vecteurs et translation exercices corrigés 3AC
Exercice 1:
ABC est un triangle.
$1)$ Représenter les points $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ et Q tels que :
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}} $
$\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}} $
$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}} $
$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$2)$ Représenter les points $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ et Q tels que :
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}} $
$\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}} $
$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}} $
$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$1)$
$2)$
Exercice 2:
$1)$ On donne deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, et on demande dans chaque cas de construire le point $M$ défini par une égalité vectorielle.
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Exercice 3:
En utilisant les quadrillages, construire les points suivants :
a. $A^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{A A^{\prime}}=\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}$.
f. $\mathrm{F}^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{FF}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{GI}}+\overrightarrow{\mathrm{IH}}+\overrightarrow{\mathrm{DG}}$.
b. $\mathrm{B}^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{FE}}+\overrightarrow{\mathrm{EG}}$.
g. G’ tel que $\overrightarrow{\mathrm{GG}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{IH}}+\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{HA}}$.
c. $\mathrm{C}^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{CC}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\overrightarrow{\mathrm{HD}}$.
h. $\mathrm{H}^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{HH}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CE}}+\overrightarrow{\mathrm{EG}}+\overrightarrow{\mathrm{EB}}$.
d. $D^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{D D D^{\prime}}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{F B}$.
i. I’ tel que $\overrightarrow{\mathrm{II}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{IG}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}$.
e. $\mathrm{E}^{\prime}$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{EE}}{ }^{\prime}=\overrightarrow{\mathrm{BF}}+\overrightarrow{\mathrm{HG}}$.
j. J’ tel que $\overrightarrow{\mathrm{JJ}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{GE}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}}+\overrightarrow{\mathrm{BF}}$.
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Exercice 4:
Soit un triangle $A B C$. Construire les points suivants :
$M$ tel que $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}$
$N$ tel qu $\overrightarrow{B N}=2 \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C B}$
$P$ tel que $\overrightarrow{C P}=-3 \overrightarrow{A B}-2 \overrightarrow{A C}$
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Exercice 5:
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Exercice 6:
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Exercice 7:
$A$ et $B$ sont deux points distincts.
$a)$ Placer le point $M$ tel que $\overrightarrow{B M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$
$b)$ Compléter les égalités suivantes :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\ldots \ldots \cdot \overrightarrow{\mathrm{BM}}$
$\overrightarrow{\mathrm{BM}}=\ldots . . \overrightarrow{\mathrm{AM}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\ldots . . \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\ldots . \overrightarrow{\mathrm{AB}}$
$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\ldots . . \overrightarrow{\mathrm{BM}}$
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\ldots . . \overrightarrow{\mathrm{BM}}$
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Exercice 8:
On donne le triangle ABC suivant :
$a)$ Construire : les points $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ et \mathrm{R} définis par :
$- $Le point $M$ tel que $\overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{B C}$
$-$ Le point $N$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$-$ Le point $P$ tel que $\overrightarrow{C P}=2 \overrightarrow{A B}-\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$
$-$ Le point Q tel que $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=-\frac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$-$ Le point $R$ tel que $\overrightarrow{A R}=-\frac{3}{4} \overrightarrow{B C}$
$b)$ Montrer que $\overrightarrow{P N}=\overrightarrow{B A}$
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Exercice 9:
A l’aide de la relation de Chasles, écrire sous forme d’un seul vecteur… si c’est possible :
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}=$
$\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C A}=$
$\overrightarrow{\mathrm{DF}}-\overrightarrow{\mathrm{FG}}=$
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=$
$\overrightarrow{\mathrm{RS}}+\overrightarrow{\mathrm{AR}}=$
$\overrightarrow{\mathrm{EG}}+\overrightarrow{\mathrm{GT}}=$
$\overrightarrow{\mathrm{AL}}-\overrightarrow{\mathrm{LA}}=$
