Triangle rectangle et cercle des exercices corrigés
Exercice 1:
$1)$ Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ Alors $ABC$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $ [BC]$
Compléter les propriétés suivantes :
$a)$ Si un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ Alors ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[……]$
$b)$ Si un triangle $DEF$ est rectangle en $F$ Alors ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[……]$
$2)$ Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[BC]$ Alors $ABC$ est rectangle en $A$
Compléter les propriétés suivantes :
$a)$ Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[AB]$ Alors ……. est rectangle en ….
$b)$ Si $DEF$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[DE]$ Alors ……. est rectangle en ….
$3)$ Si l’angle $BMC$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre [BC]
Compléter les propriétés suivantes :
$a)$ Si l’angle $ABC$ est droit Alors le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]
$b)$ Si l’angle $EMF$ est droit Alors le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]
$4)$ Si un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ Alors l’angle $BMC$ est droit
Compléter les propriétés suivantes :
$a)$ Si un point $A$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$ Alors l’angle ………. est droit
$b)$ Si un point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ Alors l’angle ………. est droit
$1)$ Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ Alors $ABC$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $ [BC]$
Compléter les propriétés suivantes :
$a)$ Si un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ Alors $ABC$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[AC]$
$b)$ Si un triangle $DEF$ est rectangle en $F$ Alors $DEF$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[DE]$
$2)$ Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[BC]$ Alors $ABC$ est rectangle en $A$
Compléter les propriétés suivantes :
$a)$ Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[AB]$ Alors $ABC$ est rectangle en $C$
$b)$ Si $DEF$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[DE]$ Alors $DEF$ est rectangle en $F$
$3)$ Si l’angle $BMC$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$
Compléter les propriétés suivantes :
$a)$ Si l’angle $ABC$ est droit Alors le point $B$ appartient au cercle de diamètre $[AC]$
$b)$ Si l’angle $EMF$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[EF]$
$4)$ Si un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ Alors l’angle $BMC$ est droit
Compléter les propriétés suivantes :
$a)$ Si un point $A$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$ Alors l’angle $IAJ$ est droit
$b)$ Si un point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ Alors l’angle $ACB$ est droit
Exercice 2:
$1)$ Sans tracer les médiatrices de ces $3$ triangles, construire leur cercle circonscrit :
$2)$ Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants sont ils rectangles ?
($O$ est le centre du cercle).
$1)$
$2)$
Exercice 3:
Sans utiliser l’équerre
$1)$ Construire un triangle $ABC$ rectangle en $C$ tel que $AC = 3 cm$.
$2)$ Construire un triangle $DEF$ rectangle en $E$ tel que $\widehat{FDE}=45°$.
$1)$
$2)$
Exercice 4:
Sans utiliser l’équerre…
$1)$ Construire le point $M$ tel que les triangles $ABM$ et $BCM$ soient rectangles en $M$.
$2)$ Construire un point $M$ tel que les triangles $ABM$ et $CDM$ soient rectangles en $M$.
$3)$ Construire deux points $M$ et $N$ tels que les triangles $ABM, ABN, CDM$ et $CDN$ soient rectangles en$ M$ et $N$.
$1)$
$2)$
$3)$
Exercice 5:
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$, tel que $BC = 5 cm$. $O$ est le milieu de $[BC]$.
$1)$ Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ?
PUISQUE ………………………………………………………
ALORS …………………………………………………………
$2)$ En déduire l’égalité de $3$ longueurs :
……… = ……… = ………
$3)$ Combien mesure le segment $[AO]$ ? Expliquer.
$1)$
PUISQUE le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
ALORS le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$.
$2)$ $OA = OB = OC$
$3)$ Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.
Donc : $OA = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 5 = 2,5 cm$
Exercice 6:
$DEF$ est un triangle rectangle en $E$. Le point $I$ est le milieu de l’hypoténuse. La médiane $[EI]$ mesure $5 cm$.
• Combien mesure l’hypoténuse ? Expliquer.
Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.
Donc : $ DF = 2× IE = 2×5 = 10cm$
Exercice 7:
$O$ milieu de $[IJ]$ et $K$ est tel que $OK= OJ$.
Montrons que le triangle $IJK$ est rectangle en $K$.
$1)$ Placer les points $O$ et $K$.
$2)$ Pourquoi les points $I, J$ et $K$ appartiennent-ils au même cercle ?
$3)$ Citer la caractérisation d’un triangle rectangle appliquée à cet énoncé.
$1)$
$2)$ $OI = OJ = OK$ donc les segments $[OI], [OJ]$ et $[OK]$ sont trois rayons d’un cercle de centre $O$ passant par $I$.
$3)$
PUISQUE $K$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$
ALORS le triangle $IJK$ est rectangle en $K$.
Exercice 8:
$DEF$ est un triangle isocèle en $D$. $E’$ est le symétrique de $E$ par rapport $D$.
• Démontrer que le triangle $EFE’$ est rectangle en $F$.
On sait que $E’$ est le symétrique de $E$ par rapport $D$.
Propriété : Dans une symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu du segment par par un point et son symétrique.
Donc les points $E, D$ et $E’$ sont alignés et $DE = DE’$.
On sait que la médiane $[DF]$ relative au côté $[EE’]$ mesure la moitié de ce côté.
Propriété : Dans un triangle, si la médiane relative à un côté mesure la moitié de la longueur de ce côté, ce triangle est rectangle.
Donc le triangle $EFE’$ est rectangle en $F$.
Exercice 9:
$(C)$ est un cercle de centre $O$. $A$ et $M$ sont deux points de $(C)$ non diamétralement opposés. La perpendiculaire en M à $(AM)$ recoupe $(C)$ en $B$.
$1)$ Faire une figure.
$2)$ Démontrer que $O$ est le milieu de $[AB]$.
$3)$ $N$ est un autre point du cercle $(C)$.
• Démontrer que $ANB$ est un triangle rectangle.
$1)$
$2)$ On sait que le cercle de centre $O$ est le cercle circonscrit du triangle $ABM$ rectangle en $M$.
Propriété : Dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
Donc $O$ est le milieu de l’hypoténuse $ [AB]$.
$3)$ On sait que le cercle de diamètre $[AB]$ est le cercle circonscrit du triangle $ABN$.
Propriété : Si un côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
Donc le triangle $ABN$ est rectangle en $N$.
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