Exercice 1 : Parité (5 pts)

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

1) Montrer que le nombre \(n(n+1)\) est pair. (1 pt)

2) Déterminer la parité des nombres suivants : (4 pts)

\(a = 2n^2 + 13\) (1 pt)

\(b = n^3 – n\) (1 pt)

\(c = (2n+1)^7\) (1 pt)

\(d = n^2 + 3n + 1\) (1 pt)

Exercice 2 : Divisibilité (5 pts)

Déterminer les entiers naturels \(a, b\) et \(c\) pour que :

a) \(23a4\) est divisible par 3. (1 pt)

b) \(23a4\) est divisible par 3 et n’est pas divisible par 9. (1 pt)

c) \(23b5c\) est divisible par 3 et par 5. (2 pts)

d) Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 3 tel que \(n-3\) est multiple de 4. Montrer que le nombre \(n^2 + 6n + 5\) est multiple de 16. (1 pt)

Exercice 3 : Décomposition et PGCD/PPCM (5 pts)

On considère les deux nombres \(x = 1500\) et \(y = 840\).

1) Décomposer les nombres \(x\) et \(y\) en facteurs premiers. (1,5 pts)

2) Déterminer \(x \wedge y\) et \(x \vee y\). (1,5 pts)

3) Simplifier les nombres \(\sqrt{x}\) et \(\dfrac{x}{y}\). (2 pts)

Exercice 4 : PGCD et PPCM (3 pts)

Soit \(n\) un entier naturel.

On pose \(a = 5^{n+2} – 5^n\) et \(b = 7^{n+2} – 7^n\).

Déterminer \(a \wedge b\) et \(a \vee b\). (3 pts)

Exercice 5 : Nombres premiers (2 pts)

1) Est-ce que le nombre \(2017\) est premier ? (1 pt)

2) Est-ce que le nombre \(27000001\) est premier ? (1 pt)