Exercice 1:
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
$1)$ On considère l’angle aigu $x$ :
$a)$ Quel est le côté opposé à $x$ ?
$b)$ Quel est le côté adjacent à $x$ ?
$c)$ Quelle est l’hypoténuse ?
$2)$ Écrire une formule faisant intervenir
$a)$l’angle $x$, $AB$ et $AC$ :
$b)$ l’angle $x$, $AB$ et $BC$ :
$c)$ l’angle $x$, $AC$ et $BC$ :
$3)$ On considère maintenant l’angle aigu $y$ :
$a)$ Quel est le côté opposé à $y$ ?
$b)$ Quel est le côté adjacent à $y$ ?
$c)$ Quelle est l’hypoténuse ?
$4)$ Écrire une formule faisant intervenir
$a)$ l’angle $y$, $AB$ et $AC$ :
$b)$ l’angle $y$, $AB$ et $BC$ :
$c)$ l’angle $y$, $AC$ et $BC$ :
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$.
$1)$ On considère l’angle aigu $x$ :
$a)$ Quel est le côté opposé à $x$ ? $[AC]$
$b)$ Quel est le côté adjacent à $x$ ? $[AB]$
$c)$ Quelle est l’hypoténuse ? $[BC]$
$2)$ Écrire une formule faisant intervenir
$a)$l’angle $x$, $AB$ et $AC$ :
$\tan x=\frac{AC}{AB}$
$b)$ l’angle $x$, $AB$ et $BC$ :
$\cos x=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$
$c)$ l’angle $x$, $AC$ et $BC$ :
$\sin x=\frac{A C}{B C}$
$3)$ On considère maintenant l’angle aigu $y$ :
$a)$ Quel est le côté opposé à $y$ ? $[AB]$
$b)$ Quel est le côté adjacent à $y$ ? $[AC]$
$c)$ Quelle est l’hypoténuse ? $[BC]$
$4)$ Écrire une formule faisant intervenir
$a)$ l’angle $y$, $AB$ et $AC$ :
$\tan y=\frac{A B}{A C}$
$b)$ l’angle $y$, $AB$ et $BC$ :
$\sin y=\frac{A B}{B C}$
$c)$ l’angle $y$, $AC$ et $BC$ :
$\cos y=\frac{A C}{B C}$
Exercice 2:
$ABC$ est un triangle tel que : $AB=12$ ;$AC=5$ et $BC=13$
$1)$ Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
$2)$ Calculer : $\cos \hat{B} ; \sin \hat{B}$ et $\tan \hat{B}$
$1)$ Démontrer que le triangle ABC est rectangle
On a : $B C^{2}=13^{2}=169 \quad$ Et $\quad A B^{2}+A C^{2}=12^{2}+5^{2}=144+25=169$
Puisque : $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}$
Alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore ABC est un triangle rectangle en A .
$2)$ Calculer : $\cos \hat{B} ; \sin \hat{B}$ et $\tan \hat{B}$
$\cos \hat{B}=\frac{A B}{B C}=\frac{12}{13}$
$\sin \hat{B}=\frac{A C}{B C}=\frac{5}{13}$
$\tan \hat{B}=\frac{A C}{A B}=\frac{5}{12}$
Exercice 3:
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ tel que $AB = \sqrt{3}$ et $\tan \hat{B}= \sqrt{2}$
$1)$ Prouver que $AC =\sqrt{6}$
$2)$ Déduire : $BC$
$3)$ Calculer : $\cos \hat{B} ; \sin \hat{B}$
$1)$ Prouver que $\mathrm{AC}=\sqrt{6}$
Le triangle ABC est rectangle en A , alors :
$\tan \hat{B}=\frac{A C}{A B}=\sqrt{2}$
C’est-à-dire que : $\frac{A C}{A B}=\sqrt{2}$
Donc : $A C=A B \times \sqrt{2}=\sqrt{3} \times \sqrt{2}=\sqrt{6}$
$2)$ Déduire: BC
Le triangle ABC est rectangle en A alors d’après le théorème de Pythagore :
$B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}$
$B C^{2}=3+6=9$
$B C=\sqrt{9}=3$
$3)$ Calculer : $\cos \hat{B} ; \sin \hat{B}$
$\cos \hat{B}=\frac{A B}{B C}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\sin \hat{B}=\frac{A C}{B C}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
Exercice 4:
$1)$ À l’aide de la calculatrice, donne la valeur approchée de:
$\cos 18° ; \sin 42°$ ; $\tan 88°$
$2)$ Dans chaque cas, donne la valeur arrondie au degré de $x$.
