vecteurs et translation – cours
VECTEURS ET TRANSLATION
Cours complet avec exemples et exercices corrigés
Objectifs d’apprentissage
- Reconnaître un vecteur et le construire
- Construire la somme de deux vecteurs
- Utiliser les vecteurs pour résoudre un problème
- Construire l’image d’une figure par une translation
- Utiliser la translation dans la résolution des problèmes géométriques
I. Les vecteurs
1. Définition et vocabulaire
Définition
Un vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est caractérisé par trois composantes :
- La direction : la direction de la droite (AB)
- Le sens : de A vers B
- La longueur : la distance AB (norme du vecteur)
Vecteur nul
Tout point A définit un vecteur nul noté \( \vec{0} \).
2. Égalité de deux vecteurs
Propriété
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) signifie que :
- \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) ont la même direction : (AB) // (CD)
- \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) ont le même sens
- \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) ont la même longueur : AB = CD
Exemple 1 : Égalité de vecteurs
Soit ABC un triangle. Construire M tel que : \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC} \)
Construction :
- Tracer la parallèle à (BC) passant par A
- Porter sur cette parallèle la longueur BC à partir de A
- Le point M obtenu vérifie \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC} \)
Propriété : Si \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \) avec A, B, C, D non alignés, alors ABDC est un parallélogramme.
3. Vecteur opposé
Définition
Le vecteur opposé de \( \overrightarrow{AB} \) est le vecteur \( \overrightarrow{BA} \).
Deux vecteurs opposés ont la même direction et même longueur mais des sens opposés.
4. Somme de deux vecteurs
Définition (règle du parallélogramme)
La somme de deux vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AD} \) est le vecteur \( \overrightarrow{AC} \) tel que ABCD soit un parallélogramme.
Relation de Chasles
Pour tous points A, B et C :
Exemple 2 : Simplifications
a) \( \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NG} = \overrightarrow{MG} \)
b) \( \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GE} = \overrightarrow{EE} = \vec{0} \)
c) \( \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \)
5. Produit d’un vecteur par un nombre réel
Définition
Soit k un nombre réel et \( \overrightarrow{AB} \) un vecteur non nul.
Le vecteur \( \overrightarrow{AC} \) est le produit de \( \overrightarrow{AB} \) par k si C ∈ (AB) et AC = k × AB.
- Si k > 0 : même sens que \( \overrightarrow{AB} \)
- Si k < 0 : sens opposé à \( \overrightarrow{AB} \)
Exemple 3 : Construction
Soit \( \overrightarrow{AB} \) un vecteur non nul. Construire M tel que :
Construction :
- Tracer la droite (AB)
- Porter sur (AB) la longueur AB quatre fois à partir de A dans le sens de A vers B
- Le point M obtenu vérifie \( \overrightarrow{AM} = 4\overrightarrow{AB} \)
Propriétés importantes
- Si \( \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} \) alors A, B et C sont alignés
- Si \( \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{MN} \) alors (AB) // (MN) : les vecteurs sont colinéaires
- M milieu de [AB] ⇔ \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \) ⇔ \( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0} \)
II. La translation
1. Définition
Image d’un point par une translation
Soient A et B deux points distincts.
M’ est l’image de M par la translation qui transforme A en B signifie que :
Ce qui équivaut à ABM’M étant un parallélogramme.
Propriété fondamentale
Soient M et N deux points du plan.
Si M’ et N’ sont les images respectives de M et N par une translation, alors :
La translation conserve les longueurs.
2. Image des figures géométriques par une translation
Propriétés
Droite
L’image d’une droite (AB) est une droite (A’B’) parallèle à (AB).
Segment
L’image d’un segment [AB] est un segment [A’B’] de même longueur.
Angle
L’image d’un angle \( \widehat{ABC} \) est un angle \( \widehat{A’B’C’} \) de même mesure.
Cercle
L’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
Exemple 4 : Translation dans un parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme. Déterminer l’image de D par la translation qui transforme A en B.
Solution :
La translation de vecteur \( \overrightarrow{AB} \) transforme :
- A → B
- D → C (car ABCD parallélogramme ⇒ \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \))
Exercices d’application
Exercice 1
Soit ABC un triangle.
1) Construire M tel que : \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC} \)
2) Construire N tel que : \( \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CB} \)
Exercice 2
Soit ABCD un parallélogramme.
1) Déterminer le vecteur \( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} \)
2) Construire E tel que : \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} \)
Exercice 3
Soit ABC un triangle avec BC = 6 cm.
1) Construire M et N tels que :
\( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \) et \( \overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{AB} \)
2) Montrer que A, M et N sont alignés
Exercice 4
Soit ABCD un parallélogramme de centre O.
1) Construire E image de A par translation de vecteur \( \overrightarrow{OD} \)
2) Montrer que F, D et E sont alignés (F image de C)
Corrigés (indications)
Exercice 1 : Utiliser la règle du parallélogramme ou reporter le vecteur.
Exercice 2 : 1) \( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB} \) (règle du parallélogramme).
Exercice 3 : Exprimer \( \overrightarrow{AM} \) et \( \overrightarrow{AN} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \), puis vérifier la colinéarité.
Exercice 4 : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Synthèse et méthodologie
- Pour montrer que deux vecteurs sont égaux : vérifier même direction, même sens, même longueur
- Pour additionner deux vecteurs : utiliser la règle du parallélogramme ou la relation de Chasles
- Pour utiliser une translation : identifier le vecteur de translation et appliquer les propriétés de conservation
- Pour résoudre un problème géométrique : traduire en langage vectoriel, utiliser les propriétés des vecteurs, puis interpréter géométriquement
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