Triangles Isométriques et Semblables exercices corrigés 3AC
Triangles isométriques
Exercice 1
Ces triangles tracés à main levée sont-ils égaux ? Justifier la réponse.
a) On a BS = TE = 5 cm, \(\widehat{ABS} = \widehat{NET} = 50^\circ\) et \(\widehat{BSA} = \widehat{NTE} = 45^\circ\)
Les triangles ABS et ENT sont isométriques (un côté égal compris entre deux angles égaux)
b) Le côté de 7 cm n’est pas compris entre deux angles égaux
Les triangles ne sont pas isométriques
c) On a OT = MS = 7 cm, TN = ME = 5 cm et \(\widehat{OTN} = \widehat{EMS} = 115^\circ\)
Les triangles OTN et EMS sont isométriques (un angle égal compris entre deux côtés égaux)
d) On a TH = CA = 9 cm, \(\widehat{THE} = \widehat{ACF} = 70^\circ\) et \(\widehat{HTE} = \widehat{CAF} = 50^\circ\)
Les triangles THE et ACF sont isométriques (un côté égal compris entre deux angles égaux)
Exercice 2
On considère deux triangles ABC et DEF avec :
Démontrer que les triangles ABC et DEF sont isométriques.
On calcule d’abord \(\widehat{ABC}\) :
\(\widehat{ABC} = 180^\circ – (99^\circ + 54^\circ) = 27^\circ\)
On a donc :
• AB = DE = 9 cm
• \(\widehat{ABC} = \widehat{DEF} = 27^\circ\)
• \(\widehat{CAB} = \widehat{EDF} = 54^\circ\)
Les triangles ABC et DEF sont isométriques (un côté égal compris entre deux angles égaux)
Exercice 3
[AD] et [CE] sont deux diamètres d’un cercle de centre O.
a) Expliquer pourquoi les triangles OAC et OED sont égaux.
b) Qu’en déduit-on pour les segments [AC] et [ED] ?
a) On sait que :
• OA = OD et OC = OE (rayons du cercle)
• \(\widehat{AOC} = \widehat{DOE}\) (angles opposés par le sommet)
Les triangles OAC et OED sont isométriques (un angle égal compris entre deux côtés égaux)
b) Comme les triangles sont isométriques :
Les segments [AC] et [ED] sont de même longueur
Exercice 4
Soit ABCD un parallélogramme de centre O. On construit deux droites (D) et (D’) orthogonales en O qui coupent les côtés en I, J, K et L.
1) Démontrez que les triangles OAI et OCK sont isométriques
2) Démontrez que les triangles OAL et OCJ sont isométriques
3) Justifiez les égalités : IO = OK et OJ = OL
4) En déduire que IJKL est un losange
1) Les triangles OAI et OCK sont isométriques car :
• OA = OC (diagonales du parallélogramme)
• \(\widehat{AOI} = \widehat{COK}\) (angles opposés)
• \(\widehat{OAI} = \widehat{OCK}\)(angles alternes-internes)
2) Même démonstration pour OAL et OCJ
3) Par isométrie : IO = OK et OJ = OL
4) IJKL a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, c’est donc un losange
Exercice 5
ABCD est un parallélogramme de centre O. Par A et C, on trace les perpendiculaires à (BD) qui coupent (BD) en I et K. Par B et D, on trace les perpendiculaires à (AC) qui coupent (AC) en J et L.
Démontrez que IJKL est un parallélogramme.
• OBC et OAD sont isométriques (3 côtés égaux)
OC = OA (car les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leurs milieux)
OB = OD (idem)
AD = BC (car dans un parallélogramme, les côtés opposés sont de même longueur)
• On en déduit que les triangles OAI et OKC sont isométriques (Pourquoi ! ! ). Parce que :
- OA = OC
- AI = CK
- \(\widehat{OAI} = \widehat{OCK}\)(angles alternes-internes)
Et d’après un théorème du cours, cela signifie que OAI et OKC sont isométriques D’où OI = OK.
De même, en montrant que les triangles AOB et DOC sont isométriques, puis que les triangles ODL et OBJ le sont aussi, on montre que OL = OJ.
Comme OI = OK et OL = OJ, les diagonales du quadrilatère IJKL se coupent en leurs milieux.
Donc IJKL est un parallélogramme.
