Trigonométrie
Exercice 1:
$1)$ Donner la mesure en radians de l’angle de mesure $30^{\circ}$.
$2)$ Donner la mesure en degrés de l’angle de mesure $\frac{3 \pi}{8} \mathrm{rad}$.
$3)$ Donner la mesure en radians de l’angle de mesure $135^{\circ}$.
$4)$ Donner la mesure en degrés de l’angle de mesure 1 rad
$5)$ Convertir en radians les mesures suivantes :
$0^{\circ} ; 30^{\circ} ; 45^{\circ} ; 60^{\circ} ; 90^{\circ} ; 180^{\circ} ; 360^{\circ}$
$1)$ $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{\beta}{180}$ implique $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{30}{180}$
C’est-à-dire : $\alpha=30 \times \frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6} \mathrm{rad}$.
$2)$ $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{\beta}{180}$ implique $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{\beta}{180}$
C’est-à-dire : $\alpha \times 180=\beta \times \pi$
$\beta=\frac{\alpha \times 180}{\pi}=\frac{3 \pi}{8} \times \frac{180}{\pi}=67,5^{\circ}$
$3)$ On a : $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{\beta}{180}$ équivalent à : $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{135}{180}$
Équivalent à : $\alpha=135 \times \frac{\pi}{180}=\frac{3 \pi}{4}$ rad.
$4)$ $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{\beta}{180}$ équivalent à : $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{\beta}{180}$
C’est-à-dire : $\alpha \times 180=\beta \times \pi$
$\beta=\frac{1 \times 180}{\pi}=\frac{180}{\pi}=57,29579143 \ldots \mathrm{deg} \simeq 57,2^{\circ}$
$5)$ De la même manière (on appliquant: $\frac{\alpha}{\pi}=\frac{\beta}{180}$ )
Nous obtenons les mesures remarquables que Résume le tableau suivant :
Exercice 2:
$1)$ Calculer la longueur L de l’arc $A B$ d’un cercle ( $C$ ) de rayon $R=3 \mathrm{~cm}$ et tel que : $\alpha=(\overline{A O B})=\frac{\pi}{3} \mathrm{rad}$
$2)$ Calculer la longueur L de l’arc $A B$ d’un cercle ( $C$ ) de rayon $R=60 \mathrm{~cm}$ et tel que : $\alpha=(\overline{A O B})=70 \mathrm{gr}$
$1)$ On a : $L=R \times \alpha=3 \times \frac{\pi}{3} \mathrm{~cm}=\pi \mathrm{cm}$
$2)$ D’abord on va convertir 70 gr en radian: $\alpha=70 \times \frac{\pi}{200}=\frac{7 \pi}{20} \mathrm{rad}$.
Donc : $L=R \times \alpha=60 \times \frac{7 \pi}{20} \mathrm{~cm}=21 \pi \mathrm{~cm}=65,94 \mathrm{~cm}$
Exercice 3:
$1)$ Sur le cercle trigonométrique ci-contre, déterminer les abscisses curvilignes associés aux points : $A ; B ; C ; D ; E ; F ; G ; H ; I ; J$
$2)$ Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacune des abscisses suivantes :
$7 \pi, \frac{110 \pi}{3}, \frac{19 \pi}{4},-\frac{131 \pi}{3},-\frac{217 \pi}{6}$
$3)$ Placer sur le cercle trigonométrique les points :
$A(0) ; B\left(\frac{\pi}{2}\right) ; C\left(\frac{\pi}{4}\right) ; D\left(\frac{\pi}{3}\right) ; E\left(\frac{\pi}{6}\right) ; M\left(\frac{7 \pi}{2}\right)$
$H\left(-\frac{\pi}{4}\right) ; G\left(-\frac{\pi}{2}\right) ; F\left(\frac{5 \pi}{6}\right) ; I_{I}\left(\frac{2007 \pi}{4}\right) ; N\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$
$1)$
$A\left(\frac{\pi}{6}\right) ; B\left(\frac{2 \pi}{3}\right) ; C(\pi) ; D\left(-\frac{\pi}{4}\right)$; $E\left(-\frac{\pi}{6}\right) ; F\left(-\frac{5 \pi}{6}\right) ; G\left(\frac{\pi}{3}\right) ; H\left(-\frac{\pi}{2}\right) ; I(0)$ $J\left(\frac{\pi}{2}\right)$
$2)$
• $x=7 \pi \quad$ Soit $\alpha$ l’abscisse curviligne principale associée a $X$.