$\cos x=0,23 ; \sin x=0,32$ ; $\tan x=36$
$1)$ À l’aide de la calculatrice, donne la valeur approchée de:
$\cos 18° = 0,95 ; \sin 42° = 0,67$ ; $\tan 88° = 28,63$
$2)$ Dans chaque cas, donne la valeur arrondie au degré de $x$.
• $\sin ^{-1}(0,32) \approx 19^{\circ}$
• $\boldsymbol{\operatorname { t a n }}^{-1}(36) \approx 88,4^{\circ}$
• $\cos ^{-1}(0,23) \approx 76,5^{\circ}$
Exercice 5:
ABC est un triangle rectangle en $C$. On connaît $BC = 4cm$ et $ \hat{A}= 45°$
$1)$ Ecrire les expressions de $\cos \hat{A} ; \sin \hat{A}$ et $\tan \hat{A}$ en fonction des côtés.
$2)$ Quelle expression permet de calculer $AB$ ?
$3)$ Calculer $AB$
$1)$ Ecrire les expressions de $\boldsymbol{\operatorname { c o s }} \widehat{A} ; \boldsymbol{\operatorname { s i n }} \widehat{A}$ et $\boldsymbol{\operatorname { t a n }} \widehat{A}$ en fonction des côtés.
$\cos \widehat{A}=\frac{A C}{A B}$
$\sin \widehat{A}=\frac{B C}{A B}$
$\tan \widehat{A}=\frac{B C}{A C}$
$2)$ Quelle expression permet de calculer AB ?
$\boldsymbol{\operatorname { s i n }} \widehat{A}=\frac{B C}{A B}$
$3)$Calculer AB
$\sin \widehat{45^{\circ}}=\frac{B C}{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{4}{A B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Donc: $\quad A B=\frac{2 \times 4}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4 \sqrt{2}$
Exercice 6:
Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $B$. On a : $BC=6,5$, $AH=2$ et $HC=5,2$
$1)$ Calculer $BH$
$2)$ Calculer $ \sin H \widehat{B} C$ ,En déduire la mesure de l’angle $H \widehat{B} C$ .
$3)$ Calculer la mesure de l’angle $A \widehat{B} H$
$1)$ Le triangle $BHC$ est rectangle en $H$, alors d’après le théorème de Pythagore :
$B H^{2}=B C^{2}-H C^{2}=6,5^{2}-5,2^{2}=42,24-27,04=15,2$
$B H=\sqrt{15,2}=3,9$
$2)$ Calculer $\sin \mathbf{H B} \mathbf{C}$. En déduire la mesure de l’angle $\mathbf{H B} \mathrm{C}$.
$\sin H \widehat{B} C=\frac{H C}{B C}=\frac{5,2}{6,5}=0,8$
La mesure de l’angle $\mathrm{H} \widehat{B} \mathrm{C}: \sin ^{-1}(0,8) \approx 54^{\circ}$
$3)$ Calculer la mesure de l’angle $\mathbf{A} \widehat{B} H$.