Triangles semblables
Exercice 6
DEF et ABC sont-ils semblables ? Explique.
a) On a \(\widehat{FDE} = \widehat{CAB} = 22^\circ\) et \(\widehat{DEF} = \widehat{ABC} = 114^\circ\)
Le troisième angle vaut alors \(180^\circ – 22^\circ – 114^\circ = 44^\circ\) dans les deux triangles
Les triangles ABC et DEF sont semblables (trois angles égaux)
b) Calcul des angles manquants :
\(\widehat{BAC} = 180^\circ – (45^\circ + 58^\circ) = 77^\circ\)
\(\widehat{DEF} = 180^\circ – (77^\circ + 45^\circ) = 58^\circ\)
On a donc \(\widehat{FDE} = \widehat{BAC} = 77^\circ\) et \(\widehat{DEF} = \widehat{BCA} = 58^\circ\)
Les triangles ABC et DEF sont semblables (trois angles égaux)
Exercice 7
Les triangles GHI et DEF sont-ils semblables au triangle ABC ?
Calcul des rapports de similitude :
Pour DEF : \(\frac{2.4}{2} = \frac{1.8}{1.5} = \frac{3}{2.5} = 1.2\)
DEF est semblable à ABC (rapports égaux)
Pour GHI : \(\frac{1.6}{2} = 0.8\), \(\frac{2}{2.5} = 0.8\), \(\frac{1.4}{1.5} ≈ 0.933\)
GHI n’est pas semblable à ABC (rapports différents)
Exercice 8
a) Explique pourquoi les triangles DEF et ABC sont semblables.
b) Trouve les longueurs DF et FE sachant que :
• AB=4, AC=5, CB=7
• DE=2.8
• \(\widehat{CAB} = \widehat{FED}\), \(\widehat{CBA} = \widehat{FDE}\), \(\widehat{BCA} = \widehat{DFE}\)
a) On a trois angles égaux deux à deux :
\(\widehat{CAB} = \widehat{FED}\), \(\widehat{CBA} = \widehat{FDE}\), \(\widehat{BCA} = \widehat{DFE}\)
Les triangles ABC et DEF sont semblables
b) ABC et DEF sont semblables donc leurs longueurs sont proportionnelles :
\(\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{AC} = \frac{DF}{CB}\)
Calcul des longueurs :
Rapport de similitude : \(\frac{DE}{AB} = \frac{2.8}{4} = 0.7\)
Donc :
\(EF = AC \times 0.7 = 5 \times 0.7 = 3.5\)
\(DF = CB \times 0.7 = 7 \times 0.7 = 4.9\)
Exercice 9
Pour estimer la hauteur de l’obélisque de la place de la Concorde à Paris, un touriste mesurant 1,84 m regarde dans un miroir (M) dans lequel il arrive à voir le sommet S de l’obélisque.
Les angles \(\widehat{AMT}\) et \(\widehat{SMB}\) ont la même mesure.
Calcule la hauteur SB de l’obélisque sachant que :
Les triangles TAM et SBM sont semblables car :
• \(\widehat{TAM} = \widehat{SBM} = 90^\circ\)
• \(\widehat{AMT} = \widehat{SMB}\) (angles opposés par le sommet)
Calcul de MB : \(MB = AB – MA = 94.5 – 7 = 87.5\) m
Par proportionnalité :
\(\frac{MA}{MB} = \frac{TA}{SB}\) ⇒ \(\frac{7}{87.5} = \frac{1.84}{SB}\)
Donc : \(SB = \frac{1.84 \times 87.5}{7} = 23\) m
La hauteur de l’obélisque est de 23 mètres
Exercice 10
Soit ABC un triangle quelconque. On construit B’ et C’ les pieds des hauteurs issues de B et C.
Démontrez que les triangles ABB’ et ACC’ sont semblables.
1) \(\widehat{A}\) est commun aux deux triangles
2) \(\widehat{AB’B} = \widehat{AC’C} = 90^\circ\) (hauteurs)
Les triangles ABB’ et ACC’ ont deux angles égaux, ils sont donc semblables
Exercice 11
Soit ABC un triangle quelconque. I milieu de [BC], J milieu de [AC], H pied de la hauteur issue de C.
1) Démontrez que H appartient au cercle de diamètre [BC]. En déduire que BC = 2IH
2) Démontrez que AC = 2JH
3) Démontrez que AB = 2IJ
4) Démontrez que ABC et IJH sont semblables
5) Quel est le sommet homologue de C ? En déduire que \( \widehat{BCA} = \widehat{IHJ} \)
1) HBC est rectangle en H, donc H appartient au cercle de diamètre [BC]. Le milieu I de [BC] est le centre du cercle et donc : BC = 2.IH
2) Même raisonnement ⇒ AC = 2.JH
3) I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [AC]. D’après le théorème des milieux, on en déduit que AB = 2.IJ
4) Les 3 égalités précédentes prouvent que les triangles ABC et IJH ont leurs côtés proportionnels. Ils sont donc semblables.
5) Dans les triangles semblables ABC et IJH, H est le sommet homologue à C. Par conséquent : \( \widehat{BCA} = \widehat{IHJ} \)
Triangles Isométriques et Semblables exercices corrigés 3AC