vecteurs et translation évaluations corrigés

Évaluation de Mathématiques

Vecteurs et Translation – Niveau 3ème APIC

Exercice 1 : Égalité de vecteurs et construction

4 points

Soit \( ABC \) un triangle quelconque.

Partie A : Construction

1) Construire le point \( M \) tel que : \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC} \).
2) Construire le point \( N \) tel que : \( \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CB} \).

Partie B : Démonstration

Soit \( I \) le milieu de \( [BC] \) et \( J \) le symétrique de \( A \) par rapport à \( I \).
Montrer que : \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BI} \).

Exercice 2 : Somme de vecteurs et relation de Chasles

5 points

Soit \( ABCD \) un parallélogramme.

Partie A : Calcul vectoriel

1) Déterminer le vecteur \( \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} \).
2) Simplifier : \( \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} \).
3) Construire le point \( E \) tel que : \( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} \).

Partie B : Construction

1) Construire \( M \) tel que : \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \).
2) Construire \( N \) tel que : \( \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \).

Exercice 3 : Produit d’un vecteur par un réel

4 points

Soit \( \overrightarrow{AB} \) un vecteur non nul.

Question 1

Construire le point \( M \) tel que : \( \overrightarrow{AM} = 4\overrightarrow{AB} \).

Question 2

Construire le point \( N \) tel que : \( \overrightarrow{AN} = -4\overrightarrow{AB} \).

Question 3 : Démonstration

Soit \( ABC \) un triangle tel que \( BC = 6 \) cm.
1) Construire \( M \) et \( N \) tels que :
\( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \) et \( \overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{AB} \).
2) Montrer que : \( \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \).

Exercice 4 : Translation et images de points

4 points

Soit \( ABCD \) un parallélogramme.

Partie A : Images par translation

1) Déterminer l’image du point \( D \) par la translation qui transforme \( A \) en \( B \).
2) Déterminer l’image du point \( C \) par la translation qui transforme \( D \) en \( A \).
3) Construire le point \( E \), image de \( C \) par la translation de vecteur \( \overrightarrow{AB} \).
4) Montrer que \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CE} \).

Partie B : Problème de géométrie

Soit \( ABCD \) un losange de centre \( I \) et \( K \) l’image de \( I \) par la translation de vecteur \( \overrightarrow{AB} \).
1) Montrer que l’image de \( D \) par cette translation est \( C \).
2) Déduire que \( BKC \) est un triangle rectangle en \( K \).

Exercice 5 : Problème de synthèse

3 points

Problème :

Soit \( ABC \) un triangle rectangle en \( A \) tel que \( AC = 4 \) cm et \( E \) le milieu de \( [BC] \).
Soit \( T \) la translation qui transforme \( A \) en \( E \).

1) Construire \( F \) l’image de \( B \) et \( G \) l’image de \( C \) par la translation \( T \).
2) Montrer que \( (FG) \parallel (BC) \).
3) Déterminer la nature du triangle \( EFG \).

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