$\sin A \widehat{B} H=\frac{A H}{A B}$
Donc il faut calculer la distance $AB$
Le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ , alors d’après le théorème de Pythagore:
$A B^{2}=B H^{2}+A H^{2}=3,9^{2}+2^{2}=15,21+4=19,21$
$A B=\sqrt{19,21}=4,4$
Alors : $\sin A \widehat{B} H=\frac{A H}{A B}=\frac{2}{4,4}=0,45$
La mesure de l’angle $A \widehat{B} H: \sin ^{-1}(0,45) \approx 27^{\circ}$
Exercice 7:
$1)$ Calculer $\sin x$ et $\tan x$ sachant que : $ \cos x = 0,8$
$2)$ Calculer $\cos x$, et $\tan x$ sachant que : $\sin x =\frac{1}{3} $
$3)$ Calculer $\sin x$ et $\tan x$ sachant que : $\cos x = 0,6$
$4)$ Calculer $\cos x$, et $\tan x$ sachant que : $\sin x =\frac{2}{\sqrt{6}}$
$5)$ Calculer $\cos x$ et $\sin x$ sachant que : $\tan x =\frac{1}{3} $
$1)$ Soit $x$ un angle aigu tel que : $\cos x=0,8$
Calculer : $\sin x$ et $\tan x$
• Calculons $\sin x$ :
On sait que $: \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$
Alors : $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)=1-0,8^{2}=1-0,64=0,36$
Donc : $\sin x=\sqrt{0,36}=0,6$
• Calculons $\tan x$ :
On sait que $: \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{0.6}{0.8}=0,75$
$2)$ Calculer $\cos x$, et tan $x$ sachant que $: \boldsymbol{\operatorname { s i n }} x=\frac{1}{3}$
Soit $x$ un angle aigu tel que $: \sin x=\frac{1}{3}$
• Calculons $\cos \boldsymbol{x}$ :
On sait que $: \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$
Alors : $\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$
Donc $: \cos x=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
• Calculons $\tan \boldsymbol{x}$ :
on sait que $: \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
$3)$ Calculer $\sin x$, et $\tan x$ sachant que : $\cos x=0,6$ Soit $x$ un angle aigu tel que : $\cos \boldsymbol{x}=0,6$
Calculer : $\sin x$ et tan $x$
• Calculons $\sin x$ :
on sait que : $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$
Alors : $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)=1-0,6^{2}=1-0,36=0,64$
Donc: $\sin x=\sqrt{0,64}=0,8$
• Calculons $\tan \boldsymbol{x}$ :
On sait que : $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
$4)$ Calculer $\cos \mathrm{x}$, et $\tan \mathrm{x}$ sachant que : $\sin x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
Soit $x$ un angle aigu tel que $: \sin x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
• Calculons $\cos \boldsymbol{x}$ :
On sait que : $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$
Alors : $\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)=1-\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^{2}=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$
Donc : $\boldsymbol{\operatorname { c o s }} x=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
• Calculons $\tan \boldsymbol{x}$ :
On sait que $: \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=2$
$5)$ Calculer $\cos x$, et $\sin x$ sachant que : $\tan x=\frac{1}{3}$