Alors il existe un $k \in \mathbb{Z}$ tel que : $\alpha-x=2 k \pi$
C’est-à-dire: $\alpha=7 \pi+2 k \pi$ et $\alpha \in]-\pi ; \pi]$
C’est-à-dire: $-\pi<7 \pi+2 k \pi \leq \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Équivalentà: $\pi-7 \pi<2 k \pi \leq \pi-7 \pi$
Équivalent à: $-8<2 k \leq-6$
Équivalent à: $-4<k \leq-3$ et $k \in \mathbb{Z}$
Alors $k=-3$ et donc: $\alpha=7 \pi+2(-3) \pi=7 \pi-6 \pi=\pi$
Donc l’abscisses curviligne principale associée à $x=7 \pi$ est $\alpha=\pi$
• $x=\frac{110 \pi}{3}$ et soit $\alpha$ l’abscisse curviligne principale associée a $X$
Alors il existe un $k \in \mathbb{Z}$ tel que : $\alpha-x=2 k \pi$
C’est-à-dire : $\alpha=\frac{110 \pi}{3}+2 k \pi$ et $\left.\alpha \in\right]-\pi ; \pi$ ]
C’est-à-dire : $-\pi<\frac{110 \pi}{3}+2 k \pi \leq \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Équivalent à : $-\pi-\frac{110 \pi}{3}<2 k \pi \leq \pi-\frac{110 \pi}{3}$
Équivalent à : $-\frac{113 \pi}{3}<2 k \pi \leq-\frac{107 \pi}{3}$
Équivalent à : $-\frac{113}{6}<k \leq-\frac{107}{6}$ et $k \in \mathbb{Z}$
C’est-à-dire : $-18.83<k \leq-17.83$ et $k \in \mathbb{Z}$
Alors $k=-18$
et donc $\alpha=\frac{110 \pi}{3}+2 k \pi=\frac{110 \pi}{3}+2(-18) \pi=\frac{110 \pi-108 \pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}$
Donc l’abscisse curviligne principale associée à :
$x=\frac{110 \pi}{3}$ est $\alpha=\frac{2 \pi}{3}$
• $x=\frac{19 \pi}{4} \quad$ :
On a :$\frac{19 \pi}{4}=\frac{16 \pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}=4 \pi+\frac{3 \pi}{4}=\frac{3 \pi}{4}+2 \times 2 \pi$
Et $\left.\left.\frac{3 \pi}{4} \in\right]-\pi ; \pi\right]$ donc l’abscisse curviligne principale associée à $\frac{19 \pi}{4}$ est $\alpha=\frac{3 \pi}{4}$
• $x=-\frac{131 \pi}{3}$ et soit $\alpha$ l’abscisse curviligne principale associée a $X$
Alors il existe un $k \in \mathbb{Z}$ tel que : $\alpha-x=2 k \pi$ Équivalent à : $\alpha=-\frac{131 \pi}{3}+2 k \pi$ et $\left.\left.\alpha \in\right]-\pi ; \pi\right]$
C’est-à-dire : $-\pi<-\frac{131 \pi}{3}+2 k \pi \leq \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Équivalent à : $\quad-\pi+\frac{131 \pi}{3}<2 k \pi \leq \pi+\frac{131 \pi}{3}$
Équivalent à : $\frac{128 \pi}{3}<2 k \pi \leq \frac{134 \pi}{3}$
Équivalent à : $\frac{128}{6}<k \leq \frac{134}{6}$ et $k \in \mathbb{Z}$
C’est-à-dire : $21.33<k \leq 22.33$ et $k \in \mathbb{Z}$
Alors $k=22$
et donc $\alpha=-\frac{131 \pi}{3}+2 k \pi=-\frac{131 \pi}{3}+2(22) \pi=\frac{-131 \pi+132 \pi}{3}=\frac{\pi}{3}$
Donc: l’abscisse curviligne principale associée à $x=-\frac{131 \pi}{3}$ est $\alpha=\frac{\pi}{3}$
• $x=-\frac{217 \pi}{6}$ et soit $\alpha$ l’abscisse curviligne principale associée a $X$
Alors il existe un $k \in \mathbb{Z}$ tel que : $\alpha-x=2 k \pi$
C’est-à-dire : $\alpha=-\frac{217 \pi}{6}+2 k \pi$ et $\left.\left.\alpha \in\right]-\pi ; \pi\right]$
C’est-à-dire : $-\pi<-\frac{217 \pi}{6}+2 k \pi \leq \pi$ et $k \in \mathbb{Z}$
Équivalent à : $-\pi+\frac{217 \pi}{6}<2 k \pi \leq \pi+\frac{217 \pi}{6}$
Équivalent à : $\frac{211 \pi}{6}<2 k \pi \leq \frac{223 \pi}{6}$
Équivalent à : $\frac{211}{12}<k \leq \frac{223}{12}$ et $k \in \mathbb{Z}$
C’est-à-dire : $17.58<k \leq 18.58$ et $k \in \mathbb{Z}$
Alors $k=18$
et donc:$\alpha=-\frac{217 \pi}{6}+2 k \pi=-\frac{217 \pi}{6}+2(18) \pi=\frac{-217 \pi+216 \pi}{6}=-\frac{\pi}{6}$
Donc: l’abscisse curviligne principale associée à $x=-\frac{217 \pi}{6}$ est $\alpha=-\frac{\pi}{6}$
$3)$
• $x=\frac{7 \pi}{2} \quad$
On a $: \frac{7 \pi}{2}=\frac{8 \pi-\pi}{2}=\frac{8 \pi}{2}-\frac{\pi}{2}=4 \pi-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}+2 \times 2 \pi$ et $\left.\left.-\frac{\pi}{2} \epsilon\right]-\pi ; \pi\right]$
Donc : l’abscisse curviligne principale associée à $x=\frac{7 \pi}{2}$ est $\alpha=-\frac{\pi}{2}$
• $x=\frac{2007 \pi}{4}$
Méthode 1 : On divise 2007 par 4 on trouve 501, 75 On prend le nombre entier proche ex : 502
Donc : $\frac{2007 \pi}{4}-502 \pi=\frac{2007 \pi}{4}-\frac{2008 \pi}{4}=-\frac{\pi}{4}$
$\frac{2007 \pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+502 \pi=-\frac{\pi}{4}+2 \times 251 \pi$ et $\left.\left.-\frac{\pi}{4} \in\right]-\pi ; \pi\right]$
Donc l’abscisse curviligne principale associée à : $x=\frac{2007 \pi}{4}$ est $\alpha=-\frac{\pi}{4}$
Méthode 2 : $-\pi<\frac{2007 \pi}{4}+2 k \pi \leq \pi$
Équivalent à : $\quad-1<\frac{2007}{4}+2 k \leq 1$
Équivalent à : $\quad-1-\frac{2007}{4}<2 k \leq 1-\frac{2007}{4}$
Équivalent à : $\quad-\frac{2011}{8}<k \leq-\frac{2003}{8}$
Donc $-251,3 \simeq-\frac{2011}{8}<k \leq-\frac{2003}{8} \simeq-250,3$
Donc $k=-251$
Par suite : $\alpha=\frac{2007 \pi}{4}+2(-251) \pi=-\frac{\pi}{4}$
Exercice 4:
Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacune des points suivants:
$M_{0}\left(\frac{9 \pi}{2}\right) ; M_{1}\left(\frac{11 \pi}{3}\right) ; M_{2}\left(\frac{67 \pi}{4}\right) ; M_{3}\left(\frac{19 \pi}{3}\right)$;
$M_{4}\left(\frac{181 \pi}{6}\right)$
• $x=\frac{9 \pi}{2}$ :
$\frac{9 \pi}{2}=\frac{8 \pi+\pi}{2}=\frac{8 \pi}{2}+\frac{\pi}{2}=4 \pi+\frac{\pi}{2}=2 \times 2 \pi+\frac{\pi}{2}$ et $\left.\left.\frac{\pi}{2} \in\right]-\pi ; \pi\right]$
Donc: l’abscisses curviligne principale du point $M_{0}$ est $\alpha=\frac{\pi}{2}$.
