Trigonométrie 3AC – Évaluations corrigés

Exercice 1：(6pts)

$1)$ Montrons que le triangle $A B C$ est rectangle

On a $\left\{\begin{array}{l}A B^{2}=2^{2}=4 \\ A C^{2}=(2 \sqrt{3})^{2}=12 \\ B C^{2}=4^{2}=16\end{array}\right.$

On a $A B^{2}+A C^{2}=4+12=16$ et $B C^{2}=16$

Donc $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$

Donc, d’après le théorème réciproque de Pythagore, le triangle $A B C$ est rectangle en $A$

$2)$ Calculons les rapports trigonométriques de l’angle $\widehat{A B C}$

– $\cos \widehat{A B C}=\frac{A B}{B C}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0.5$

– $\sin \widehat{A B C}=\frac{A C}{B C}=\frac{2 \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

– $\tan \widehat{A B C}=\frac{A C}{A B}=\frac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

$3)$ Calculons les rapports trigonométriques de l’angle $\widehat{A C B}$

– $\cos \widehat{A B C}=\frac{A C}{B C}=\frac{2 \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

– $\sin \widehat{A C B}=\frac{A B}{B C}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0.5$

– $\tan \widehat{A C B}=\frac{A B}{A C}=\frac{2}{2 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Exercice 2：(6pts)

Simplifions les expressions proposées

$  A=2 \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x-1$

$ =2 \cos ^{2} x+2 \sin ^{2} x+\sin ^{2} x-1 $

$ =2\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right)+\sin ^{2} x-1$

$ =2+\sin ^{2} x-1 $

$ =1+\sin ^{2} x $

$  B=(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2} $

$ =\cos ^{2} x+2 \cos x \sin x+\sin ^{2} x $

$ +\cos ^{2} x-2 \cos x \sin x+\sin ^{2} x $

$ =\cos ^{2} x+\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+\sin ^{2} x $

$ =1+1 $

$ =2$

$C =\sin ^{4} x-\sin ^{2} x+\cos ^{2} x-\cos ^{4} x$

$ =\sin ^{2} x\left(\sin ^{2} x-1\right)+\cos ^{2}\left(\cos ^{2} x-1\right) $

$ =-\sin ^{2} x \cos ^{2} x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x $

$ =0 $

$D =\cos ^{4} x+2 \cos ^{2} x \sin ^{2} x+\sin ^{4} x $

$ =\left(\cos ^{2} x\right)^{2}+2 \cos ^{2} x \sin ^{2} x+\left(\sin ^{2} x\right)^{2} $

$ =\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right)^{2} $

$ =1^{2} $

$ =1$

Exercice 3：(3,5pts)

$1)$ – On sait bien que : $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$

Pour tout réel $x$.

Donc:

$\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)$

Alors:

$\sin (x)  =\sqrt{1-\cos ^{2}(x)} $

$ =\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}} $

$ =\sqrt{1-\frac{1}{3}} $

$ =\sqrt{\frac{2}{3}} $

$ =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $

• On a :

$\tan (x)  =\frac{\sin (x)}{\cos (x)} $

$ =\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

$ =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} $

$ =\sqrt{2} $

$2)$ Soit $x$ la mesure d’un angle aigu; On a :

$\cos ^{2}(x)+\cos ^{2}(x) \times \tan ^{2}(x) $

$=\cos ^{2}(x)+\cos ^{2}(x) \times \frac{\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)} $

$=\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x) $

$=1$

Exercice 4：(4,5pts)

• Calculons $A=\cos 5^{\circ}+2 \sin ^{2} 22^{\circ}-\sin 85^{\circ}+2 \sin ^{2} 68^{\circ}$

$A  =\cos 5^{\circ}+2 \sin ^{2} 22^{\circ}-\sin 85^{\circ}+2 \sin ^{2} 68^{\circ} $

$ =\cos 5^{\circ}+2 \sin ^{2} 22^{\circ}-\cos 5^{\circ}+2 \cos ^{2} 22^{\circ} $

$ =2 \times\left(\sin ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ}\right) $

$ =2 \times 1 $

$ =1$

• Calculons $B=\cos ^{2} 14^{\circ}+\cos ^{2} 28^{\circ}+\cos ^{2} 76^{\circ}+\cos ^{2} 62^{\circ}$

$B =\cos ^{2} 14^{\circ}+\cos ^{2} 28^{\circ}+\cos ^{2} 76^{\circ}+\cos ^{2} 62^{\circ} $

$ =\cos ^{2} 14^{\circ}+\cos ^{2} 76^{\circ}+\cos ^{2} 28^{\circ}+\cos ^{2} 62^{\circ} $

$ =\cos ^{2} 14^{\circ}+\sin ^{2} 14^{\circ}+\cos ^{2} 28^{\circ}+\sin ^{2} 28^{\circ} $

$ =1+1 $

$ =2$

• Calculons $C=5 \sin ^{2} 34^{\circ}+3 \cos ^{2} 11^{\circ}+5 \sin ^{2} 56^{\circ}+3 \cos ^{2} 79^{\circ}$

$C=5 \sin ^{2} 34^{\circ}+3 \cos ^{2} 11^{\circ}+5 \sin ^{2} 56^{\circ}+3 \cos ^{2} 79^{\circ}$

$=5 \sin ^{2} 34^{\circ}+5 \sin ^{2} 56^{\circ}+3 \cos ^{2} 11^{\circ}+3 \cos ^{2} 79^{\circ}$

$=5 \sin ^{2} 34^{\circ}+5 \cos ^{2} 34^{\circ}+3 \cos ^{2} 11^{\circ}+3 \sin ^{2} 11^{\circ}$

$=5\left(\sin ^{2} 34^{\circ}+\cos ^{2} 34^{\circ}\right)+3\left(\cos ^{2} 11^{\circ}+\sin ^{2} 11^{\circ}\right)$

$=5+3$

$=8$