Symétrie centrale exercices corrigés pour 1AC biof

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Rappel de cours

Parmi les symétries, la symétrie centrale se construit à partir d’un point. Qu’est ce que le symétrique d’une figure et comment trace-t-on les symétriques de plusieurs figures

1. Symétrie centrale

1.1 Définition

Soit M et I deux points. L’image (ou le symétrique) du point M dans la symétrie centrale de centre I est le point N tel que I est le milieu du segment [MN].

L’image du point I est lui-même. C’est le seul point qui reste invariant (qui est sa propre image) dans la symétrie de centre I.

2 Constructions et propriétés

Construction 1 :

Soit I et M. Construire N l’image de M dans la symétrie de centre I
On trace la demi-droite [MI) puis on trace l’arc de cercle de centre I et de rayon IM qui coupera la demi-droite en N (et en M..)

Construction 2 :

Soit I, M et P. Construire l’image du segment [MP] dans la symétrie centrale de centre I.
On construit l’image de M puis l’image de P. O trouve ainsi les extrémités de l’image du segment.

Propriété : l’image d’un segment dans une symétrie centrale est un segment de même longueur (la symétrie centrale conserve les distances).

Construction 3 :

Soit I et une droite D. Construire l’image de D dans la symétrie centrale de centre I.
On choisit deux points sur la droite D M et P et on procède comme dans la construction 2 mais on trace la droite (RN) au lieu de tracer le segment.

Propriété : l’image dans une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.
Cas particulier : si I appartient à la droite D, la droite D est sa propre image. Elle est dite globalement invariante.

Construction 4 :

Soit I et [Mx) une demi-droite. Construire l’image de [Mx) dans la symétrie centrale de centre I.
On choisit un point P sur [Mx) et on procède comme pour la construction 2 mais on trace la demi-droite [NR) au lieu du segment.

Construction 5 :

Soit I et C un cercle de centre O et de rayon r. Construire l’image de C dans la symétrie centrale de centre I

Exercice 1

Compléter chaque phrase :
1. … est le symétrique de A par rapport à O
2. … est le symétrique de G par rapport à E
3. … est le symétrique de T par rapport à K
4. Q est le symétrique de … par rapport à P
5. O est le symétrique de … par rapport à L
6. B est le symétrique de … par rapport à M
7. C est le symétrique de Q par rapport à …
8. E est le symétrique de A par rapport à …
9. X est le symétrique de H par rapport à …
10. W est le symétrique de A par rapport à …

Corrigé de l'exercice 1

Compléter chaque phrase :
1. S est le symétrique de A par rapport à O
2. C est le symétrique de G par rapport à E
3. H est le symétrique de T par rapport à K
4. Q est le symétrique de A par rapport à P
5. O est le symétrique de I par rapport à L
6. B est le symétrique de V par rapport à M
7. C est le symétrique de Q par rapport à O
8. E est le symétrique de A par rapport à C
9. X est le symétrique de H par rapport à I
10. W est le symétrique de A par rapport à M

Exercice 2

1- On considère dans tout cet exercice la symétrie qui a pour centre le point O.
Par cette symétrie, quels sont les symétriques:

de A ? …… de B ? …… de M ? ……
de D ? …… de E ? …… de P ? ……
de G ? …… de L ? …… de O ? ……

2- Compléter les phrases suivantes :
a. M’ est le symétrique de M par rapport à O signifie que O est le milieu du segment [MM’].
b. B est le symétrique de A par rapport à O signifie que …… est le milieu du segment […………].
c. F est le symétrique de E par rapport à A signifie que …… est le milieu du segment […………].
d. M’ est le symétrique de M par rapport à I signifie que …… est le milieu du segment […………].
e. A2 est le symétrique de A1 par rapport à M signifie que …… est le milieu du segment […………].
f. …… est le symétrique de …… par rapport à …… signifie que A est le milieu du segment [BC].
g. …… est le symétrique de …… par rapport à …… signifie que O est le milieu du segment [MN].
h. …… est le symétrique de …… par rapport à …… signifie que T est le milieu du segment [AA’].
i. …… est le symétrique de …… par rapport à …… signifie que Z est le milieu du segment [EF].
j. …… est le symétrique de …… par rapport à …… signifie que J est le milieu du segment [IK].