$-\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{D B}=$
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Exercice 10:
$1)$ Ecrire plus simplement les vecteurs suivants, en utilisant la relation de Chasles:
$\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}} $
$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{IJ}}+\overrightarrow{\mathrm{KI}}+\overrightarrow{\mathrm{JK}} $
$\vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}} $
$\vec{x}=\overrightarrow{\mathrm{DE}}+\overrightarrow{\mathrm{FG}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}}+\overrightarrow{\mathrm{DG}}$
$2)$ Ecrire plus simplement les vecteurs suivants, en transformant les soustractions en addition de l’opposé, puis en utilisant la relation de Chasles:
$\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{RT}}-\overrightarrow{\mathrm{ST}}+\overrightarrow{\mathrm{RS}}$
$\vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{MA}}-\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}}$
$\vec{x}=2 \overrightarrow{\mathrm{MN}}-\overrightarrow{\mathrm{MP}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$
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Exercice 11:
Compléter les égalités vectorielles :
1. $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{…. B}$
2. $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}=\overrightarrow{\mathrm{IL}}+\overrightarrow{\ldots}}$
3. $\overrightarrow{\mathrm{RT}}=\ldots . . \overrightarrow{\mathrm{AT}}$
4. $\overrightarrow{\mathrm{SD}}=\overrightarrow{\mathrm{TD}}+\ldots .$.
5. $\overrightarrow{R E}=\overrightarrow{\ldots . .}+\overrightarrow{R S}$
6. $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{C} \ldots}+\overrightarrow{\mathrm{KL}}+\overrightarrow{\ldots D}$
7. $\overrightarrow{\mathrm{FA}}=\overrightarrow{\mathrm{C} \ldots}+\overrightarrow{\mathrm{FG}}+\overrightarrow{\mathrm{G} \ldots}$
8. $\overrightarrow{A T}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{R T}+\overrightarrow{B S}+\ldots \ldots$
9. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\ldots \ldots+\overrightarrow{\mathrm{JK}}+\ldots \ldots$
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Exercice 12:
$a)$ Exprimer le vecteur $\vec{u}$ en fonction de $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$.
• $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$
• $\vec{u}=2 \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}$
• $\vec{u}=2 \overrightarrow{C B}+3 \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}$
$b)$ Exprimer le vecteur $\vec{v}$ en fonction de $\overrightarrow{C A}$ et $\overrightarrow{B C}$.
• $\vec{v}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$
• $\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-3 \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$
• $\vec{v}=2 \overrightarrow{\mathrm{CB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$
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Exercice 13:
$1)$ On considère un triangle $A B C$ et les points $D$ et $E$ tels que $\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{B A}$ et $\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$.
• Justifier que $\overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{A B}$ et en déduire que $C$ est le milieu de $[D E]$.
$2)$ On considère un triangle $A B C$ et les points $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{A M}=5 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}$ et $\overrightarrow{C N}=2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}-3 \overrightarrow{B C}$.
• Démontrer que $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{0}$.
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Exercice 14:
On considère un parallélogramme $M N P Q$ de centre $O$. Construire les points $A, B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{N A}=\overrightarrow{M O}$ ; $\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{M O}$ et $\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{O P}$.
$1)$ Démontrer que $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{M P}$.
$2)$ Démontrer que $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{M P}$
$3)$ En déduire la nature du quadrilatère $O A B C$.
$4)$ Démontrer que les droites $(P B)$ et ( $C A$ ) sont les médianes du triangle $O B C$.
$5)$ Ces deux droites se coupent en $G$. Démontrer que ( $O G$ ) coupe [ $B C$ ] en son milieu.
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Exercice 15:
Dans chaque cas on considère trois vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}$ et $\vec{w}$, et on souhaite montrer que $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires.
$a)$ $\quad \vec{u}=3 \vec{v}$ et $\vec{v}=-2 \vec{w}$
$b)$ $\quad \vec{u}=3 \vec{v}$ et $\vec{w}=-2 \vec{v}$
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Exercice 16:
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs définis par : $\vec{u}=4 \overrightarrow{B A}-6 \overrightarrow{A C} \quad et \quad \vec{v}=-5 \overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{C B}$
$a)$ Exprimer $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en fonction de $\overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A C}$.
