)\).
Montrer que : \(BD = B’D’\).
Montrer que les points \(D’\), \(B’\) et \(C\) sont alignés.
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📐Exercice 13 : Triangle rectangle et symétrie axiale
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que :
Soit \(E\) le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\).
Construire la figure.
Montrer que \((AC)\) est la médiatrice du segment \([BE]\).
En déduire que \(CB = CE\).
Calculer le périmètre et l’aire du triangle \(EBC\).
Montrer que \((CA)\) est la bissectrice de l’angle \(\widehat{BCE}\).
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Symétrie axiale exercices corrigés 2AC