Corrigé de l'exercice 2

1- On considère dans tout cet exercice la symétrie qui a pour centre le point O.
Par cette symétrie, quels sont les symétriques:

de A ? E de B ? F de M ? I
de D ? H de E ? A de P ? K
de G ? C de L ? Q de O ? O

2- Compléter les phrases suivantes :

a. M’ est le symétrique de M par rapport à O signifie que O est le milieu du segment [MM’].
b. B est le symétrique de A par rapport à O signifie que O est le milieu du segment [AB].
c. F est le symétrique de E par rapport à A signifie que A est le milieu du segment [EF].
d. M’ est le symétrique de M par rapport à I signifie que I est le milieu du segment [MM’].
e. A2 est le symétrique de A1 par rapport à M signifie que M est le milieu du segment [A1A2].
f. C est le symétrique de B par rapport à A signifie que A est le milieu du segment [BC].
g. N est le symétrique de M par rapport à O signifie que O est le milieu du segment [MN].
h. A’ est le symétrique de A par rapport à T signifie que T est le milieu du segment [AA’].
i. F est le symétrique de E par rapport à Z signifie que Z est le milieu du segment [EF].
j. K est le symétrique de I par rapport à J signifie que J est le milieu du segment [IK].

Exercice 3

Construire dans chaque cadre le symétrique du segment par rapport au centre O :

Corrigé de l'exercice 3

Construire dans chaque cadre le symétrique du segment par rapport au centre O :

Exercice 4

Construire dans chaque cadre le symétrique de la droite (d), puis du point M, par rapport au centre O :

Corrigé de l'exercice 4

Construire dans chaque cadre le symétrique de la droite (d), puis du point M, par rapport au centre O :

Exercice 5

Construire dans chaque cadre le symétrique de la demi-droite [Ax) par rapport au centre O :

Corrigé de l'exercice 5

Construire dans chaque cadre le symétrique de la demi-droite [Ax) par rapport au centre O :

Exercice 6

Construire le symétrique des angles par rapport au centre O :

Corrigé de l'exercice 6

Construire le symétrique des angles par rapport au centre O :

Exercice 7

Construire dans chaque cadre le symétrique du cercle de centre I par rapport à O :

Corrigé de l'exercice 7

Construire dans chaque cadre le symétrique du cercle de centre I par rapport à O :

NB : Les propositions de résultats sont légèrement imprécises avec les outils WORD disponibles

Exercice 8

On considère dans tout cet exercice la symétrie de
centre O.

a. Quel est le symétrique du triangle ABI ?
b. Quel est le symétrique du triangle BCI ?
c. Quel est le symétrique du triangle IJK ?
d. Quel est le symétrique du triangle GHL ?
e. Quel est le symétrique du triangle FGK ?
f. Quel est le symétrique du triangle CEI ?
g. Quel est le symétrique du quadrilatère DEKJ ?
h. Quel est le symétrique du quadrilatère AHLI ?
i. Quel est le symétrique du quadrilatère IJKL ?
j. Quel est le symétrique du pentagone EFKJD ?

Corrigé de l'exercice 8

a. Le symétrique du triangle ABI est EFK
b. Le symétrique du triangle BCI est FGK
c. Le symétrique du triangle IJK est IKL
d. Le symétrique du triangle GHL est CDJ
e. Le symétrique du triangle FGK est BCI
f. Le symétrique du triangle CEI est AGK
g. Le symétrique du quadrilatère DEKJ est AILH
h. Le symétrique du quadrilatère AHLI est DEKJ
i. Le symétrique du quadrilatère IJKL est IJKL
j. Le symétrique du pentagone EFKJD est ABILH

Exercice 9

1- Construire en rouge le symétrique A’B’C’D’ du
quadrilatère ABCD par rapport à O.

2- Construire le symétrique de ce triangle par rapport
au point A.

3-

a. Construire A’ symétrique de A par rapport à B
b. Construire B’ symétrique de B par rapport à C
c. Construire C’ symétrique de C par rapport à A.