On sait que $: \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{3}$
Alors: $\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{3}$
C’est à dire que : $\boldsymbol{\operatorname { s i n }} \boldsymbol{x}=\frac{1}{3} \cos x$
$\sin ^{2}(x)=\left(\frac{1}{3} \cos x\right)^{2}=\frac{1}{9} \cos ^{2}(x)$
• Calculons $\cos \boldsymbol{x}$ :
On sait que : $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$
Alors : $\cos ^{2}(x)+\frac{1}{9} \cos ^{2}(x)=1$
$\frac{9}{9} \cos ^{2}(x)+\frac{1}{9} \cos ^{2}(x)=1$
$\frac{10}{9} \cos ^{2}(x)=1$
$\cos ^{2}(x)=\frac{9}{10}$
Donc: $\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(x)=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$
Exercice 8:
1) Simplifier et calculer :
$ A=\cos ^{2} 35^{\circ}+\sin ^{2} 33^{\circ}+\sin ^{2} 35^{\circ}+\cos ^{2} 33^{\circ} $
$ B=\cos ^{2} 20^{\circ}+\sin ^{2} 20+1 $
$ C=\cos ^{2} 25^{\circ}+\sin ^{2} 70^{\circ}+\sin ^{2} 25^{\circ}+\cos ^{2} 70^{\circ} $
2) Simplifier et calculer :
$A=\cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x-2$
$B=(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}$
$C=\frac{\sin ^{4} x-\cos ^{4} x}{\sin x+\cos x}$
$D=\sqrt{1+\cos x} \times \sqrt{1-\cos x} \times \frac{1}{\sin x}$
1) Simplifier et calculer :
$ A=\cos ^{2} 35^{\circ}+\sin ^{2} 33^{\circ}+\sin ^{2} 35^{\circ}+\cos ^{2} 33^{\circ} $
$ A=\cos ^{2} 35^{\circ}+\sin ^{2} 35^{\circ}+\sin ^{2} 33^{\circ}+\cos ^{2} 33^{\circ} $
$ A=1+1 $
$ A=2 $
$ B=\cos ^{2} 20^{\circ}+\sin ^{2} 20+1 $
$B=1+1 $
$ B=2 $
$ C=\cos ^{2} 25^{\circ}+\sin ^{2} 70^{\circ}+\sin ^{2} 25^{\circ}+\cos ^{2} 70^{\circ} $
$ C=\cos ^{2} 25^{\circ}+\sin ^{2} 25^{\circ}+\sin ^{2} 70^{\circ}+\cos ^{2} 70^{\circ} $
$ C=1+1 $
$ C=2$
2) Simplifier et calculer :
$A=\cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x-2$
$A=\cos ^{2} x+\sin ^{2} x+2 \sin ^{2} x-2$
$A=1+2 \sin ^{2} x-2$
$A=2 \sin ^{2} x-1$
$A=\sin ^{2} x+\sin ^{2} x-1$
$A=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x \quad$ Car $\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$
$B=(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2}$
$B=\left(\cos ^{2} x+2 \cos x \times \sin x+\sin ^{2} x\right)+\left(\cos ^{2} x-2 \cos x \times \sin x+\sin ^{2} x\right)$
$B=\cos ^{2} x+\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+\sin ^{2} x+2 \cos x \times \sin x-2 \cos x \times \sin x$
$B=1+1$
$B=2$
$C=\frac{\sin ^{4} x-\cos ^{4} x}{\sin x+\cos x}$
$\mathrm{C}=\frac{\left(\sin ^{2} x\right)^{2}-\left(\cos ^{2} x\right)^{2}}{\sin x+\cos x}$
$\mathrm{C}=\frac{\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)}{\sin x+\cos x}$
$\mathrm{C}=\frac{\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)(1)}{\sin x+\cos x}$
$C=\frac{(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}$
$C=\sin x-\cos x$
$D=\sqrt{1+\cos x} \times \sqrt{1-\cos x} \times \frac{1}{\sin x}$
