📐Exercice 1 : Constructions géométriques
🎯Énoncé du problème
Construire un triangle \(EFG\), rectangle en \(F\) tel que \(EF = FG = 4\) cm.
1) Placer le point \(K\) image de \(E\) par la symétrie de centre \(F\).
2) Placer le point \(L\) image de \(F\) par la symétrie axiale d’axe \((EG)\).
3) Placer le point \(J\) image de \(G\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{EF}\).
4) Placer le point \(H\) tel que \(HE = FG\).
📌 Indications :
Pour chaque construction, rappelez-vous des propriétés géométriques :
• La symétrie centrale conserve les distances et inverse l’orientation.
• La symétrie axiale utilise l’axe comme miroir.
• La translation déplace une figure selon un vecteur donné.
1️⃣Point \(K\) image de \(E\) par la symétrie de centre \(F\)
Par définition de la symétrie centrale de centre \(F\) :
Propriété :
Le point \(F\) est le milieu du segment \([EK]\).
2️⃣Point \(L\) image de \(F\) par la symétrie axiale d’axe \((EG)\)
Par définition de la symétrie axiale d’axe \((EG)\) :
Propriétés :
• L’axe \((EG)\) est la médiatrice du segment \([FL]\)
• \((EG) \perp (FL)\) et le milieu de \([FL]\) appartient à \((EG)\)
3️⃣Point \(J\) image de \(G\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{EF}\)
Par définition de la translation de vecteur \(\overrightarrow{EF}\) :
Propriété :
\(\overrightarrow{GJ} = \overrightarrow{EF}\)
Puisque \(EF = 4\) cm et que la translation conserve les distances et les directions :
\[
\overrightarrow{GJ} = \overrightarrow{EF}
\]
\(GJ = EF = 4\) cm et \((GJ) \parallel (EF)\)
4️⃣Point \(H\) tel que \(HE = FG\)
On a \(HE = FG\) et \(FG = 4\) cm, donc :
Condition :
\(HE = 4\) cm
Construction
📐Exercice 2 : Translation et transformation de triangles
🎯Énoncé du problème
Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) le symétrique du point \(A\) par rapport à \(B\).
Et \(E\) l’image du point \(B\) par la translation \(t_{\overrightarrow{AC}}\).
1) Faire une figure
2) Montrer que le triangle \(BDE\) est l’image du triangle \(ABC\) par une translation dont on déterminera son vecteur
3) En déduire que le triangle \(ABC\) est l’image du triangle \(BDE\) par une translation dont on déterminera son vecteur
📌 Rappel :
Une translation est définie par un vecteur. Pour montrer qu’un triangle est l’image d’un autre par une translation, il faut montrer que les vecteurs reliant les sommets correspondants sont égaux.
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📐Exercice 3 : Losange et transformations
🎯Énoncé du problème
\(ABCD\) un losange de centre \(O\) et \(I\) le milieu du segment \([AB]\) et \(J\) le milieu du segment \([AD]\).
1) Faire une figure
2) Déterminer \(S_O(A)\) et \(S_O(B)\) et \(S_O(O)\) et \(S_O((AB))\)
3) Déterminer \(S_{(AC)}(B)\) et \(S_{(AC)}(A)\) et \(S_{(AC)}(O)\) et \(S_{(AC)}([AB])\) et \(S_{(AC)}(I)\) et \(S_{(AC)}((OI))\)
4) \(t_{\overrightarrow{BC}}(A)\), \(t_{\overrightarrow{IJ}}(B)\) et \(t_{\overrightarrow{IJ}}([OB])\)
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📐Exercice 4 : Translation et points fixes
🎯Énoncé du problème
Soient trois points fixes \(A\), \(B\) et \(C\) du plan
Soit \(E\) un point du plan tel que :
\[ (\overrightarrow{EA}\) – (\overrightarrow{EB}\) +(\overrightarrow{EC}\) = 0 \]
1) Montrer que \(E\) est l’image du point \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\)
2)a) Faire une figure
b) Représenter le point : \(F\) est l’image du point \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\)
c) Montrer que : \(C\) est le milieu \([EF]\)
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📐Exercice 5 : Homothétie
🎯Énoncé du problème
Placer le point \(M’\) image du point \(M\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) :
📌 Rappel : Une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) transforme tout point \(M\) en \(M’\) tel que \(\overrightarrow{OM’} = k \cdot \overrightarrow{OM}\).