• $M_{1}\left(\frac{11 \pi}{3}\right)$
On a $\frac{11 \pi}{3}=\frac{12 \pi-\pi}{3}=4 \pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2 \times 2 \pi$ et $\left.\left.-\frac{\pi}{3} \in\right]-\pi ; \pi\right]$
Donc l’abscisses curviligne principale du point $M_{1}$ est: $\alpha=-\frac{\pi}{3}$.
• $M_{2}\left(\frac{67 \pi}{4}\right)$
On a : $\frac{67 \pi}{3}=\frac{64 \pi+3 \pi}{4}=\frac{64 \pi}{4}+\frac{3 \pi}{4}=16 \pi+\frac{3 \pi}{4}=2 \times 8 \pi+\frac{3 \pi}{4}$ et $\left.\left.\frac{3 \pi}{4} \in\right]-\pi ; \pi\right]$
donc l’abscisses curviligne principale du point $M_{2}$ est $\quad \alpha=\frac{3 \pi}{4}$
• $M_{3}\left(\frac{19 \pi}{3}\right)$
On a $\frac{19 \pi}{3}=\frac{18 \pi+\pi}{3}=\frac{18 \pi}{3}+\frac{\pi}{3}=6 \pi+\frac{\pi}{3}=2 \times 3 \pi+\frac{\pi}{3}$
et $\left.\left.\frac{\pi}{3} \in\right]-\pi ; \pi\right]$
Donc l’abscisses curviligne principale du point $M_{3}$ est : $\alpha=\frac{\pi}{3}$.
• $M_{4}\left(\frac{181 \pi}{6}\right)$
On a :$\frac{181 \pi}{6}=\frac{180 \pi+\pi}{6}=\frac{180 \pi}{6}+\frac{\pi}{6}=30 \pi+\frac{\pi}{6}$.
$\frac{181 \pi}{6}=2 \times 15 \times \pi+\frac{\pi}{6}$ et $\left.\left.\frac{\pi}{6} \in\right]-\pi ; \pi\right]$
Donc : l’abscisse curviligne principale du point $M_{4}$ est : $\alpha=\frac{\pi}{6}$ avec $k=15$.
Exercice 5:
$1)$ Dans chacun des cas suivant, donner trois autres réels associés au même point sur le cercle trigonométrique :
$a)$ $A(-\pi)$
$b)$ $B\left(\frac{3 \pi}{2}\right)$
$c)$ $C(10 \pi)$
$d)$ $D\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
$2)$ Parmi les mesures suivantes, indiquer celles qui sont associés au même point que : $M\left(-\frac{\pi}{12}\right)$ sur le cercle trigonométrique :
$\frac{47 \pi}{12} ; \frac{-49 \pi}{12} ; \frac{11 \pi}{12} ; \frac{-241 \pi}{12} ; \frac{-37 \pi}{12} ;-\frac{313 \pi}{12}$
$1)$
$a)$ $\pi: 3 \pi ; 5 \pi$ et plus généralement $-\pi+2 k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
$b)$$-\frac{\pi}{2}: \frac{7 \pi}{2} ; \frac{11 \pi}{2}$ et plus généralement $\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
$c)$ $0: 2 \pi$; $4 \pi$ et plus généralement $10 \pi+2 k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
$d)$ $\frac{7 \pi}{4}: \frac{15 \pi}{4} ; \frac{23 \pi}{4}$ et plus généralement
$-\frac{\pi}{4}+2 k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
$2)$ $\frac{47 \pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{48 \pi}{12}=4 \pi$ ce qui correspond à un écart de deux tours.
$\frac{-49 \pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{48 \pi}{12}=-4 \pi$
Ce qui correspond à un écart de deux tours.
$\frac{11 \pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{12 \pi}{12}=\pi$ ce qui correspond à un demi-tour.
$\frac{-241 \pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{240 \pi}{12}=-20 \pi$
Ce qui correspond à un écart de 10 tours.
$\frac{-37 \pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{36 \pi}{12}=-3 \pi$
Ce qui correspond à un tour et demi.
$-\frac{313 \pi}{12}-\left(-\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{312 \pi}{12}=-26 \pi$
Ce qui correspond à un écart de 13 tours.
Finalement $\frac{47 \pi}{12} ; \frac{-49 \pi}{12} ; \frac{-241 \pi}{12} ;-\frac{313 \pi}{12}$ sont associés au même point que $M$.
Exercice 6:
Soit sur un cercle trigonométrique d’origine $I$ les points $A ; B ; C ; D$ d’abscisses curvilignes respectifs : $\frac{85 \pi}{3} ; \frac{-139 \pi}{6} ; \frac{7 \pi}{4} ; \frac{11 \pi}{6}$.
$1)$ Placer sur le cercle trigonométrique ces points.
$2)$ En déduire les mesures des angles orientés : $(\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O A}) ;(\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O B}) ;(\overrightarrow{O A} ; \overrightarrow{O B}) ;(\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O C})$; $(\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O D})$
$1)$ pour placer facilement ces points sur le cercle on cherche les abscisses curvilignes principale de ces points.
