Arithmétique dans IN – évaluations corrigés

Évaluation de Mathématiques

Arithmétique dans ℕ

Matière :Mathématiques

Niveau :Tronc Commun Bac Sciences

Durée :1 heure

Barème :20 points

Exercice 1 : Nombres pairs, impairs et divisibilité (4 points)

4 pts

1) Déterminer la parité des nombres suivants : $n = 2k^2 + 2k$ et $m = 2k^2 + 2k + 1$ où $k \in \mathbb{N}$. (2 pts)

2) Montrer que $5^{2n} – 1$ est divisible par 8 pour tout $n \in \mathbb{N}$. (2 pts)

Exercice 2 : Diviseurs et multiples (3 points)

3 pts

1) Déterminer tous les diviseurs de 72. (1,5 pts)

2) Donner les cinq plus petits multiples de 12. (1,5 pts)

Exercice 3 : Critères de divisibilité (3 points)

3 pts

Le nombre $A = 5\,3\,a\,2\,b$ est un nombre de 5 chiffres où $a$ et $b$ sont des chiffres.

1) Déterminer les valeurs possibles de $a$ pour que $A$ soit divisible par 3. (1,5 pts)

2) Déterminer les valeurs possibles de $b$ pour que $A$ soit divisible par 5. (1,5 pts)

Exercice 4 : Nombres premiers et décomposition (6 points)

6 pts

I. Nombres premiers – Méthode de la racine carrée (3 points)

Rappel : Pour vérifier qu’un nombre $n$ est premier, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{n}$.

En utilisant la méthode de la racine carrée, déterminer si les nombres suivants sont premiers : 101, 167 et 221. (3 pts)

II. Décomposition en facteurs premiers et PGCD/PPCM (3 points)

Soient les nombres $360$, $840$ et $1260$.

1) Décomposer en facteurs premiers $360$, $840$ et $1260$. (1,5 pts)

2) En déduire $PGCD(360; 840)$, $PPCM(360; 1260)$ et $PGCD(840; 1260)$. (1,5 pts)

Exercice 5 : Problème de synthèse (4 points)

4 pts

Un terrain rectangulaire mesure $1260$ mètres de longueur et $840$ mètres de largeur. On veut le diviser en parcelles carrées identiques de côté maximal.

1) Décomposer 1260 et 840 en facteurs premiers. (1 pt)

2) En déduire le PGCD de 1260 et 840. (0,5 pt)

3) Quelle sera la longueur du côté de chaque parcelle ? Combien de parcelles obtiendra-t-on ? (1,5 pts)

4) Si on veut que le côté soit un nombre entier de mètres supérieur à 30, quelles sont les solutions possibles ? (1 pt)

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Modèle $N°1$

Exercice 1：$(5pts)$

Soit $n$ un entier naturel non nul.

$1)$ Montrer que le nombre $n(n+1)$ est pair.

$2)$ Déterminer la parité des nombres suivants :

$a=2 n^{2}+13 $ ; $ \quad b=n^{3}-n $

$c=(2 n+1)^{7} $ ; $ \quad d=n^{2}+3 n+1$

Exercice 2：$(5pts)$

Déterminer les entiers naturels $a, b$ et $c$ pour que :

$a)$ $23 a 4$ est divisible par $3$

$b)$ $23 a 4$ est divisible par $3$ et n’est pas divisible par $9$

$c)$ $23 b 5 c$ est divisible par $3$ et $5$

$d)$ Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$ tel que $n-3$ est multiple de $4 $.

• Montrer que le nombre $n^{2}+6 n+5$ est multiple de $16$

Exercice 3：$(5pts)$

On considère les deux nombres $x=1500$ et $y=840$

$1)$ Décomposer les nombres $x$ et $y$ en facteurs premiers.

$2)$ Déterminer $x \wedge y$ et $x \vee y$.

$3)$ Simplifier les nombres $\sqrt{x}$ et $\frac{x}{y}$

Exercice 4：$(3pts)$

Soit $n$ un entier naturel

On pose $a=5^{n+2}-5^{n}$ et $b=7^{n+2}-7^{n}$

Déterminer $a \wedge b$ et $a \vee b$

Exercice 5：$(2pts)$

$1)$ Est-ce que le nombre $2017$ est premier?

$2)$ Est-ce que le nombre $27000001$ est premier?

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