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📐Exercice 6 : Homothétie d’un quadrilatère
🎯Énoncé du problème
Soit \(ABCD\) un quadrilatère
Représenter les images des points : \(A\) ; \(B\) ; \(C\) et \(D\)
1) Par l’homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(k = \frac{2}{3}\)
2) Par l’homothétie \(h’\) de centre \(B\) et de rapport \(k = -\frac{1}{3}\)
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📐Exercice 7 :
🎯Énoncé du problème
Écrire l’expression vectorielle suivante :
\(\overrightarrow{IC} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{IB}\)
en utilisant une homothétie
📌 Rappel : Une homothétie de centre \(I\) et de rapport \(k\) transforme un point \(B\) en \(C\) si et seulement si \(\overrightarrow{IC} = k \cdot \overrightarrow{IB}\).
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📐Exercice 8 : Détermination du rapport d’homothétie
🎯Énoncé du problème
Déterminer dans les cas suivants le rapport \(k\) de l’homothétie \(h\) de centre \(A\) et qui transforme \(B\) en \(C\) :
\(1) \quad 3\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{AB} = \vec{0}\)
\(2) \quad \overrightarrow{CA} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB}\)
\(3) \quad 3\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC}\)
\(4) \quad \overrightarrow{BC} = -3\overrightarrow{AB}\)
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📐Exercice 9 :
🎯Énoncé du problème
On considère deux points \(A\) et \(B\) et une homothétie \(h\) qui transforme \(A\) en \(A’\) et laisse invariant le point \(B\) de sorte que :
\(\overrightarrow{AA’} + 4\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\)
Trouver le rapport \(k\) de cette homothétie.
📌 Rappel : Une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) transforme un point \(M\) en \(M’\) tel que \(\overrightarrow{\Omega M’} = k \cdot \overrightarrow{\Omega M}\). Si un point est invariant, il est le centre de l’homothétie.
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📐Exercice 10 : Identification d’une homothétie
🎯Énoncé du problème
Soit un point fixe \(A\) du plan et soit \(h\) une transformation du plan qui transforme chaque point \(M\) en \(M’\) tel que :
\(3\overrightarrow{MM’} + 2\overrightarrow{AM} = \vec{0}\)
Montrer que : \(h\) est une homothétie et trouver le centre et le rapport \(k\) de cette homothétie.
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📐Exercice 11 : Transformation vectorielle
🎯Énoncé du problème
Soit deux points \(A\) et \(B\) du plan et soit \(f\) une transformation du plan qui transforme chaque point \(M\) en \(M’\) tel que :
\(\overrightarrow{MM’} = 3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\)
1) Déterminer le point \(\Omega\) invariant par la transformation \(f\)
2) Déterminer la nature de la transformation \(f\)
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📐Exercice 12 : Homothétie et triangle
🎯Énoncé du problème
Soit \(ABC\) un triangle et soient les points \(E\) et \(F\) tels que :
\(\overrightarrow{AE} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB}\)
et
\(3\overrightarrow{AF} + 2\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{0}\)
On considère l’homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(k = \frac{2}{5}\).
1) Montrer que : \(h(B) = E\) et \(h(C) = F\)
2) Faire une figure
3) Montrer que : \(EF = \frac{2}{5} BC\)
4) Montrer que : \((EF) \parallel (BC)\)
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📐Exercice 13 : Parallélogramme et homothétie
🎯Énoncé du problème
\(ABCD\) un parallélogramme et \(I\) et \(J\) deux points tels que :
\(\overrightarrow{CI} = \frac{2}{3} \overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{DC}\)
1) Faire une figure
2) Montrer que la droite \((BJ)\) est l’image de la droite \((AI)\) par la translation \(t_{\overrightarrow{AB}}\) et que peut-on en déduire pour les droites \((BJ)\) et \((AI)\) ?
3) Soit l’homothétie \(h\) de centre \(I\) qui transforme le point \(B\) en \(C\)
a) Montrer que \(h((AB)) = (CD)\)
b) Montrer que le rapport \(k\) de l’homothétie est \(k = -2\)
4) Soit le point \(K\) tel que : \(\overrightarrow{KI} = 2\overrightarrow{AB}\)
a) Montrer que \(h(J) = K\)
b) Montrer que : \(AI = \frac{1}{2} CK\)
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📐Exercice 14 : Ensemble de points dans un trapèze
🎯Énoncé du problème
Soit \(ABCD\) un trapèze tel que : \(\overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{AB}\) et tels que les points \(A\) et \(B\) sont fixes
\(AB = 2\) et les points \(C\) et \(D\) sont variables avec : \(AD = 3\)
et \(E\) un point tel que : \(\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB}\)
1) Déterminer l’ensemble \((E)\) des points \(D\)
2) Déterminer l’ensemble \((F)\) des points \(C\) lorsque \(D\) varie dans l’ensemble \((E)\)
3) Représenter les ensembles \((E)\) et \((F)\)
📌 Rappel : Un ensemble de points peut être défini par une condition géométrique (distance, alignement, etc.). La translation transforme un ensemble en un ensemble de même nature.
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