$A\left(\frac{85 \pi}{3}\right): \frac{85 \pi}{3}=\frac{84 \pi+\pi}{3}=\frac{84 \pi}{3}+\frac{\pi}{3}=2 \times 14 \pi+\frac{\pi}{3}$
On a: $\left.\left.\frac{\pi}{3} \in\right]-\pi ; \pi\right]$ donc c’est l’abscisse curviligne principale du point $A$
$B\left(\frac{139 \pi}{6}\right): \frac{-139 \pi}{6}=\frac{-144 \pi+5 \pi}{6}=\frac{-144 \pi}{6}+\frac{5 \pi}{6}=-24 \pi+\frac{5 \pi}{6}$
On a : $\left \frac{5 \pi}{6} \in\right]-\pi ; \pi$ ] donc: c’est l’abscisse curviligne principale du point $B$
$C\left(\frac{7 \pi}{4}\right): \quad \frac{7 \pi}{4}=\frac{8 \pi-\pi}{4}=\frac{8 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}=2 \pi-\frac{\pi}{4}$
On a: $\left.\left.-\frac{\pi}{4} \in\right]-\pi ; \pi\right]$ donc: c’est l’abscisse curviligne principale du point $C$
$D\left(\frac{11 \pi}{6}\right): \frac{11 \pi}{6}=\frac{12 \pi-\pi}{6}=\frac{12 \pi}{6}-\frac{\pi}{6}=2 \pi-\frac{\pi}{6}$
On a : $\left.\left.-\frac{\pi}{6} \in\right]-\pi ; \pi\right]$ donc : c’est l’abscisse curviligne principale du point $D$
$2)$ $(\overline{\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O A}}) \equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi]$ et $(\overline{\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O B}}) \equiv \frac{5 \pi}{6}[2 \pi]$
On a : $(\overrightarrow{\overline{O A} ; \overrightarrow{O B}}) \equiv(\overline{\overrightarrow{O A} ; \overline{O I}})+(\overline{\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O B}})[2 \pi]$
Donc: $(\overrightarrow{O A} ; \overrightarrow{O B}) \equiv-(\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O A})+(\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O B})[2 \pi]$
Donc: $(\overline{\overrightarrow{O A} ; \overrightarrow{O B}}) \equiv-\frac{\pi}{3}+\frac{5 \pi}{6}[2 \pi]$
C’est-à-dire : $(\overline{\overrightarrow{O A} ; \overrightarrow{O B}}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]$
$(\overline{\overrightarrow{O I} ; \overrightarrow{O C}}) \equiv-\frac{\pi}{4}[2 \pi]$ et $(\overline{\overrightarrow{O I} ; \overline{O D}}) \equiv-\frac{\pi}{6}[2 \pi]$
Exercice 7:
$A B C$ est un triangle rectangle en $A$ direct, tel que $(\overline{\overrightarrow{B A} ; \overrightarrow{B C}}) \equiv-\frac{\pi}{6}[2 \pi]$ et $A C D$ est un triangle équilatéral direct.
$1)$ Faire une figure.
$2)$ Déterminer la mesure principale des angles suivant :
$(\overrightarrow{A D} ; \overrightarrow{A B}) ;(\overrightarrow{D C} ; \overrightarrow{A C}) ;(\overrightarrow{D C} ; \overrightarrow{B A}) ;(\overrightarrow{C A} ; \overrightarrow{C B})$
$1)$
$2)$
$(\overline{\overrightarrow{A D} ; \overrightarrow{A B}}) \equiv(\overline{\overrightarrow{A D} ; \overrightarrow{A C}})+(\overline{\overrightarrow{A C} ; \overrightarrow{A B}})[2 \pi] $
$ \equiv-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}[2 \pi] \equiv-\frac{5 \pi}{6}[2 \pi] $
$(\overline{\overrightarrow{D C} ; \overrightarrow{A C}}) \equiv(\overline{\overrightarrow{C D} ; \overrightarrow{C A}})[2 \pi] \equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi] $
$(\overline{\overrightarrow{D C} ; \overrightarrow{B A}}) \equiv(\overline{\overrightarrow{D C} ; \overrightarrow{C A}})+(\overline{\overrightarrow{C A} ; \overrightarrow{B A}})[2 \pi] $
$ \equiv \pi+(\overline{\overrightarrow{C D} ; \overrightarrow{C A}})+(\overline{\overrightarrow{A C} ; \overrightarrow{A B}})[2 \pi] $
$ \equiv \pi+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}[2 \pi] \equiv \frac{5 \pi}{6}[2 \pi]$
Dans le triangle $A B C$ on a : $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=\pi$ donc : $A C B=\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$
Donc, vue l’orientation : $(\overrightarrow{C A} ; \overrightarrow{C B}) \equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi]$
Exercice 8:
Sachant que : $(\overline{\vec{u} ; \vec{v}}) \equiv-\frac{3 \pi}{4}[2 \pi]$
déterminer la mesure principale de : $(2 \vec{u} ; \vec{v}) ;(-\vec{v} ; 2 \vec{u}) ;(3 \vec{v} ;-2 \vec{u})$;
• $(\overrightarrow{2 \vec{u} ; \vec{v}}) \equiv(\overrightarrow{\vec{u} ; \vec{v}})[2 \pi] \equiv-\frac{3 \pi}{4}[2 \pi]$
•$(\overrightarrow{-\vec{v} ; 2 \vec{u}}) \equiv(\overrightarrow{-\vec{v} ; \vec{v}})+(\overrightarrow{\vec{v} ; 2 \vec{u}})[2 \pi]$
$ \equiv \pi+(\overrightarrow{\vec{v} ; \vec{u}})[2 \pi] \equiv \pi-(\overline{\vec{u} ; \vec{v}})[2 \pi] $
$ \equiv \pi+\frac{3 \pi}{4}[2 \pi] \equiv \frac{7 \pi}{4}[2 \pi] \equiv 2 \pi-\frac{\pi}{4}[2 \pi] \equiv-\frac{\pi}{4}[2 \pi]$
• $ (\overrightarrow{3 \vec{v} ;-2 \vec{u}}) \equiv(\overrightarrow{\vec{v}} ;-\overrightarrow{\vec{u}})[2 \pi] \equiv-(\overrightarrow{-\vec{u} ; \vec{v}})[2 \pi]$
$ \equiv(\pi+(\overrightarrow{\vec{u} ; \vec{v}}))[2 \pi] \equiv-\left(\pi-\frac{3 \pi}{4}\right)[2 \pi] \equiv-\frac{\pi}{4}[2 \pi]$
Exercice 9:
Calculer les rapports trigonométriques des nombre réel suivants :
$7 \pi, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{4},-\frac{4 \pi}{3} ;-\frac{35 \pi}{4}$
$\checkmark \cos (7 \pi)=\cos (\pi+6 \pi)=\cos (\pi+2 \times 3 \pi)=\cos (\pi)=-1$
$\sin (7 \pi)=\sin (\pi+6 \pi)=\sin (\pi+2 \times 3 \pi)=\sin (\pi)=0$
$\tan (7 \pi)=\tan (0+7 \pi)=\tan (0)=0$
$\checkmark$ On a: $\frac{5 \pi}{6}=\frac{6 \pi-\pi}{6}=\frac{6 \pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\pi-\frac{\pi}{6}$
$\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)=\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$
$\tan \left(\frac{5 \pi}{6}\right)=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\tan \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\tan \left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\checkmark$ On a : $\frac{7 \pi}{6}=\frac{6 \pi+\pi}{6}=\frac{6 \pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$
