Trigonométrie 1 – évaluations corrigés

Modèle $N°1$

Exercice 1：$(5pts)$  

$1)$ Déterminer l’abscisses curviligne principale de $\frac{27 \pi}{4}$

$2)$ Placer sur le cercle trigonométrique, les points $M$ et $N$ tels que l’angle $(\vec{i} ; \overrightarrow{O M})$ mesure $\frac{9 \pi}{4}$ rad et l’angle $(\vec{i} ; \overrightarrow{O N})$ mesure $\frac{8 \pi}{3}$ rad

$3)$ Soient $(\widehat{0 x, 0 y})$ et $(\widehat{0 y, 0 z})$ deux angles orientés de mesures principales respectives $\frac{3 \pi}{4}$ et $\frac{2 \pi}{3}$.

Déterminons la mesure principale de l’angle orienté ( $\widehat{\mathbf{0 x}, \mathbf{0} \mathbf{z}}$ ).

$4)$ Dans le plan orienté, $A B C$ est un triangle équilatéral tel que : $(\overrightarrow{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi]$ .

$A C D$ et $A E B$ sont deux triangles directs, rectangles et isoceles respectivement en $D$ et $E$.

Donner en justifiant, la mesure principale des angles orienté suivants : $(\overrightarrow{\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B A}}),(\overrightarrow{\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{C D}})$ et $(\overrightarrow{\overrightarrow{E A}, \overrightarrow{B C}})$

Exercice 2：$(10pts)$  

$1)$ Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ et $\sin x=\frac{3}{4}$; Calculer $\cos x$.

$2)$Déterminer $\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right) ; \cos \left(-\frac{13 \pi}{6}\right) ; \cos \left(\frac{55 \pi}{3}\right)$ ; $\sin \left(-\frac{7 \pi}{6}\right)$ ; $\tan \left(\frac{11 \pi}{6}\right)$ et $\tan \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$

$3)$ Simplifier les expressions suivantes :

$A=2 \cos (-x)+\cos (\pi-x)+5 \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-3 \cos (\pi+x) $

$ B=\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)-5 \cos (\pi-x)+4 \cos (3 \pi+x)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right) $

$4)$ Simplifier les expressions suivantes :

$ A=\sin \left(\frac{\pi}{13}\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{13}\right)+\sin \left(\frac{14 \pi}{13}\right)+\sin \left(\frac{16 \pi}{13}\right) $

$B=\cos (2022 \pi)+\cos (2023 \pi)+2 \cos \left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{8 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right) $

$ C=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{11}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{11}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{17 \pi}{22}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{9 \pi}{22}\right) $

$ D=\tan \left(\frac{\pi}{7}\right)+\tan \left(\frac{3 \pi}{7}\right)+\tan \left(\frac{4 \pi}{7}\right)+\tan \left(\frac{6 \pi}{7}\right) $

Exercice 3：$(5pts)$

 Soit $x$ un réel tel que $x \in[0, \pi]$, pose : $A(x)=\frac{1}{\sin ^{2} x+2 \cos ^{2} x}$

$1)$ Calculer $A(0), A\left(\frac{\pi}{4}\right)$ et $A\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

$a)$ Vérifier que : $A(\pi-x)=A(x)$.

$b)$ En déduire les valeurs de : $A\left(\frac{5 \pi}{6}\right), A\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ et $A(\pi)$.

$2)$ Montrer que : $A\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{1+\sin ^{2} x}$

$3)$On suppose que $x \neq \frac{\pi}{2}$, montrer que: $A(x)=\frac{1+\tan ^{2} x}{2+\tan ^{2} x}$