$D=\sqrt{(1+\cos x)(1-\cos x)} \times \frac{1}{\sin x}$
$D=\sqrt{1^{2}-\cos ^{2} x} \times \frac{1}{\sin x}$
$D=\sqrt{\sin ^{2} x} \times \frac{1}{\sin x} \quad$ Car $\cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1$
$D=\sin x \times \frac{1}{\sin x}$
D $=1$
Exercice 9:
$1)$ Montrer que:
• $\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x$
• $ \frac{1}{\sin ^{2} x}=1+\frac{1}{\tan ^{2} x} $
• $ \frac{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)}{2 \sin ^{2} \alpha}=\frac{1}{2} $
$2)$ Simplifier les expressions suivantes :
• $\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}-\left(1-\tan ^{2} \alpha\right)$
• $(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha)\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)+2012$
• $\sin ^{4} x+\cos ^{4} x+2 \sin ^{2} x \times \cos ^{2} x$
$1)$
• $\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x$
$\frac{1}{\cos ^{2} x}=\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}=\frac{\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x}+\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x$
• $ \frac{1}{\sin ^{2} x}=1+\frac{1}{\tan ^{2} x} $
$ \frac{1}{\sin ^{2} x}=\frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}=\frac{\sin ^{2} x}{\sin ^{2} x}+\frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}=1+\frac{1}{\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}}=1+\frac{1}{\tan ^{2} x}$
• $ \frac{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)}{2 \sin ^{2} \alpha}=\frac{1}{2} $
$ \frac{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)}{2 \sin ^{2} \alpha}=\frac{1^{2}-\cos ^{2} \alpha}{2 \sin ^{2} \alpha}=\frac{\sin ^{2} \alpha}{2 \sin ^{2} \alpha}=\frac{1}{2}$
$2)$
• $\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}-\left(1-\tan ^{2} \alpha\right)=1+\tan ^{2} \alpha-\left(1-\tan ^{2} \alpha\right)=2 \tan ^{2} \alpha$
• $(1-\sin \alpha)(1+\sin \alpha)\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)+2012$
$=\left(1^{2}-\sin ^{2} \alpha\right)\left(\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\right)+2012$
$=\left(\cos ^{2} \alpha\right)\left(\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}\right)+2012$
$=\left(\frac{\cos ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}\right)+2012$
$=(1)+2012$
$=2013$
• $\sin ^{4} x+\cos ^{4} x+2 \sin ^{2} x \times \cos ^{2} x$
$ =\left(\sin ^{2} x\right)^{2}+\left(\cos ^{2} x\right)^{2}+2 \sin ^{2} x \times \cos ^{2} x$
$ =\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}$
$ =\left(\mathbf{a}^{2}=1\right.$
Exercice 10:
$x$ est la mesure d’un angle aigu. Déterminer la valeur de $x$ dans chaque cas :
$1)$ $\sin x = \cos 45°$
$2)$ $\cos x = \sin 15°$
$3)$ $\sin x = \cos 70°$
$x$ est la mesure d’un angle aigu. Déterminer la valeur de $x$ dans chaque cas :
$1)$ $\sin 45° = \cos 45°$ car : $ 45° + 45° =90°$
$2)$ $\cos 75° = \sin 15°$ car : $75° + 15° =90°$