Corrigé de l'exercice 9

1-

2-

3-

Exercice 10

a. Construire les symétriques des droites (d) et (AB) par rapport à O.
b. En utilisant uniquement la règle (sans sa graduation), construire les points A’, B’, M’, N’, P’ et Q’
symétriques des points A, B, M, N, P et Q.
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABA’B’.

Corrigé de l'exercice 10

Les diagonales du quadrilatère ABA’B’ se coupent en leur milieu : c’est un parallélogramme.

Exercice 11

On considère le triangle ABC tel que AB 4 5 = , cm, AC 6 = cm et BC 4 = cm.
a. Construire ce triangle.
b. Tracer les symétriques A’ et C’ de A et C par rapport à B.
c. Construire le triangle A’BC’.
d. Que peut-on dire des segments [AC] et [A’C’] ? Justifier.
e. Quel angle a la même mesure que l’angle BAC ? Justifier.

Corrigé de l'exercice 11

a. b. c. Voir dessin.

d. Les deux segments [AC] et [ A’C’] sont parallèles et de même longueur. L’image d’un segment par symétrie centrale est un segment parallèle est de même longueur.
e. l’angle BAC = BA’C’ car la symétrie centrale conserve les mesures d’angles.

Exercice 12

1) Trace un triangle équilatéral $ABC$ tel que $AB=5cm.$

2) Construire un point $O$ extérieur du triangle de $ABC.$

3) Construire les points $A', B'$ et $C'$ symétriques de $ABC$ par rapport à $O.$

4) Quelle est la nature du triangle $A'B'C' ?$ Justifier la réponse par une propriété du cours.

Corrigé de l'exercice 12

Exercice 13

Soit $A B C D$ un carré de côté $4 c m .$

1) Construire le point $O$ centre de symétrique de $A B C D .$

2) Construire les points $E; F$ et $G$ symétriques respectifs des points $B; C$ et $D$ par rapport à $A .$

3) a) Quelle est le symétrique de $A B C D$ par rapport à $A .$

b) En utilisant la figure compléter :

$S_{A} (A) = \dots; S_{A} (C D) = \dots; S_{A} ([A D)) = \dots$

4) Quelle est la nature de $A E F G$ puis calculer son aire.

Corrigé de l'exercice 13

Symétrie centrale

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1. Symétrie centrale

1.1 Définition

2 Constructions et propriétés

Construction 1 :

Construction 2 :

Construction 3 :

Construction 4 :

Construction 5 :

1- On considère dans tout cet exercice la symétrie qui a pour centre le point O.Par cette symétrie, quels sont les symétriques:

de A ? …… de B ? …… de M ? ……de D ? …… de E ? …… de P ? ……de G ? …… de L ? …… de O ? ……

1- On considère dans tout cet exercice la symétrie qui a pour centre le point O.Par cette symétrie, quels sont les symétriques:

de A ? E de B ? F de M ? Ide D ? H de E ? A de P ? Kde G ? C de L ? Q de O ? O

2- Compléter les phrases suivantes :

Construire dans chaque cadre le symétrique du segment par rapport au centre O :

Construire dans chaque cadre le symétrique du segment par rapport au centre O :

Construire dans chaque cadre le symétrique de la droite (d), puis du point M, par rapport au centre O :

Construire dans chaque cadre le symétrique de la droite (d), puis du point M, par rapport au centre O :

Construire dans chaque cadre le symétrique de la demi-droite [Ax) par rapport au centre O :

Construire dans chaque cadre le symétrique de la demi-droite [Ax) par rapport au centre O :

Construire le symétrique des angles par rapport au centre O :

Construire le symétrique des angles par rapport au centre O :

Construire dans chaque cadre le symétrique du cercle de centre I par rapport à O :

Construire dans chaque cadre le symétrique du cercle de centre I par rapport à O :

NB : Les propositions de résultats sont légèrement imprécises avec les outils WORD disponibles

On considère dans tout cet exercice la symétrie decentre O.

1- Construire en rouge le symétrique A’B’C’D’ duquadrilatère ABCD par rapport à O.

2- Construire le symétrique de ce triangle par rapportau point A.