$b)$ Montrer que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires
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Exercice 17:
$1) $Quelles sont les images de $A ; C ; H ; D$ et $L$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{G A}$ ?
$2)$ Quels sont les vecteurs égaux au vecteur $\vec{u}$ ?
$3)$ Quelles sont les images de $K ; D ; B ; I$ et $G$ parla translation de vecteur $\overrightarrow{H A}$ ?
$4)$ Quel point a pour image $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{C D}$ ?
$5)$ Quel point a pour image $H$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{E A}$ ?
$6)$ Quel point a pour image $J$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{L H}$ ?
$7)$ Quelles sont les images de $L$; $H$ et $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{K B}$ ?
$8)$ Quelles sont les images de $F ; I ; B$ et $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{J B}$ ?
$9)$ Donner tous les vecteurs égaux au vecteur $\overrightarrow{B I}$.
$10)$ Donner tous les vecteurs égaux au vecteur $\overrightarrow{C A}$.
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Exercice 18:
$1)$ Construire $E$ et $F$, images des points $A$ et $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{D C}$. Ecrire les égalités de vecteurs correspondantes.
$2)$ Construire $G$ et $H$, images des points $D$ et $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{C A}$. Ecrire les égalités de vecteurs correspondantes.
$3)$ Construire $I$ et $J$, images des points $E$ et $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{A C}$. Ecrire les égalités de vecteurs correspondantes.
$4)$ Quelle est l’image du point $G$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{A D}$ ?
$5)$ Quelle est la nature du quadrilatère $A F B G$ ? Justifier.
$6)$ Quelle est la nature du quadrilatère $CJGH$ ? Justifier.
$7)$ Quelle est la nature du quadrilatère $ECGH$ ? Justifier.
$8)$ Que représente $A$ pour $[E G]$ ? Justifier.
$9)$ Que représente $C$ pour $[DI]$ ? Justifier.
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Exercice 19:
$1)$ Construire un triangle équilatéral $ABC$ de côté $4 cm$
$2)$ Construire le point $M$, image du point $B$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.
$3)$ Quelle est la nature du quadrilatère $A B M C$ ? Justifier.
$4)$ $a)$ Construire le point $N$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$.
$b)$ Montrer que le triangle ANB est équilatéral.
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Exercice 20:
Les constructions demandées dans cet exercice sont à réaliser sur la figure ci-après.
Laisser les traces de construction visibles.
Sur cette figure, on a représenté un parallélogramme $A B C D$ de centre $O$. Les droites $(BC)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
$1)$ Tracer le cercle qui contient les trois points $O, B$ et C. Justifier la position de son centre I.
$2)$ Placer les points $M$ et $P$ tels que :
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} $
$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}$
$3)$ Utilisation d’une transformation.
$a)$ Par quelle transformation a-t-on à la fois: $O$ a pour image $C$ et $B$ a pour image $M$ ?
$b)$ Montrer que, par cette transformation, le point $D$ a pour image le point $P$.
$c)$ Montrer que les point $\mathrm{P}, \mathrm{C}, \mathrm{M}$ sont alignés.
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Exercice 21:
Soit $[IJ]$ un segment et $M$ un point du cercle de diamètre $[IJ]$. Faire une figure.
$1)$ Que dire de l’angle $\widehat{I M J}$ ? Justifier.
$2)$ Construire le point $K$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{MK}}=\overrightarrow{\mathrm{IM}}$.
$3)$ Construire le point L tel que $\overrightarrow{\mathrm{JL}}=\overrightarrow{\mathrm{JI}}+\overrightarrow{\mathrm{JK}}$.
$4)$ Déterminer la nature du quadrilatère $IJKL$.
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vecteurs et translation exercices corrigés 3AC