Trigonométrie 1 – Cours

I. Cercle trigonométrique – Abscisse curviligne

Dans tout le chapitre, le plan \( P \) est muni d’un repère orthonormé \( (O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ} )\)

1. Cercle trigonométrique

a – Définition

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens antihoraire (aussi appelé sens direct ou sens positif).

Le point I : S’appelle l’origine de \( C \)

Le triplet \( (O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ} ) \) s’appelle repère orthonormé direct lié au \( C \).

\( \oplus \) : signifie le sens direct ou sens antihoraire.

b- Unités de mesure des angles

Définition

Soit \( C \) un cercle trigonométrique de centre O et d’origine I et soit \( M \) un point de \( C \)

• La longueur de l’arc \( IM \) intercepté par l’angle géométrique \( IOM \) est la mesure de \( IOM \) en radian et se note rad ou rd telle que la mesure d’un angle plat en radian est égale à \( \pi \) rd
• Il existe une autre unité de mesure des angles s’appelle le grade et se note gr telle que la mesure d’un angle plat en grade est égale à 200 gr.

Remarque

Par l’utilisation de la proportionnalité : Si \( \alpha, \beta \) et \( \gamma \) sont respectivement des mesures d’un angle en degré, en radian et en grade respectivement alors :

\[ \frac{\alpha}{180} = \frac{\beta}{\pi} = \frac{\gamma}{200} \]

NB : Dans la suite, en utilisant le radian comme unité de mesure des angles sans écrire rd ou rad

2. Abscisse curviligne – Abscisse curviligne principale

Définition

Soit \( C \) un cercle trigonométrique.

Tout point \( M \) de \( C \) s’associe à un nombre réel de forme \( \alpha+2k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \) s’appelle abscisse curviligne du point \( M \) et on écrit \( M(\alpha+2k\pi) \).

Remarques :

Tout point \( M \) de \( C \) admet une infinité d’abscisses curvilignes.

Tout point \( M \) de \( C \) admet une abscisse curviligne appartenant à l’intervalle \( ]-\pi, \pi] \) et s’appelle abscisse curviligne principale du point \( M \).

Techniques

Pour déterminer \( \alpha_0 \) (avec \( \alpha_0 \in ]-\pi, \pi] \)) l’abscisse curviligne principale d’un point :

• Si \( \alpha \) est l’abscisse curviligne d’un point, alors il faut l’écrire sous forme \( \alpha = \alpha_0 + 2k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \)
• Si \( \alpha = \alpha_0 + 2k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \) alors \( \alpha_0 = \alpha – 2k\pi \); la méthode consiste à déterminer la valeur de \( k \)

Exemple

Méthode 01

Déterminer l’abscisse curviligne principale du point \( A\left(\frac{25\pi}{4}\right) \)

On a \( \frac{25\pi}{4} = \frac{24\pi + \pi}{4} = 6\pi + \frac{\pi}{4} \)

Donc l’abscisse curviligne principale du point \( A \) est \( \frac{\pi}{4} \)

Méthode 02

On a \( \frac{25\pi}{4} = \alpha_0 + 2k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \) donc \( \alpha_0 = \frac{25\pi}{4} – 2k\pi \)

Or \( \alpha_0 \in ]-\pi, \pi] \) donc \( -\pi < \frac{25\pi}{4} – 2k\pi \leq \pi \)

Alors \( -1 – \frac{25}{4} < -2k \leq 1 – \frac{25}{4} \)

Par conséquent \( \frac{21}{8} \leq k < \frac{29}{8} \) c-à-d \( 2,625 \leq k < 3,625 \)

Puisque \( k \in \mathbb{Z} \) alors \( k = 3 \)

D’où \( \alpha_0 = \frac{25\pi}{4} – 2 \times 3\pi = \frac{25\pi – 24\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \)

Donc l’abscisse curviligne principale du point \( A \) est \( \frac{\pi}{4} \)

II. Angles orientés

1. Les angles orientés par deux demi-droites

Dans le plan orienté, on considère deux demi-droites \( [OX) \) et \( [OY) \). L’angle déterminé par le couple \( ([OX), [OY)) \) s’appelle l’angle orienté de deux demi-droites et on le note : \( ([OX);[OY)) \).

2. Mesures d’un angle orienté par deux demi-droites

Soit \( [OX) \) et \( [OY) \) deux demi-droites d’origine O et soit \( C \) le cercle trigonométrique de centre O. Soient \( A(a) \) et \( B(b) \) les points d’intersections de \( C \) avec les demi-droites \( [OX) \) et \( [OY) \) respectivement.

