Angles – cours 1AC

Les angles

I. Angle :

1. Définition :

Un angle est une figure formée par deux demi-droites de même origine. 

• Les demi-droites s’appellent les côtés de l’angle.

• L’origine commune s’appelle le sommet de l’angle.

2./ Notation :

On note un angle à l’aide de trois lettres surmontées d’un chapeau. La lettre centrale indique toujours le sommet.

 Exemple :

On considère l’angle suivant :

• Cet angle est noté : $A \hat{O} B$.

• Les demi-droites $[O A)$ et $[O B)$ sont les côtés de l’angle $A \hat{O} B$.

• Le point $O$ c’est le sommet de l’angle $A \hat{O} B$.

4. Mesure d’angle :

• Pour mesurer un angle on utilise le rapporteur.

• L’unité de mesure des angles est le degré.

II. Les differents types d’angles :

1. Angle nul :

L’angle nul est un angle dont la mesure est égale à $0^{\circ}$

2. Angle aigu :

L’angle aigu est un angle dont la mesure est comprise strictement entre $0^{\circ}$ et $90^{\circ}$.

3. Angle droit :

L’angle droit est un angle dont la mesure est égale à $90^{\circ}$.

4. Angle obtus :

L’angle obtus est un angle dont la mesure est comprise strictement entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$.

5. Angle plat :

L’angle plat est un angle dont la mesure est égale à $180^{\circ}$.

6. Angle plein :

L’angle plein est un angle dont la mesure est égale à $360^{\circ}$.

Exemples :

III. Relation entre deux angles :

1. Angles adjacents :

Deux angles adjacents sont deux angles qui ont :

• Le même sommet.

• Un côté commun.

• Sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Exemple :

Soient $A \hat{O} B$ et $B \hat{O} C$ deux angles adjacents.

2. Angles complémentaires :

Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme de leurs mesures est égale à $90^{\circ}$.

Exemple :

Soient $A \hat{B} C$ et $E \hat{F} G$ deux angles tels que : $A \hat{B} C=25^{\circ}$ et $E \hat{F} G=65^{\circ}$.

On a: $\quad A \hat{B} C+E \hat{F} G=25^{\circ}+65^{\circ}=90^{\circ}$

Donc : $\quad A \hat{B} C$ et $E \hat{F} G$ sont deux angles complémentaires.

3. Angles supplémentaires :

Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme de leurs mesures est égale à $180^{\circ}$.

Exemple :

Soient $A \hat{B} C$ et $E \hat{F} G$ deux angles tels que : $\quad A \hat{B} C=75^{\circ}$ et $\quad E \hat{F} G=105^{\circ}$.

On a: $\quad A \hat{B} C+E \hat{F} G=75^{\circ}+105^{\circ}=180^{\circ}$

Donc: $\quad A \hat{B} C$ et $E \hat{F} G$ sont deux angles supplémentaires.

4. Angles opposés par le sommet :

Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Exemple :

On considère la figure suivante :

On dit que : $A \hat{O} B$ et $C \hat{O} D$ deux angles opposés par le sommet $O$.

Ainsi que les angles $A \hat{O} C$ et $B \hat{O} D$ sont opposés par le sommet $O$.

5. Angles isométriques ( égaux ) :

Deux angles isométriques (égaux ) sont deux angles de même mesure.

Remarque importante: Deux angles opposés par le sommet sont égaux ( isométriques )

IV. Bissectrice d’un angle :

1. Définition :

La bissectrice d’un angle est une demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents isométriques.

 Exemples :

Soient $A \hat{O} B$ un angle et $[O E)$ sa bissectrice.

2. Propriété :

Si $[O E)$ est la bissectrice d’un angle $A \hat{O} B$, alors :

$A \hat{O} E=\frac{A \hat{O} B}{2} \quad \text { et } \quad E \hat{O} B=\frac{A \hat{O} B}{2} \quad ; ; \quad A \hat{O} B=2 \times A \hat{O} E \text { et } \quad A \hat{O} B=2 \times E \hat{O} B$

3. Applications :

$1)$ Soient $E \hat{O F}$ un angle et $[O M)$ sa bissectrice tel que : $E \hat{O} F=60^{\circ}$. Calculons $E \hat{O} M$ et $M \hat{O} F$.

Puisque $[O M)$ est la bissectrice de l’angle $E \hat{O} F$, alors : $E \hat{O} M=\frac{E \hat{O} F}{2}$ et $M \hat{O} F=\frac{E \hat{O} F}{2}$

Donc : $\left\{\begin{array}{l}E \hat{O} M=\frac{60^{\circ}}{2} \\ M \hat{O} F=\frac{60^{\circ}}{2}\end{array} \quad ; \quad\right.$

D’où $: \quad E \hat{O} M=30^{\circ}$ et $M \hat{O} F=30^{\circ}$

$2)$ Soient $E \hat{O F}$ un angle et $[O M)$ sa bissectrice tel que : $E \hat{O} M=35^{\circ}$. Calculons $E \hat{O F}$.

Puisque $[O M)$ est la bissectrice de l’angle $E \hat{O} F$, alors : $E \hat{O} F=2 \times E \hat{O} M$.

Donc : $E \hat{O} F=2 \times 35^{\circ} \quad $

D’où : $E \hat{O} F=70^{\circ}$