Triangle rectangle et cercle exercices corrigés pour 2AC biof

Triangle rectangle et cercle des exercices corrigés

Exercice 1:

$1)$ Si un triangle $A B C$ est rectangle en $A$ Alors $A B C$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[B C]$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si un triangle $A B C$ est rectangle en $B$ Alors ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[\dots \dots]$

$b)$ Si un triangle $D E F$ est rectangle en $F$ Alors ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[\dots \dots]$

$2)$ Si $A B C$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[B C]$ Alors $A B C$ est rectangle en $A$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si $A B C$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[A B]$ Alors ……. est rectangle en ….

$b)$ Si $D E F$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[D E]$ Alors ……. est rectangle en ….

$3)$ Si l’angle $B M C$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre [BC]

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si l’angle $A B C$ est droit Alors le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]

$b)$ Si l’angle $E M F$ est droit Alors le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]

$4)$ Si un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[B C]$ Alors l’angle $B M C$ est droit

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si un point $A$ appartient au cercle de diamètre $[I J]$ Alors l’angle ………. est droit

$b)$ Si un point $C$ appartient au cercle de diamètre $[A B]$ Alors l’angle ………. est droit

Correction de l’exercice 1

$1)$ Si un triangle $A B C$ est rectangle en $A$ Alors $A B C$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[B C]$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si un triangle $A B C$ est rectangle en $B$ Alors $A B C$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[A C]$

$b)$ Si un triangle $D E F$ est rectangle en $F$ Alors $D E F$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[D E]$

$2)$ Si $A B C$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[B C]$ Alors $A B C$ est rectangle en $A$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si $A B C$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[A B]$ Alors $A B C$ est rectangle en $C$

$b)$ Si $D E F$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[D E]$ Alors $D E F$ est rectangle en $F$

$3)$ Si l’angle $B M C$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[B C]$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si l’angle $A B C$ est droit Alors le point $B$ appartient au cercle de diamètre $[A C]$

$b)$ Si l’angle $E M F$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[E F]$

$4)$ Si un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[B C]$ Alors l’angle $B M C$ est droit

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si un point $A$ appartient au cercle de diamètre $[I J]$ Alors l’angle $I A J$ est droit

$b)$ Si un point $C$ appartient au cercle de diamètre $[A B]$ Alors l’angle $A C B$ est droit

Exercice 2:

$1)$ Sans tracer les médiatrices de ces $3$ triangles, construire leur cercle circonscrit :

$2)$ Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants sont ils rectangles ?
( $O$ est le centre du cercle).

Correction de l’exercice 2

$1)$

$2)$

Exercice 3:

Sans utiliser l’équerre

$1)$ Construire un triangle $A B C$ rectangle en $C$ tel que $A C = 3 c m$ .

$2)$ Construire un triangle $D E F$ rectangle en $E$ tel que $\hat{F D E} = 45 °$ .

Correction de l’exercice 3

$1)$

$2)$

Exercice 4:

Sans utiliser l’équerre…
$1)$ Construire le point $M$ tel que les triangles $A B M$ et $B C M$ soient rectangles en $M$ .

$2)$ Construire un point $M$ tel que les triangles $A B M$ et $C D M$ soient rectangles en $M$ .

$3)$ Construire deux points $M$ et $N$ tels que les triangles $A B M, A B N, C D M$ et $C D N$ soient rectangles en $M$ et $N$ .

Correction de l’exercice 4

$1)$

$2)$

$3)$

Exercice 5:

$A B C$ est un triangle rectangle en $A$ , tel que $B C = 5 c m$ . $O$ est le milieu de $[B C]$ .

$1)$ Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ?

PUISQUE ………………………………………………………

ALORS …………………………………………………………

$2)$ En déduire l’égalité de $3$ longueurs :

……… = ……… = ………

$3)$ Combien mesure le segment $[A O]$ ? Expliquer.

Correction de l’exercice 5

$1)$

PUISQUE le triangle $A B C$ est rectangle en $A$

ALORS le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse $[B C]$ .

$2)$ $O A = O B = O C$

$3)$ Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.

Donc : $OA = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 5 = 2,5 cm$

Exercice 6:

$D E F$ est un triangle rectangle en $E$ . Le point $I$ est le milieu de l’hypoténuse. La médiane $[E I]$ mesure $5 c m$ .

• Combien mesure l’hypoténuse ? Expliquer.

Correction de l’exercice 6

Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.

Donc : $D F = 2 \times I E = 2 \times 5 = 10 c m$

Exercice 7:

$O$ milieu de $[I J]$ et $K$ est tel que $O K = O J$ .

Montrons que le triangle $I J K$ est rectangle en $K$ .

$1)$ Placer les points $O$ et $K$ .

$2)$ Pourquoi les points $I, J$ et $K$ appartiennent-ils au même cercle ?

$3)$ Citer la caractérisation d’un triangle rectangle appliquée à cet énoncé.

Correction de l’exercice 7

$1)$

$2)$ $OI = OJ = OK $d o n c l e s s e g m e n t s$ [OI], [OJ] $e t$ [OK] $s o n t t r o i s r a y o n s d^{'} u n c e r c l e d e c e n t r e$ O $p a s s a n t p a r$ I$.

$3)$

PUISQUE $K$ appartient au cercle de diamètre $[I J]$

ALORS le triangle $I J K$ est rectangle en $K$ .

Exercice 8:

$D E F$ est un triangle isocèle en $D$ . $E^{'}$ est le symétrique de $E$ par rapport $D$ .

• Démontrer que le triangle $E F E^{'}$ est rectangle en $F$ .

Correction de l’exercice 8

On sait que $E^{'}$ est le symétrique de $E$ par rapport $D$ .

Propriété : Dans une symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu du segment par par un point et son symétrique.

Donc les points $E, D$ et $E^{'}$ sont alignés et $D E = D E^{'}$ .

On sait que la médiane $[D F]$ relative au côté $[E E^{'}]$ mesure la moitié de ce côté.

Propriété : Dans un triangle, si la médiane relative à un côté mesure la moitié de la longueur de ce côté, ce triangle est rectangle.

Donc le triangle $E F E^{'}$ est rectangle en $F$ .

Exercice 9:

$(C)$ est un cercle de centre $O$ . $A$ et $M$ sont deux points de $(C)$ non diamétralement opposés. La perpendiculaire en M à $(A M)$ recoupe $(C)$ en $B$ .

$1)$ Faire une figure.

$2)$ Démontrer que $O$ est le milieu de $[A B]$ .

$3)$ $N$ est un autre point du cercle $(C)$ .

• Démontrer que $A N B$ est un triangle rectangle.

Correction de l’exercice 9

$1)$

$2)$ On sait que le cercle de centre $O$ est le cercle circonscrit du triangle $A B M$ rectangle en $M$ .

Propriété : Dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.

Donc $O$ est le milieu de l’hypoténuse $[A B]$ .

$3)$ On sait que le cercle de diamètre $[A B]$ est le cercle circonscrit du triangle $A B N$ .

Propriété : Si un côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.

Donc le triangle $A B N$ est rectangle en $N$ .

Triangle rectangle et cercle des exercices corrigés