Triangle rectangle et cercle – Cours

TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE

Triangle rectangle et cercle

1. Milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle

Propriété directe

Le milieu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est équidistant de ses sommets.

Exemple

ABC est un triangle rectangle en A, et I le milieu du segment [BC].

Donc : IA = IB = IC

Propriété réciproque

ABC est un triangle et I le milieu du segment [BC]. Si IA = IB = IC alors ABC est un triangle rectangle en A.

2. Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Propriété directe

Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.

Exemple

ABC est un triangle rectangle en A, et I le milieu du segment [BC].

Donc : IA = IB = IC, alors I est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

Propriété réciproque

Si le milieu d’un côté d’un triangle est le centre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté.

Théorème de Pythagore

Énoncé du théorème

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Formulation mathématique

Soit ABC un triangle rectangle en A :

BC² = AB² + AC²

Donc :

AB² = BC² – AC² et AC² = BC² – AB²

Exemple

ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 8 cm ; AC = 6 cm.

Calculer BC :

On a : ABC est un triangle rectangle en A.

D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²

C’est-à-dire : BC² = 8² + 6²

C’est-à-dire : BC² = 64 + 36

C’est-à-dire : BC² = 100

C’est-à-dire : BC² = 10² (car BC > 0)

Donc : BC = 10 cm

III

Cosinus d’un angle aigu

Définition

Le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.

Formulation mathématique

Soit ABC un triangle rectangle en C :

\(\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB}\)

où AC est le côté adjacent à l’angle Â et AB est l’hypoténuse.

Exemple

ABC est un triangle rectangle en C tel que : AC = 3 cm et AB = 5 cm.

Calculer cos(Â) :

\(\cos(\hat{A}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)

\(\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB}\)

\(\cos(\hat{A}) = \frac{3}{5}\)

Donc : cos(Â) = 0,6

Remarque importante

Puisque l’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle alors le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

Autrement dit : 0 < cos(α) < 1 pour tout angle aigu α.

Résumé des formules importantes

Propriété	Formule	Condition
Milieu de l’hypoténuse	IA = IB = IC	ABC rectangle en A, I milieu de [BC]
Théorème de Pythagore	BC² = AB² + AC²	ABC rectangle en A
Cosinus d’un angle	\(\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB}\)	ABC rectangle en C, angle Â
Relation réciproque	Si IA = IB = IC alors ABC rectangle en A	I milieu de [BC]

Conclusion

Le triangle rectangle possède des propriétés géométriques fondamentales interconnectées : la relation entre son hypoténuse et son cercle circonscrit, le théorème de Pythagore liant les carrés de ses côtés, et le cosinus qui exprime le rapport entre côté adjacent et hypoténuse pour un angle aigu.

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