$3)$ $\sin 20° = \cos 70°$ car : $20° + 70° =90°$
Exercice 11:
$ A=\cos ^{2} 10^{\circ}+\sin ^{2} 40^{\circ}+\cos ^{2} 80^{\circ}+\sin ^{2} 50^{\circ} $
$ B=\cos 25^{\circ}+\cos 70^{\circ}-\sin 65^{\circ}+\sin 20^{\circ} $
$ C=\cos ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 75^{\circ}-2 \tan 35^{\circ} \times \tan 55^{\circ} $
$ D=\sin 25^{\circ}-\sin 65^{\circ}+\cos 25^{\circ}-\cos 65^{\circ} $
$ E=\sin 80^{\circ}+7 \sin ^{2} 50^{\circ}-\cos 10^{\circ}+7 \sin ^{2} 40^{\circ} $
$ F=3 \cos ^{2} 15+3 \cos ^{2} 75^{\circ}-2 \times \tan 35^{\circ} \times \tan 55^{\circ} $
$ G=2 \sin ^{2} 25^{\circ}+\sin 13^{\circ}+2 \cos ^{2} 65^{\circ}-\cos 77^{\circ}$
$A=\cos ^{2} 10^{\circ}+\sin ^{2} 40^{\circ}+\cos ^{2} 80^{\circ}+\sin ^{2} 50^{\circ}$
$A=\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 80^{\circ}+\sin ^{2} 40^{\circ}+\sin ^{2} 50^{\circ}$
$A=\cos ^{2} \mathbf{1 0} 0^{\circ}+\sin ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}+\sin ^{2} 50^{\circ}$
$A=\mathbf{1}+\mathbf{1}$
$\boldsymbol{A}=\mathbf{2}$
$ B=\cos ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 75^{\circ}-2 \times \tan 35^{\circ} \times \tan 55^{\circ} $
$ B=\cos ^{2} 15^{\circ}+\sin ^{2} 15^{\circ}-2 \times \tan 35^{\circ} \times \frac{1}{\tan 35^{\circ}} $
$ B=1-2 \times \tan 35^{\circ} \times \frac{1}{\tan 35^{\circ}} $
$ B=1-2 \times 1$
$ B=-1$
$C=\cos 25^{\circ}+\cos 70^{\circ}-\sin 65^{\circ}-\sin 20^{\circ}$
$C=\cos 25^{\circ}-\sin 65^{\circ}+\cos 70^{\circ}-\sin 20^{\circ}$
$C=\cos 25^{\circ}-\cos 25^{\circ}+\cos 70^{\circ}-\cos 70^{\circ}$
$\boldsymbol{C}=\mathbf{0}$
$\mathrm{D}=\sin 25^{\circ}-\sin 65^{\circ}+\cos 25^{\circ}-\cos 65^{\circ}$
$\mathrm{D}=\sin 25^{\circ}-\cos 25^{\circ}+\cos 25^{\circ}-\sin 25^{\circ}$
$\mathbf{D}=\mathbf{0}$
$E=\sin 80^{\circ}+7 \sin ^{2} 50^{\circ}-\cos 10^{\circ}+7 \sin ^{2} 40^{\circ}$
$E=\sin 80^{\circ}-\cos \mathbf{1 0} 0^{\circ}+7 \sin ^{2} 50^{\circ}+7 \sin ^{2} \mathbf{4 0} 0^{\circ}$
$E=\sin 80^{\circ}-\sin 80^{\circ}+7 \cos ^{2} 40^{\circ}+7 \sin ^{2} 40^{\circ}$
$E=7\left(\cos ^{2} \mathbf{4 0} 0^{\circ}+\sin ^{2} \mathbf{4 0}{ }^{\circ}\right)$
$E=7(1)$
$\boldsymbol{E}=\mathbf{7}$
$ F=3 \cos ^{2} 15+3 \cos ^{2} 75^{\circ}-2 \times \tan 35^{\circ} \times \tan 55^{\circ} $
$ F=3\left(\cos ^{2} 15+\sin ^{2} 15^{\circ}\right)-2 \times \tan 35^{\circ} \times \frac{1}{\tan 35^{\circ}} $
$ F=3(1)-2 \times 1 $
$ F=1$
$ G=2 \sin ^{2} 25^{\circ}+\sin 13^{\circ}+2 \cos ^{2} 65^{\circ}-\cos 77^{\circ} $
$ G=2 \sin ^{2} 25^{\circ}+2 \cos ^{2} 65^{\circ}+\sin 13^{\circ}-\cos 77^{\circ} $
$ G=2 \sin ^{2} 25^{\circ}+2 \sin ^{2} 25^{\circ}+\sin 13^{\circ}-\sin 13^{\circ} $
$G=4 \sin ^{2} 25^{\circ}$
Exercice 12:
$A=\sin 55^{\circ}-\cos 35^{\circ}+\cos 70^{\circ}-\sin 20^{\circ}$
$B=\sin ^{2} 29^{\circ}-\tan 75^{\circ} \times \tan 15^{\circ}+\sin ^{2} 61^{\circ}$
$C=\sin 23^{\circ} \times \cos 67^{\circ}+\sin ^{2} 67^{\circ}+\tan 40^{\circ} \times \tan 50^{\circ}$
