Symétrie centrale – Cours
SYMÉTRIE CENTRALE
Symétrique d’un point
Définition
On dit que le point B est le symétrique du point A par rapport au point M lorsque le point M est le milieu du segment [AB].
Notation : A et B sont symétriques par rapport à M.
M est appelé centre de symétrie.
Cas particulier
Le symétrique du point O par rapport au point O est le point O lui-même.
Symétrique d’un segment
Propriété
Le symétrique d’un segment [𝐴𝐵] par rapport à un point 𝑀 est un segment [𝐴′𝐵′] de même longueur.
Remarques
Conservation des distances
On dit que la symétrie centrale conserve les distances entre deux points.
Méthode de construction
Pour construire le symétrique d’un segment par rapport à un point, on construit le symétrique de ses extrémités par rapport à ce point.
Symétriques des points alignés
Propriété
Les symétriques, par rapport à un point M, de trois points alignés A, B et C sont trois points alignés A’, B’ et C’.
Propriété importante : On dit que la symétrie centrale conserve l’alignement.
Symétrique d’une demi-droite
Propriété
Le symétrique d’une demi-droite [𝐴𝐵) par rapport à un point 𝑂 est une demi-droite [𝐴′𝐵′) telle que [𝐴𝐵) ∥ [𝐴′𝐵′).
Symétrique d’une droite
Propriété
Le symétrique d’une droite (𝐷) par rapport à un point 𝑂 est une droite (𝐷′) parallèle à (𝐷).
Cas particulier
Le symétrique d’une droite (𝐷) par rapport à un point 𝑂 tel que 𝑂∈(𝐷) est la droite (𝐷) elle-même.
Symétrique d’un angle
Propriété
Le symétrique d’un angle 𝐴𝐵𝐶̂ par rapport à un point 𝑀 est un angle 𝐴′𝐵′𝐶′ de même mesure.
Avec 𝐴′,𝐵′ et 𝐶′ sont les symétriques respectifs des points 𝐴,𝐵 et 𝐶̂ par rapport au point 𝑀.
Propriété importante : On dit que la symétrie centrale conserve les mesures des angles.
Méthode de construction
1. Construire les symétriques A’, B’ et C’ des points A, B et C par rapport à M
2. Tracer l’angle A’B’C’
Symétrique d’un cercle
Propriété
Le symétrique d’un cercle (ζ) de centre O et de rayon r par rapport à un point E est le cercle (ζ′) de centre O′ (le symétrique de O par rapport à E) et de même rayon r.
Remarque
Pour tracer le symétrique d’un cercle par rapport à un point, il suffit de tracer le symétrique du centre de ce cercle et de garder le même rayon.
Centre de symétrie d’une figure
Définition
Soient (F) une figure et O un point. On appelle O centre de symétrie de (F) lorsque le symétrique de (F) par rapport à O est (F).
Exemples
Droite
Le centre de symétrie d’une droite est un point qui lui appartient.
Segment
Le centre de symétrie d’un segment est son milieu.
Cercle
Le centre de symétrie d’un cercle est son centre.
Symétrie centrale – Cours