Triangles Isométriques et Semblables
TRIANGLES ISOMÉTRIQUES ET SEMBLABLES
I. Triangles Isométriques
A) Définition
Deux triangles sont isométriques si leurs côtés sont deux à deux de même longueur.
Exemples :
- ABC est un triangle isocèle en A, H le milieu de [BC].
Alors ABH et ACH sont isométriques. - ABCD est un parallélogramme de centre O.
Alors OAB et OCD sont isométriques.
Remarques :
- Deux triangles sont isométriques ssi l’un est l’image de l’autre par une isométrie (symétrie, translation, rotation)
- Si deux triangles sont isométriques, alors ils sont superposables
- Si deux triangles sont isométriques alors ils ont la même aire
Vocabulaire :
Soit ABC et A’B’C’ deux triangles isométriques :
• La symétrie axiale d’axe (d) transforme ABC en A’B’C’
• La translation de vecteur $\vec{u}$ transforme ABC en A’B’C’
B) Propriété
Une isométrie conserve les angles géométriques.
Propriété : Si deux triangles sont isométriques, leurs angles sont égaux deux à deux.
Attention : La réciproque est fausse.
C) Caractérisation des triangles isométriques
1. Cas Angle-Côté-Angle (ACA) :
Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
Si :
$AB = EF$
\( \widehat{BAC} \) = \( \widehat{FEG} \)
\( \widehat{ABC} \) = \( \widehat{EFG} \)
Alors ABC et EFG sont isométriques
2. Cas Côté-Angle-Côté (CAC) :
Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
Si :
$AB = EF$
\( \widehat{BAC} \) = \( \widehat{FEG} \)
$AC = EG$
Alors ABC et EFG sont isométriques
II. Triangles semblables
Définition :
Deux triangles sont semblables si :
- leurs angles sont respectivement égaux
- leurs côtés homologues sont proportionnels
Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont semblables :
\( \widehat{ABC} \) = \( \widehat{DFE} \) ; \( \widehat{BAC} \) = \( \widehat{EDF} \) ; \( \widehat{ACB} \) = \( \widehat{DEF} \)
Remarques :
- Deux triangles égaux sont semblables
- Deux triangles semblables à un troisième sont semblables entre eux
- Si deux triangles sont semblables, tout triangle égal à l’un est semblable à l’autre
III. Rapport de similitude
Définition :
Le rapport de similitude est le rapport des longueurs des côtés homologues de deux triangles semblables.
Exemple :
Pour les triangles ABC et DEF semblables :
$\frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AB} = \frac{DE}{AC} = k$
$\frac{10.8}{7.2} = \frac{12.3}{8.2} = \frac{13.2}{8.8} = 1.5$
Le rapport de similitude est k=1.5
Remarques :
Si k>1 : Le triangle DEF est un agrandissement du triangle ABC dans le rapport k.
Si k<1 : Le triangle DEF est un agrandissement du triangle ABC dans le rapport k.
Si k=1 : Les deux triangles ABC et DEF sont superposables.
IV. Cas de similitude
1. Premier cas (Angle-Angle) :
Si deux triangles ont deux angles respectivement égaux, alors ils sont semblables.
Exemple :
Si \( \widehat{BAC} \) =\( \widehat{EDF} \) et \( \widehat{ABC} \) = \( \widehat{DEF} \)
Alors ABC et DEF sont semblables
2. Deuxième cas (Angle-Côté-Angle) :
Si deux triangles ont :
- un angle égal
- les côtés adjacents proportionnels
alors ils sont semblables.
Exemple :
Si \( \widehat{BAC} \) = \( \widehat{EDF} \) et $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$
Alors ABC et DEF sont semblables
3. Troisième cas (Côté-Côté-Côté) :
Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement proportionnels, alors ils sont semblables.
Exemple :
Si $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}$
Alors ABC et DEF sont semblables
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