$D=2 \cos ^{2} 24^{\circ}-\sin ^{2} 68^{\circ}+2 \cos ^{2} 66^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ}$
$E=\cos ^{2} 35^{\circ}-\tan 45^{\circ}+\cos ^{2} 55^{\circ}+\sin ^{2} 30^{\circ}$
$A=\sin 55^{\circ}-\cos 35^{\circ}+\cos 70^{\circ}-\sin 20^{\circ}$
On a: $55^{\circ}+35^{\circ}=90$ et $70^{\circ}+20^{\circ}=90^{\circ}$
Donc : $\quad \sin 55^{\circ}=\cos 35^{\circ}$ et $\cos 70^{\circ}=\sin 20^{\circ}$
D’où: $ A=\cos 35^{\circ}-\cos 35^{\circ}+\sin 20^{\circ}-\sin 26^{\circ} $
$ A=0$
$B= \sin ^{2} 29^{\circ}-\tan 75^{\circ} \times \tan 75^{\circ}+\sin ^{2} 61^{\circ} $
$B= \sin ^{2} 29^{\circ}+\sin ^{2} 61^{\circ}-\tan 75^{\circ} \times \tan 15^{\circ} $
$ \sin a: 29^{\circ}+61^{\circ}=90^{\circ}$ et $75^{\circ}+15^{\circ}=90^{\circ}$
Donc $ \sin 29^{\circ}=\cos 61^{\circ}$ et $\tan 75^{\circ}=\frac{1}{\tan 15^{\circ}}$
D’où: $B= \cos ^{2}61^{\circ}+\sin ^{2} 61^{\circ}-\frac{1}{\tan 15^{\circ}} \times \tan 15^{\circ} $
$\operatorname{dou} B=1-1$
Donc : $B=0$
$C=\sin 23^{\circ} \times \cos 67^{\circ}+\sin ^{2} 67^{\circ}+\tan 40^{\circ} \times \tan 50^{\circ}$
On a: $23^{\circ}+67=90^{\circ}$ et $40^{\circ}+50^{\circ}=90^{\circ}$
donc $\sin 23^{\circ}=\cos 67^{\circ}$ et $\tan 50^{\circ}=\frac{1}{\tan 40^{\circ}}$
$ C =\cos 67^{\circ} \times \cos 67^{\circ}+\sin 67^{\circ}+\tan 40^{\circ} \times \frac{1}{\tan 40^{\circ}} $
$C =\cos ^{2} 67^{\circ}+\sin 67^{\circ}+1$
$C =\cos 2_{2}^{67^{\circ}+\sin 67^{\circ}}+1 $
$C =1+1$
$ C=21$
$D=2 \cos ^{2} 24^{\circ}-\sin ^{2} 68^{\circ}+2 \cos ^{2} 66^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ}$
On a: $24^{\circ}+66^{\circ}=90^{\circ}$ et $68^{\circ}+22^{\circ}=90^{\circ}$
Donc : $\cos 24^{\circ}=\sin 66^{\circ}$ et $\sin 68^{\circ}=\cos 22^{\circ}$
D’où :
$ D=2 \cos ^{2} 24+2 \cos ^{2} 66^{\circ}-\sin ^{2} 68^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ} $
$D=2 \sin ^{2} 66^{\circ}+2 \cos ^{2} 66^{\circ}-\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ} $
$D =2\left(\sin ^{2} 66^{\circ}+\cos ^{2} 66^{\circ}\right)$
$D =2 \times 1 $
$D =2$
$E =\cos ^{2} 35^{\circ}-\tan 45^{\circ}+\cos ^{2} 55^{\circ}+\sin ^{2} 30^{\circ} $
$E =\cos ^{2} 35^{\circ}+\cos ^{2} 55^{\circ}-\tan ^{\circ} 45^{\circ}+\sin 30^{\circ}$
On a : $ 35^{\circ}+55^{\circ}=90^{\circ}$ et $\tan 45^{\circ}=1$ et $\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$
Donc $ \cos 35^{\circ}=\sin 55^{\circ}$
D’où :
$E =\sin ^{2} 55^{\circ}+\cos ^{2} 55^{\circ}-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} $
$E =x-1+\frac{1}{4} $
$E =\frac{1}{4}$
Exercice 13:
$I)$ $b$ est la mesure d’un angle aigu tel que : $2 \cos (b)=\sin (b)$
$1)$ Calculer : $\boldsymbol{\operatorname { t a n }}(b), \sin (b)$ et $\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(b)$.
$2)$ Calculer: $M=1+\frac{3}{\sqrt{3}} \sin \left(35^{\circ}\right)-\sqrt{3} \cos \left(55^{\circ}\right) $.
