Arithmétique dans IN – Cours

1. Soit $n$ un entier naturel non nul
$1^{\text {er }}$ cas : Si $n$ est pair :
alors $n=2 k \quad(k \in \mathbb{N})$
donc $n+1=2 k+1 \quad(k \in \mathbb{N})$
et par suite
$n(n+1) \quad  =2 k(2 k+1) $
$ =2\left(2 k^{2}+k\right)$
$=2 k^{\prime} & \left(k^{\prime}=2 k^{2}+k \in \mathbb{N}\right)$

$2^{\text {ème }}$ cas $:$ Si $n$ est impair :
alors $n=2 k+1 \quad(k \in \mathbb{N})$
donc $n+1=2 k+1+1=2 k+2=2(k+1) \quad(k \in \mathbb{N})$
et par suite

$n(n+1)=(2 k+1) \cdot 2(k+1) $
$= 2 \times((2 k+1) \cdot(k+1)) $
$= 2 \times\left(2 k^{2}+3 k+1\right) $
$=2 \cdot k^{\prime \prime} \quad\left(k^{\prime \prime}=2 k^{2}+3 k+1 \in \mathbb{N}\right)$

D’où le résultat.

2 .
$\checkmark a=2 n^{2}+13$
Puisque $2 n^{2}$ est pair et 5 est impair alors $a$ est impair

$\checkmark b=n^{3}-n=n\left(n^{2}-1\right)=n(n+1)(n-1)$
(On sait que d’après le résultat de la question 1 que le produit de deux nombres consécutifs est pair)$n(n+1)$ est pair donc $n(n+1)(n-1)$ est pair
càd $b=n^{3}-n$ est pair

$\checkmark \quad c=(2 n+1)^{7}$
On sait que $(2 n+1)$ est impair , càd $(2 n+1)^{7}$ est impair
Donc le nombre $c$ est impair .

$\checkmark$ $d  =n^{2}+3 n+1 $
$d=  n^{2}+n+2 n+1 $
$d=  n(n+1)+2 n+1$
Puisque $n(n+1)$ est pair et $2 n+1$ est impair
Donc $n(n+1)+2 n+1$ est impair
D’où $d$ est impair.