Définitions :

On appelle mesure de l’angle orienté \( (OX; OY) \) tout réel qui s’écrit sous la forme : \( (b-a)+2k\pi \) avec \( k \in \mathbb{Z} \) et on le note : \( (\overline{OX}; \overline{OY}) \equiv (b-a)+2k\pi \)

Se lit : la mesure de l’angle \( ([OX);[OY)) \) est congru à \( (b-a) \) modulo \( 2\pi \).

Remarque

Parmi toutes les mesures de \( ([OX);[OY)) \), une seule dans l’intervalle \( ]-\pi, \pi] \) c’est la mesure principale.

Propriété (Relation de Chasles)

Soient \( \vec{u}, \vec{v} \) et \( \vec{w} \) trois vecteurs non nuls du plan orienté on a :

\[ (\overline{\vec{u}, \vec{w}}) + (\overline{\vec{w}, \vec{v}}) \equiv (\overline{\vec{u}, \vec{v}}) [2\pi] \]

Propriété

Soient \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs non nuls du plan orienté on a :

$ (\overrightarrow{\vec{u}, \vec{u}}) \equiv 0[2\pi] $

$(\overrightarrow{\vec{u}, -\vec{u}}) \equiv \pi[2\pi] $

$ (\overrightarrow{\vec{v}, \vec{u}}) \equiv -(\overrightarrow{\vec{u}, \vec{v}})[2\pi] $

$(\overrightarrow{-\vec{u}, -\vec{v}}) = (\overrightarrow{\vec{u}, \vec{v}}) \equiv [2\pi] $

$ (\overrightarrow{\vec{u}, -\vec{v}}) \equiv (\overrightarrow{\vec{u}, \vec{v}}) + \pi[2\pi]$

$(\overrightarrow{-\vec{u}, \vec{v}}) \equiv (\overrightarrow{\vec{u}, \vec{v}}) + \pi[2\pi]$

Conséquence

Soient \( k \) et \( k’ \) deux nombres non nuls.

• Si \( k \) et \( k’ \) ont même signe alors \( \left(\overline{k \vec{u}, k’ \vec{v}}\right) \equiv (\overline{\vec{u}, \vec{v}})[2\pi] \)
• Si \( k \) et \( k’ \) ont des signes contraires alors \( \left(\overline{k \vec{u}, k’ \vec{v}}\right) \equiv (\overrightarrow{\vec{u}, \vec{v}}) + \pi[2\pi] \)

III. Les rapports trigonométriques d’un nombre réel

1. Définitions :

Soit \( C \) un cercle trigonométrique et \( (O, \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ}) \) un repère orthonormé direct lié au \( C \) et soit \( M \) un point de \( C \).

• L’abscisse du point \( M \) s’appelle le cosinus de nombre réel \( x \) et se note \( \cos(x) \)
• L’ordonnée du point \( M \) s’appelle le sinus de nombre réel \( x \) et se note \( \sin(x) \)
• L’intersection de la droite \( (OM) \) et \( (\Delta) \) détermine la tangente de nombre réel \( x \)

2. Propriétés :

Soit \( x \in \mathbb{R} \) on a :

• \( -1 \leq \cos(x) \leq 1 \)
• \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \)
• \( \cos(x+2k\pi) = \cos(x) \)
• \( \sin(x+2k\pi) = \sin(x) \)
• \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \)
• \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), si \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \)
• \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \), si \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \) où \( k \in \mathbb{Z} \)
• \( \tan(x+k\pi) = \tan(x) \) où \( k \in \mathbb{Z} \)

3. Signe de cosinus, sinus et tangente

Signe de cosinus	Signe de sinus	Signe de tangente

4. Relation entre les rapports trigonométriques

Soit \( C \) un cercle et \( M \) un point du cercle \( C \) d’abscisse curviligne \( x \).

Pour tout \( x \in \mathbb{R} \) on a les relations suivantes :

$\cos(-x) = \cos(x) $ $\sin(-x) = -\sin(x) $ $\tan(-x) = -\tan(x)$  \( \left(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi / k \in \mathbb{Z}\right) \)	$\cos(\pi-x) = -\cos(x) $ $\sin(\pi-x) = \sin(x) $ $\tan(\pi-x) = -\tan(x)$ \( \left(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi / k \in \mathbb{Z}\right) \)	$\cos(\pi+x) = -\cos(x) $ $\sin(\pi+x) = -\sin(x) $ $\tan(\pi+x) = \tan(x)$  \( \left(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi / k \in \mathbb{Z}\right) \)

  

$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin(x) $ $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)$ $\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{1}{\tan(x)}$ \( \left(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi / k \in \mathbb{Z}\right) ; (x \neq k\pi / k \in \mathbb{Z}) \)	$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = -\sin(x) $ $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos(x) $ $\tan\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \frac{-1}{\tan(x)}$ \( \left(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi / k \in \mathbb{Z}\right) ; (x \neq k\pi / k \in \mathbb{Z}) \)

  

5. Rapports trigonométriques des angles usuels