$II)$ $3 \quad A B C$ est un triangle et $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur (BC) tel que : $A H=4, B H=2$ et $\tan (x)=\frac{1}{2}$.
$a)$ Montrer que: $A B=2 \sqrt{5}, A C=4 \sqrt{5}$ et $C H=8$
$b)$ Montrer que le triangle $A B C$ est rectangle en $A$.
$I)$
$1) $ On a : $\tan (b)=\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$
Or : $2 \cos (b)=\sin (b)$
Donc : $\tan (b)=2$
Puisque :$2 \cos (b)=\sin (b)$
On a:
$\sin ^{2}(b) =4 \cos ^{2}(b)$
$\sin ^{2}(b) =4\left(1-\sin ^{2}(b)\right) $
$\sin ^{2}(b) =4-4 \sin ^{2}(b)$
D’où : $ \sin ^{2}(b)=\frac{4}{5}$
Ainsi :$\sin (b) =\sqrt{\frac{4}{5}} $
$ \sin (b) =\frac{2}{\sqrt{5}}$
$\sin (b) =\frac{2 \sqrt{5}}{5} $
Puisque : $2 \cos (b)=\sin (b)$
On a : $\cos ^{2}(b) =\frac{\sin ^{2}(b)}{4}$
$ \cos ^{2}(b) =\frac{\left(1-\cos ^{2}(b)\right)}{4} $
$ \cos ^{2}(b) =\frac{1}{4}-\frac{\cos ^{2}(b)}{4}$
Alors: $ \frac{5}{4} \cos ^{2}(b)=\frac{1}{4}$
Donc :$\cos ^{2}(b)=\frac{1}{5}$
D’où: $ \cos (b) =\sqrt{\frac{1}{5}} $
$ \cos (b)=\frac{1}{\sqrt{5}} $
$\cos (b) =\frac{\sqrt{5}}{5}$
$2)$ $M =1+\frac{3}{\sqrt{3}} \sin \left(35^{\circ}\right)-\sqrt{3} \cos \left(55^{\circ}\right) $
$M =1+\frac{3}{\sqrt{3}} \cos \left(55^{\circ}\right)-\sqrt{3} \cos \left(55^{\circ}\right)$
Puisque $55^{\circ}$ et $35^{\circ}$ sont deux mesures des angles complémentaires.
$M =1+\sqrt{3} \cos \left(55^{\circ}\right)-\sqrt{3} \cos \left(55^{\circ}\right)$
$M =1$
$II)$
$a)$ $H$ est le projeté orthogonal de $A$, donc $A H B$ est un triangle rectangle en $H$.
D’après le théorème de Pythagore :
$A B^{2} =A H^{2}+B H^{2} $
$ =4^{2}+2^{2} $
$ =20$
Ainsi : $A B =\sqrt{20} $
$ A B =\sqrt{4 \times 5} $
$ A B =2 \sqrt{5} $
$\tan (x) =\frac{A H}{H C} $
$ \tan (x)=\frac{1}{2}$
Donc: $ H C =2 A H$
$ H C =8 $
• Puisque $A H C$ est un triangle rectangle en H.
On a: $A H^{2} +H C^{2}=A C^{2}$
$A C =\sqrt{A H^{2}+H C^{2}} $
$ A C=\sqrt{4^{2}+8^{2}} $
$ A C=4 \sqrt{5}$
$b)$ On remarque que: $B C$ est le coté de plus grande longueur dans le triangle $A B C$. et d’une part, on a :
$B C^{2} =(B H+H C)^{2} $
$ =(2+8)^{2} $
$ =100 $
D’autre part, on a :
$A B^{2}+A C^{2} =(2 \sqrt{5})^{2}+(4 \sqrt{5})^{2} $
$ =20+16 \times 5 $
$ =100$
D’où : $B C^{2}=A B^{2}+A C^{2} $
D’après la réciproque du théorème de pythagore, $A B C$ est un triangle rectangle en $A$.