$\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right)=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right)=\sin \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$
$\tan \left(\frac{7 \pi}{6}\right)=\tan \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\tan \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\checkmark$ On a: $\frac{3 \pi}{4}=\frac{4 \pi-\pi}{4}=\frac{4 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4}$
$\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\sin \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)=-1$
$\checkmark$ On a: $\frac{4 \pi}{3}=\frac{3 \pi+\pi}{3}=\frac{3 \pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\pi+\frac{\pi}{3}$
$\cos \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{4 \pi}{3}\right)=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$
$\sin \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)=-\sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)=-\sin \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \left(-\frac{4 \pi}{3}\right)=-\tan \left(\frac{4 \pi}{3}\right)=-\tan \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\tan \left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$
$\checkmark -\frac{35 \pi}{4}$
$\cos \left(-\frac{35 \pi}{4}\right)=\cos \left(\frac{35 \pi}{4}\right)=\cos \left(\frac{36 \pi-\pi}{4}\right)=\cos \left(9 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$\cos \left(-\frac{35 \pi}{4}\right)=\cos \left(\pi+8 \pi-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\cos \frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \left(-\frac{35 \pi}{4}\right)=-\sin \left(\frac{35 \pi}{4}\right)=-\sin \left(\frac{36 \pi-\pi}{4}\right)=-\sin \left(9 \pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$\sin \left(-\frac{35 \pi}{4}\right)=-\sin \left(\pi+8 \pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\sin \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\sin \frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
Exercice 10:
Soit $-\pi<x<\pi$; calculer :
$A=\sin \left(\frac{6 \pi-x}{6}\right)+\sin \left(\frac{12 \pi+2 x}{12}\right) $
$B=\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$
$C=\cos \left(\frac{14 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{23 \pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{9 \pi}{2}\right)$
$D=\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \times \sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right) \times \cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right) ;$
$E=\tan \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \times \tan \left(\frac{5 \pi}{4}\right) \times \tan \left(\frac{5 \pi}{6}\right)$
$A=\sin \left(\frac{6 \pi-x}{6}\right)+\sin \left(\frac{12 \pi+2 x}{12}\right)=\sin \left(\pi-\frac{x}{6}\right)+\sin \left(\pi+\frac{x}{6}\right)$
$A=\sin \left(\frac{x}{6}\right)-\sin \left(\frac{x}{6}\right)=0$
$B=\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{3 \pi+2 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{3 \pi-\pi}{3}\right)$
$B=\cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$
Donc : $B=-\sin \frac{\pi}{3}-\left(-\sin \frac{\pi}{3}\right)=-\sin \frac{\pi}{3}+\sin \frac{\pi}{3}=0$
$C=\cos \left(\frac{14 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{23 \pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{9 \pi}{2}\right)$
$C=\cos \left(\frac{12 \pi+2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{24 \pi-\pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{8 \pi+\pi}{2}\right)$
$C=\cos \left(4 \pi+\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(4 \pi-\frac{\pi}{6}\right)-2 \sin \left(4 \pi+\frac{\pi}{2}\right)$
$C=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
$C=-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
$C=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-2 \times 1=-1-2=-3$
$D=\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \times \sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right) \times \cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\frac{5 \pi}{4}\right)$
$D=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) \times \sin \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right) \times \cos \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) \times \sin \left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)$
$D=\left(-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \times\left(-\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \times\left(-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \times\left(-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$
$D=\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \times \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \times \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \times \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$D=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{8}$
$E=\tan \left(\frac{2 \pi}{3}\right) \times \tan \left(\frac{5 \pi}{4}\right) \times \tan \left(\frac{5 \pi}{6}\right)$
$E=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) \times \tan \left(\pi+\frac{\pi}{4}\right) \times \tan \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)$
$E=-\tan \left(\frac{\pi}{3}\right) \times \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \times-\tan \left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}=1$
Exercice 11:
Soit $-\pi<x<\pi$; calculer :
$\cos \frac{10 \pi}{3} ; \sin \frac{53 \pi}{6} ; \cos \frac{34 \pi}{3} ; \cos \frac{13 \pi}{6} ; \tan \frac{37 \pi}{4}$
$\cos \left(\frac{10 \pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{9 \pi+\pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{9 \pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(3 \pi+\frac{\pi}{3}\right)$
$\cos \left(\frac{10 \pi}{3}\right)=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$
