Triangle rectangle et cercle des exercices corrigés

Exercice 1:  

$1)$ Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ Alors $ABC$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $ [BC]$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ Alors ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[……]$

$b)$ Si un triangle $DEF$ est rectangle en $F$ Alors ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[……]$

$2)$ Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[BC]$ Alors $ABC$ est rectangle en $A$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[AB]$ Alors ……. est rectangle en ….

$b)$ Si $DEF$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[DE]$ Alors ……. est rectangle en ….

$3)$ Si l’angle $BMC$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre [BC]

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si l’angle $ABC$ est droit Alors le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]

$b)$ Si l’angle $EMF$ est droit Alors le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]

$4)$ Si un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ Alors l’angle $BMC$ est droit

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si un point $A$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$ Alors l’angle ………. est droit

$b)$ Si un point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ Alors l’angle ………. est droit

 $1)$ Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ Alors $ABC$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $ [BC]$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si un triangle $ABC$ est rectangle en $B$ Alors $ABC$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[AC]$

$b)$ Si un triangle $DEF$ est rectangle en $F$ Alors $DEF$ est inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[DE]$

$2)$ Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[BC]$ Alors $ABC$ est rectangle en $A$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si $ABC$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[AB]$ Alors $ABC$ est rectangle en $C$

$b)$ Si $DEF$ est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[DE]$ Alors $DEF$ est rectangle en $F$

$3)$ Si l’angle $BMC$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si l’angle $ABC$ est droit Alors le point $B$ appartient au cercle de diamètre $[AC]$

$b)$ Si l’angle $EMF$ est droit Alors le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[EF]$

$4)$ Si un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ Alors l’angle $BMC$ est droit

Compléter les propriétés suivantes :

$a)$ Si un point $A$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$ Alors l’angle $IAJ$ est droit

$b)$ Si un point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ Alors l’angle $ACB$ est droit

Exercice 2:  

 $1)$ Sans tracer les médiatrices de ces $3$ triangles, construire leur cercle circonscrit :

 $2)$ Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants sont ils rectangles ?
($O$ est le centre du cercle).

 $1)$

 

 $2)$

 

Exercice 3:  

Sans utiliser l’équerre

 $1)$ Construire un triangle $ABC$ rectangle en $C$ tel que $AC = 3 cm$.

 $2)$ Construire un triangle $DEF$ rectangle en $E$ tel que $\widehat{FDE}=45°$.

Exercice 4:

Sans utiliser l’équerre…
 $1)$ Construire le point $M$ tel que les triangles $ABM$ et $BCM$ soient rectangles en $M$.

 $2)$ Construire un point $M$ tel que les triangles $ABM$ et $CDM$ soient rectangles en $M$.

 $3)$ Construire deux points $M$ et $N$ tels que les triangles $ABM, ABN, CDM$ et $CDN$ soient rectangles en$ M$ et $N$.

 

 $1)$

 $2)$

 $3)$

Exercice 5:  

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$, tel que $BC = 5 cm$. $O$ est le milieu de $[BC]$.


$1)$ Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ?

PUISQUE ………………………………………………………

ALORS …………………………………………………………

 $2)$ En déduire l’égalité de $3$ longueurs :

……… = ……… = ………

$3)$ Combien mesure le segment $[AO]$ ? Expliquer.

$1)$ 

PUISQUE le triangle $ABC$ est rectangle en $A$

ALORS le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse $[BC]$.

$2)$ $OA = OB = OC$

$3)$ Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.

Donc : $OA = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 5 = 2,5 cm$

Exercice 6:  

$DEF$ est un triangle rectangle en $E$. Le point $I$ est le milieu de l’hypoténuse. La médiane $[EI]$ mesure $5 cm$.


Combien mesure l’hypoténuse ? Expliquer.

Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.

Donc : $ DF = 2× IE = 2×5 = 10cm$

Exercice 7:  

$O$ milieu de $[IJ]$ et $K$ est tel que $OK= OJ$.

Montrons que le triangle $IJK$ est rectangle en $K$.


$1)$ Placer les points $O$ et $K$.

$2)$ Pourquoi les points $I, J$ et $K$ appartiennent-ils au même cercle ?

$3)$ Citer la caractérisation d’un triangle rectangle appliquée à cet énoncé.

$1)$


$2)$ $OI = OJ = OK$ donc les segments $[OI], [OJ]$ et $[OK]$ sont trois rayons d’un cercle de centre $O$ passant par $I$.

$3)$

PUISQUE $K$ appartient au cercle de diamètre $[IJ]$

ALORS le triangle $IJK$ est rectangle en $K$.

Exercice 8:  

$DEF$ est un triangle isocèle en $D$. $E’$ est le symétrique de $E$ par rapport $D$.

Démontrer que le triangle $EFE’$ est rectangle en $F$.

On sait que $E’$ est le symétrique de $E$ par rapport $D$.

Propriété : Dans une symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu du segment par par un point et son symétrique.

Donc les points $E, D$ et $E’$ sont alignés et $DE = DE’$.

On sait que la médiane $[DF]$ relative au côté $[EE’]$ mesure la moitié de ce côté.

Propriété : Dans un triangle, si la médiane relative à un côté mesure la moitié de la longueur de ce côté, ce triangle est rectangle.

Donc le triangle $EFE’$ est rectangle en $F$.

Exercice 9:  

$(C)$ est un cercle de centre $O$. $A$ et $M$ sont deux points de $(C)$ non diamétralement opposés. La perpendiculaire en M à $(AM)$ recoupe $(C)$ en $B$.

$1)$ Faire une figure.

$2)$ Démontrer que $O$ est le milieu de $[AB]$.

$3)$ $N$ est un autre point du cercle $(C)$.

Démontrer que $ANB$ est un triangle rectangle.

$1)$

$2)$ On sait que le cercle de centre $O$ est le cercle circonscrit du triangle $ABM$ rectangle en $M$.

Propriété : Dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.

Donc $O$ est le milieu de l’hypoténuse $ [AB]$.

$3)$  On sait que le cercle de diamètre $[AB]$ est le cercle circonscrit du triangle $ABN$.

Propriété : Si un côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.

Donc le triangle $ABN$ est rectangle en $N$.

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