Calcul litteral 3eme et identités remarquables
CALCUL LITTÉRAL ET IDENTITÉS REMARQUABLES
3ème Année Collège
Développement
1) Définition
Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique (une somme de termes). C’est l’opération inverse de la factorisation.
2) Propriété 1 : Distributivité simple
Pour tous nombres relatifs \(a\), \(b\) et \(k\) :
\(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\)
\(k \times (a – b) = k \times a – k \times b\)
📌 Exemple détaillé :
\(3(5a + 7) = 3 \times 5a + 3 \times 7 = 15a + 21\)
Explication : On distribue le facteur 3 à chaque terme de la parenthèse : \(3 \times 5a = 15a\) et \(3 \times 7 = 21\).
Avec une racine carrée :
\(\sqrt{5}(\sqrt{5} – 1) = \sqrt{5} \times \sqrt{5} – \sqrt{5} \times 1 = 5 – \sqrt{5}\)
Explication : \(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5\).
3) Propriété 2 : Double distributivité
Pour tous nombres réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) :
\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
📌 Exemple détaillé :
\((3 – a)(4a + 2)\)
\(= 3 \times 4a + 3 \times 2 – a \times 4a – a \times 2\)
\(= 12a + 6 – 4a^2 – 2a\)
\(= -4a^2 + 10a + 6\)
Explication : On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième. On réduit ensuite les termes semblables (\(12a – 2a = 10a\)).
Factorisation
1) Définition
Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement.
2) Règle de factorisation (factorisation par un facteur commun)
Pour tous nombres relatifs \(a\), \(b\) et \(k\) :
\(k \times a + k \times b = k \times (a + b)\)
\(k \times a – k \times b = k \times (a – b)\)
📌 Exemples détaillés :
Exemple 1 : Factorisation simple
\(4a^2 + 3a = 4 \times a \times a + 3 \times a = a(4a + 3)\)
Explication : Le facteur commun est \(a\). On le met en facteur et on divise chaque terme par \(a\).
Exemple 2 : Factorisation avec un facteur commun complexe
\((x+7)(5-4x) – 2(5-4x) = (5-4x) \times (x+7-2) = (5-4x)(x+5)\)
Explication : Le facteur commun est \((5-4x)\). On le met en facteur.
Exemple 3 : Factorisation avec un facteur commun caché
\((x+3)^2 + (x+4)(x+3) = (x+3)(x+3) + (x+4)(x+3)\)
\(= (x+3)[(x+3) + (x+4)] = (x+3)(2x+7)\)
Explication : Le facteur commun est \((x+3)\).
Identités remarquables
1) Carré d’une somme
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) :
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
📌 Exemples détaillés :
Exemple 1 : Développement
\((2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9\)
Explication : On applique la formule avec \(a = 2x\) et \(b = 3\).
Exemple 2 : Factorisation (reconnaître un carré parfait)
\(16x^2 + 8x + 1 = (4x + 1)^2\)
Vérification : \(4x\) est le premier terme, \(1\) est le deuxième, \(2 \times 4x \times 1 = 8x\).
Exemple 3 : \(25x^2 + 20x + 4 = (5x + 2)^2\)
2) Carré d’une différence
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) :
\((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
📌 Exemples détaillés :
Exemple 1 : Développement
\((2x – 3)^2 = (2x)^2 – 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 – 12x + 9\)
Exemple 2 : Application numérique
\(99^2 = (100 – 1)^2 = 100^2 – 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 – 200 + 1 = 9801\)
Explication : Cette technique permet de calculer mentalement des carrés de nombres proches de 100.
Exemple 3 : Factorisation
\(16x^2 – 8x + 1 = (4x – 1)^2\)
3) Produit d’une somme par une différence
Pour tous nombres réels \(a\) et \(b\) :
\((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\)
📌 Exemples détaillés :
Exemple 1 : Développement
\((2x + 3)(2x – 3) = (2x)^2 – 3^2 = 4x^2 – 9\)
Exemple 2 : Application numérique
\(99 \times 101 = (100 + 1)(100 – 1) = 100^2 – 1^2 = 10000 – 1 = 9999\)
Exemple 3 : Avec des racines carrées
\((\sqrt{11} + \sqrt{7})(\sqrt{11} – \sqrt{7}) = (\sqrt{11})^2 – (\sqrt{7})^2 = 11 – 7 = 4\)
Exemple 4 : Factorisation
\(16x^2 – 9 = (4x + 3)(4x – 3)\)
Tableau récapitulatif des identités remarquables
| Identité | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Carré d’une somme | \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) | \((x+5)^2 = x^2 + 10x + 25\) |
| Carré d’une différence | \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) | \((2x-3)^2 = 4x^2 – 12x + 9\) |
| Différence de carrés | \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) | \(x^2 – 25 = (x-5)(x+5)\) |
📌 À retenir
- ✅ Développer = transformer un produit en une somme
- ✅ Factoriser = transformer une somme en un produit
- ✅ Distributivité simple : \(k(a+b) = ka + kb\)
- ✅ Double distributivité : \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\)
- ✅ \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- ✅ \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
- ✅ \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\)
Calcul litteral 3eme et identités remarquables