$\cos \left(\frac{13 \pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{12 \pi+\pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{12 \pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left(2 \pi+\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin \left(\frac{53 \pi}{6}\right)=\sin \left(\frac{54 \pi-\pi}{6}\right)=\sin \left(\frac{54 \pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(8 \pi+\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$
$\cos \left(\frac{34 \pi}{3}\right)=\cos \left(11 \pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(10 \pi+\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$
$\tan \frac{37 \pi}{4}=\tan \left(\frac{36 \pi+\pi}{4}\right)=\tan \left(\frac{36 \pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \left(9 \pi+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
Exercice 12:
$1)$ Montrer que : $1+\tan ^{2} x=\frac{1}{\cos ^{2} x}$ Si $: x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi$
$2)$ On a : $\tan x=\frac{1}{3}$ et $\frac{\pi}{2}<x<\pi$
Calculer : $\cos x$ et $\sin x$
$3)$ On a : $\sin x=-\frac{4}{5}$ et $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$
Calculer : $\cos x$ et $\tan x$
$1)$
$1+(\tan x)^{2}=1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{2}=1+\frac{(\sin x)^{2}}{(\cos x)^{2}}=\frac{(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}}{(\cos x)^{2}}$
Et on a : $\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$
Donc : $1+(\tan x)^{2}=\frac{1}{(\cos x)^{2}}$
$2)$
• On a : $1+(\tan x)^{2}=\frac{1}{(\cos x)^{2}}$
Donc : $1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{\cos ^{2} x}$ c’est-à-dire : $1+\frac{1}{9}=\frac{1}{\cos ^{2} x}$
Donc $: \frac{10}{9}=\frac{1}{\cos ^{2} x}$ c’est-à-dire : $\cos ^{2} x=\frac{9}{10}$
Donc $\cos x=\sqrt{\frac{9}{10}}$ ou $\cos x=-\sqrt{\frac{9}{10}}$
Et on a $\frac{\pi}{2}<x<\pi$ donc $\cos x \leq 0$
Et par suite : $\cos x=-\sqrt{\frac{9}{10}}=-\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
• On a $: \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
donc : $\sin x=\tan x \times \cos x$
et par suite : $\sin x=-\frac{1}{3} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$
$3)$
• On a : $\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$
Donc $(\cos x)^{2}+\frac{16}{25}=1$ c’est à dire $:(\cos x)^{2}=1-\frac{16}{25}$
C’est à dire : $(\cos x)^{2}=\frac{9}{25}$
Donc : $\cos x=\sqrt{\frac{9}{25}}$ ou $\cos x=-\sqrt{\frac{9}{25}}$
Donc : $\cos x=\frac{3}{5}$ ou $\cos x=-\frac{3}{5}$ or $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$
Donc: $\cos x \geq 0$ et par suite : $\cos x=\frac{3}{5}$
• Et on a : $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{-4}{3}$
Exercice 13:
$1)$ Simplifier l’expression suivante :
$A(x)=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\cos (-x+6 \pi)+\cos (3 \pi+x)+\sin \left(x-\frac{7 \pi}{2}\right)$
$2)$ Calculer $A\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ et $A\left(-\frac{10 \pi}{3}\right)$
$3)$$a)$ Calculer en fonction de $\sin x$ le nombre :
$A=\frac{\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right) \cos (4 \pi-x)}{\tan \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)}$
$b)$ En déduire la valeur de $A$ si $\tan x=3$
$1)$
$A(x)=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\cos (-x+6 \pi)+\cos (3 \pi+x)+\sin \left(x-\frac{7 \pi}{2}\right)$ $A(x)=\cos ^{2} x-\cos (-x)+\cos (2 \pi+\pi+x)+\sin \left(x-4 \pi+\frac{\pi}{2}\right)$
$A(x)=\cos ^{2} x-\cos (-x)+\cos (\pi+x)+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
$A(x)=\cos ^{2} x-\cos x-\cos x+\cos x=\cos ^{2} x-\cos x$
$2)$ Calcul de $A\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ : on a : $A(x)=\cos ^{2} x-\cos x$
Donc : $A\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)$
$A\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos ^{2}\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$A\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
Donc : $A\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
Calcul de $A\left(-\frac{10 \pi}{3}\right)$ :
$A\left(-\frac{10 \pi}{3}\right)=\cos ^{2}\left(-\frac{10 \pi}{3}\right)-\cos \left(-\frac{10 \pi}{3}\right)$
$=\cos ^{2}\left(\frac{10 \pi}{3}\right)-\cos \left(\frac{10 \pi}{3}\right)=\cos ^{2}\left(3 \pi+\frac{\pi}{3}\right)-\cos \left(3 \pi+\frac{\pi}{3}\right)$
$=\cos ^{2}\left(2 \pi+\pi+\frac{\pi}{3}\right)-\cos \left(2 \pi+\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos ^{2}\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)-\cos \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)$
$A\left(-\frac{10 \pi}{3}\right)=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$
$3)$
$a)$ Calcul en fonction de : $\sin x$ le nombre :
$A=\frac{\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right) \cos (4 \pi-x)}{\tan \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)}$
$A=\frac{\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right) \cos (-x)}{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)}=\frac{\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{2}-x\right) \cos x}{\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)}$
$\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)$
$A=\frac{\cos ^{2}\left(\pi+\frac{\pi}{2}-x\right) \cos x}{\sin \left(\pi+\frac{\pi}{2}-x\right)}=\frac{\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cos x}{-\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$
Donc : $A=\frac{\sin ^{2} x \cos x}{-\cos x}=-\sin ^{2} x$
$b)$ Déduction de la valeur de $A$ si $\tan x=3$
On sait que : $1+\tan ^{2} x=\frac{1}{\cos ^{2} x}$ et $\cos ^{2} x \tan ^{2} x=\sin ^{2} x$ Donc : $\sin ^{2} x=\frac{1}{1+\tan ^{2} x} \tan ^{2} x$
Et puisque : $\tan x=3$ alors :
$A=-\sin ^{2} x=-\frac{\tan ^{2} x}{1+\tan ^{2} x}=-\frac{9}{1+9}=-\frac{9}{10}$.