3-

a. Construire A’ symétrique de A par rapport à Bb. Construire B’ symétrique de B par rapport à Cc. Construire C’ symétrique de C par rapport à A.

1-

2-

3-

a. Construire les symétriques des droites (d) et (AB) par rapport à O.b. En utilisant uniquement la règle (sans sa graduation), construire les points A’, B’, M’, N’, P’ et Q’symétriques des points A, B, M, N, P et Q.c. Quelle est la nature du quadrilatère ABA’B’.

Les diagonales du quadrilatère ABA’B’ se coupent en leur milieu : c’est un parallélogramme.

a. b. c. Voir dessin.

d. Les deux segments [AC] et [ A’C’] sont parallèles et de même longueur. L’image d’un segment par symétrie centrale est un segment parallèle est de même longueur.e. l’angle BAC = BA’C’ car la symétrie centrale conserve les mesures d’angles.

1) Trace un triangle équilatéral ABC tel que AB=5cm.

2) Construire un point O extérieur du triangle de ABC.

3) Construire les points A′, B′ et C′symétriques de ABC par rapport à O.

4) Quelle est la nature du triangle A′B′C′ ? Justifier la réponse par une propriété du cours.

Soit ABCD un carré de côté 4cm.

1) Construire le point O centre de symétrique de ABCD.

2) Construire les points E; F; et G symétriques respectifs des pointsB; C ; et D par rapport à A.

3) a) Quelle est le symétrique de ABCD par rapport à A.

b) En utilisant la figure compléter :

SA(A)=…;

SA(CD)=…;

SA([AD))=…

4) Quelle est la nature de AEFG puis calculer son aire.

1- On considère dans tout cet exercice la symétrie qui a pour centre le point O.
Par cette symétrie, quels sont les symétriques:

de A ? …… de B ? …… de M ? ……
de D ? …… de E ? …… de P ? ……
de G ? …… de L ? …… de O ? ……

1- On considère dans tout cet exercice la symétrie qui a pour centre le point O.
Par cette symétrie, quels sont les symétriques:

de A ? E de B ? F de M ? I
de D ? H de E ? A de P ? K
de G ? C de L ? Q de O ? O

On considère dans tout cet exercice la symétrie de
centre O.

1- Construire en rouge le symétrique A’B’C’D’ du
quadrilatère ABCD par rapport à O.

2- Construire le symétrique de ce triangle par rapport
au point A.

a. Construire A’ symétrique de A par rapport à B
b. Construire B’ symétrique de B par rapport à C
c. Construire C’ symétrique de C par rapport à A.

a. Construire les symétriques des droites (d) et (AB) par rapport à O.
b. En utilisant uniquement la règle (sans sa graduation), construire les points A’, B’, M’, N’, P’ et Q’
symétriques des points A, B, M, N, P et Q.
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABA’B’.

d. Les deux segments [AC] et [ A’C’] sont parallèles et de même longueur. L’image d’un segment par symétrie centrale est un segment parallèle est de même longueur.
e. l’angle BAC = BA’C’ car la symétrie centrale conserve les mesures d’angles.

1) Trace un triangle équilatéral $ABC$ tel que $AB=5cm.$

2) Construire un point $O$ extérieur du triangle de $ABC.$

3) Construire les points $A', B'$ et $C'$ symétriques de $ABC$ par rapport à $O.$

4) Quelle est la nature du triangle $A'B'C' ?$ Justifier la réponse par une propriété du cours.

Soit $A B C D$ un carré de côté $4 c m .$

1) Construire le point $O$ centre de symétrique de $A B C D .$

2) Construire les points $E; F$ et $G$ symétriques respectifs des points $B; C$ et $D$ par rapport à $A .$

3) a) Quelle est le symétrique de $A B C D$ par rapport à $A .$

$S_{A} (A) = \dots; S_{A} (C D) = \dots; S_{A} ([A D)) = \dots$

$S_{A} (A) = \dots; S_{A} (C D) = \dots; S_{A} ([A D)) = \dots$

$S_{A} (A) = \dots; S_{A} (C D) = \dots; S_{A} ([A D)) = \dots$

4) Quelle est la nature de $A E F G$ puis calculer son aire.