Exercice 14:
Simplifier les expressions suivantes :
$A=\sin (\pi-x) \times \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \times \cos (\pi-x)$
$B=\frac{\sin x+\sin (\pi-x)}{\cos (\pi-x)}$
$C=\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)-\tan \left(\frac{5 \pi}{6}\right)$
$D=\sin (11 \pi-x)+\cos (5 \pi+x)+\cos (14 \pi-x)$
$E=\tan (\pi-x)+\tan (\pi+x)$
$F=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{10}\right)$
$G=\cos \left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right)$
$H=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{5 \pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{7 \pi}{8}\right)$
$K=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{4 \pi}{10}\right)$
$A=\sin (\pi-x) \times \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \times \cos (\pi-x)$
$A=\sin (x) \times \sin (x)-\cos x \times(-\cos x)=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$
$K=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{4 \pi}{10}\right)$ $B=\frac{\sin x+\sin (\pi-x)}{\cos (\pi-x)}=\frac{\sin x+\sin x}{-\cos x}=-\frac{2 \sin x}{\cos x}=-2 \tan x$
$C=\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)-\tan \left(\frac{5 \pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{6 \pi-\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{6 \pi-\pi}{6}\right)-\tan \left(\frac{6 \pi-\pi}{6}\right)$
$C=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)-\tan \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)+\tan \left(\frac{\pi}{6}\right)$
$C=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$
$D=\sin (11 \pi-x)+\cos (5 \pi+x)+\cos (14 \pi-x)$
$D=\sin (10 \pi+\pi-x)+\cos (4 \pi+\pi+x)+\cos (2 \times 7 \pi-x)$
$D=\sin (\pi-x)+\cos (\pi+x)+\cos (-x)$
$D=\sin (x)-\cos (x)+\cos (x)=\sin (x)$
$E=\tan (\pi-x)+\tan (\pi+x)=-\tan (x)+\tan (x)=0$
$F=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{10}\right)$
On a $\frac{\pi}{5}+\frac{3 \pi}{10}=\frac{2 \pi}{10}+\frac{3 \pi}{10}=\frac{5 \pi}{10}=\frac{\pi}{2}$ donc $: \frac{3 \pi}{10}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}$
$F=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{5}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{5}\right)=1$
$G=\cos \left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right)$
On a $\frac{\pi}{7}+\frac{6 \pi}{7}=\pi \quad$
donc $: \frac{\pi}{7}=\pi-\frac{6 \pi}{7}$
Et on a $\frac{2 \pi}{7}+\frac{5 \pi}{7}=\pi$
donc $: \frac{5 \pi}{7}=\pi-\frac{2 \pi}{7}$
Et on a $\frac{3 \pi}{7}+\frac{4 \pi}{7}=\pi \quad$
donc $: \frac{4 \pi}{7}=\pi-\frac{3 \pi}{7}$
$G=\cos \left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right)+\cos \left(\pi-\frac{3 \pi}{7}\right)+\cos \left(\pi-\frac{2 \pi}{7}\right)+\cos \left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)$
$G=\cos \left(\frac{\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right)-\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)-\cos \left(\frac{\pi}{7}\right)=0$
$H=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{5 \pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{7 \pi}{8}\right)$
On a $\frac{\pi}{8}+\frac{7 \pi}{8}=\pi$
donc : $\frac{7 \pi}{8}=\pi-\frac{\pi}{8}$
Et on a $\frac{3 \pi}{8}+\frac{5 \pi}{8}=\pi$
donc $: \frac{5 \pi}{8}=\pi-\frac{3 \pi}{8}$
$H=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\pi-\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)$
$H=+\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)+2 \sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{8}\right)$
Et on a $\frac{\pi}{8}+\frac{3 \pi}{8}=\frac{\pi}{2}$ donc $: \frac{3 \pi}{8}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}$
Donc on a : $H=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)+2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)$
$H=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)+2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)=2\left(\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)\right)=2 \times 1=2$
$K=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{4 \pi}{10}\right)$
Et on a $: \cos \left(\frac{4 \pi}{10}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{10}\right)$ et $\cos \left(\frac{3 \pi}{10}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{2 \pi}{10}\right)$
Donc : $\cos \left(\frac{4 \pi}{10}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{10}\right)$ et $\cos \left(\frac{3 \pi}{10}\right)=\sin \left(\frac{2 \pi}{10}\right)$
$K=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)$
$K=\left(\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)\right)+\left(\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)\right)$
Donc : $K=1+1=2$
Exercice 15:
Simplifier et calculer les expressions suivantes:
$A=\cos (0)+\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos \left(3 \frac{\pi}{4}\right)+\cos (\pi)$
$B=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin (\pi)$
$C=\sin \left(\frac{11 \pi}{30}\right)-\sin \left(\frac{19 \pi}{30}\right)+\sin \left(\frac{11 \pi}{60}\right)-\cos \left(\frac{19 \pi}{60}\right)+\cos \left(\frac{11 \pi}{60}\right)-\sin \left(\frac{19 \pi}{60}\right)$
$D=\tan \left(\frac{\pi}{5}\right)+\tan \left(\frac{2 \pi}{5}\right)+\tan \left(\frac{3 \pi}{5}\right)+\tan \left(\frac{4 \pi}{5}\right)$
$E=\cos \left(\frac{\pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{7 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{9 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{11 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{13 \pi}{14}\right)$
$A=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+0-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)-1=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+0-\frac{\sqrt{2}}{2}-1=0$
$B=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\sin (\pi)$
$B=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)+\sin (\pi)$
Donc : $B=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+0=2+\sqrt{3}$
Calcul de C :
On a $\sin \left(\frac{19 \pi}{60}\right)=\sin \left(\pi-\frac{11 \pi}{30}\right)$ et $\cos \left(\frac{19 \pi}{60}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{11 \pi}{60}\right)$ et $\sin \left(\frac{19 \pi}{60}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{11 \pi}{60}\right)$
Donc : $\sin \left(\frac{19 \pi}{60}\right)=\sin \left(\frac{11 \pi}{30}\right)$ et $\cos \left(\frac{19 \pi}{60}\right)=\sin \left(\frac{11 \pi}{60}\right)$ et $\sin \left(\frac{19 \pi}{60}\right)=\cos \left(\frac{11 \pi}{60}\right)$
Donc :
$C=\sin \left(\frac{11 \pi}{30}\right)-\sin \left(\frac{19 \pi}{30}\right)+\sin \left(\frac{11 \pi}{60}\right)-\cos \left(\frac{19 \pi}{60}\right)+\cos \left(\frac{11 \pi}{60}\right)-\sin \left(\frac{19 \pi}{60}\right)$
$D=\tan \left(\frac{\pi}{5}\right)+\tan \left(\frac{2 \pi}{5}\right)+\tan \left(\frac{3 \pi}{5}\right)+\tan \left(\frac{4 \pi}{5}\right)$
On a $: \tan \left(\frac{4 \pi}{5}\right)=\tan \left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)$ et $\tan \left(\frac{3 \pi}{5}\right)=\tan \left(\pi-\frac{2 \pi}{5}\right)$
Donc : $\tan \left(\frac{4 \pi}{5}\right)=-\tan \left(\frac{\pi}{5}\right)$ et $\tan \left(\frac{3 \pi}{5}\right)=-\tan \left(\frac{2 \pi}{5}\right)$
Donc : $D=\tan \left(\frac{\pi}{5}\right)+\tan \left(\frac{2 \pi}{5}\right)-\tan \left(\frac{2 \pi}{5}\right)-\tan \left(\frac{\pi}{5}\right)=0$
$E=\cos \left(\frac{\pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{7 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{9 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{11 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{13 \pi}{14}\right)$
On a $: \cos \left(\frac{13 \pi}{14}\right)=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{14}\right)$ et $\cos \left(\frac{11 \pi}{14}\right)=\cos \left(\pi-\frac{3 \pi}{14}\right)$ et $\cos \left(\frac{9 \pi}{14}\right)=\cos \left(\pi-\frac{5 \pi}{14}\right)$
Donc: $\cos \left(\frac{13 \pi}{14}\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{14}\right)$ et $\cos \left(\frac{11 \pi}{14}\right)=-\cos \left(\frac{3 \pi}{14}\right)$ et $\cos \left(\frac{9 \pi}{14}\right)=-\cos \left(\frac{5 \pi}{14}\right)$
Donc:
$E=\cos \left(\frac{\pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{7 \pi}{14}\right)-\cos \left(\frac{5 \pi}{14}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{14}\right)-\cos \left(\frac{\pi}{14}\right)$
Donc:
$E=\cos \left(\frac{\pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{14}\right)+\cos \left(\frac{7 \pi}{14}\right)-\cos \left(\frac{5 \pi}{14}\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{14}\right)-\cos \left(\frac{\pi}{14}\right)$
Donc: $E=\cos \left(\frac{7 \pi}{14}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
Exercice 16:
Simplifier les expressions suivantes:
$A=\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}+\cos ^{2} \frac{7 \pi}{8}+\cos ^{2} \frac{5 \pi}{8}$
$B=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{5 \pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{7 \pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{9 \pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{11 \pi}{12}\right)$
$A=\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}+\cos ^{2}\left(\pi-\frac{3 \pi}{8}\right)+\cos ^{2}\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)$
$A=\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}+\left(-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)^{2}+\left(-\cos \frac{\pi}{8}\right)^{2}$
$A=\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}+\left(-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)^{2}+\left(-\cos \frac{\pi}{8}\right)^{2}$
$A=\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}+\cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}+\cos ^{2} \frac{\pi}{8}=2 \cos ^{2} \frac{\pi}{8}+2 \cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}$
$A=2\left(\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\cos ^{2} \frac{3 \pi}{8}\right)$
Et puisque on a aussi: $\frac{\pi}{8}+\frac{3 \pi}{8}=\frac{\pi}{2}$ et $\frac{3 \pi}{8}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}$
Alors :
$A=2\left(\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\right)=2\left(\cos ^{2} \frac{\pi}{8}+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)\right)=2 \times 1=2$
$B=\sin ^{2} \frac{\pi}{12}+\sin ^{2} \frac{3 \pi}{12}+\sin ^{2} \frac{5 \pi}{12}+\sin ^{2} \frac{7 \pi}{12}+\sin ^{2} \frac{9 \pi}{12}+\sin ^{2} \frac{11 \pi}{12}$
On remarque que : $\frac{\pi}{12}+\frac{11 \pi}{12}=\pi$
donc : $\frac{11 \pi}{12}=\pi-\frac{\pi}{12} \mathrm{Et}$
on a: $\frac{3 \pi}{12}+\frac{9 \pi}{12}=\pi$
donc $\frac{9 \pi}{12}=\pi-\frac{3 \pi}{12}$ et $\frac{5 \pi}{12}+\frac{7 \pi}{12}=\pi$ donc $\frac{7 \pi}{12}=\pi-\frac{5 \pi}{12}$
Donc on a : $B=\sin ^{2} \frac{\pi}{12}+\sin ^{2} \frac{3 \pi}{12}+\sin ^{2} \frac{5 \pi}{12}+\sin ^{2}\left(\pi-\frac{5 \pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\pi-\frac{3 \pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\pi-\frac{\pi}{12}\right)$
$B=\sin ^{2} \frac{\pi}{12}+\sin ^{2} \frac{3 \pi}{12}+\sin ^{2} \frac{5 \pi}{12}+\sin ^{2}\left(\frac{5 \pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{3 \pi}{12}\right)+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{12}\right)$
$B=2 \sin ^{2} \frac{\pi}{12}+2 \sin ^{2} \frac{3 \pi}{12}+2 \sin ^{2} \frac{5 \pi}{12}=2 \sin ^{2} \frac{\pi}{12}+2 \sin ^{2} \frac{5 \pi}{12}+2 \sin ^{2} \frac{\pi}{4}$
$B=2 \sin ^{2} \frac{\pi}{12}+2 \sin ^{2} \frac{3 \pi}{12}+2 \sin ^{2} \frac{5 \pi}{12}=2\left(\sin ^{2} \frac{\pi}{12}+\sin ^{2} \frac{5 \pi}{12}\right)+2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$
Et on remarque que : $\frac{5 \pi}{12}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}$
$B=2\left(\sin ^{2} \frac{\pi}{12}+\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{12}\right)\right)+1=2\left(\sin ^{2} \frac{\pi}{12}+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)+1=2 \times 1+1=3$
Trigonométrie