Calcul Littéral et Identités Remarquables – exercices corrigés
📋Exercice : Questions de cours (Calcul littéral et identités remarquables)
Définir ce qu’est développer une expression littérale. Donner un exemple.
Définir ce qu’est factoriser une expression littérale. Donner un exemple.
Énoncer la règle de la distributivité simple. Donner deux exemples.
Énoncer la règle de la double distributivité. Donner un exemple détaillé.
Écrire la formule du carré d’une somme et donner un exemple de développement.
Écrire la formule du carré d’une différence et donner un exemple de développement.
Écrire la formule du produit d’une somme par une différence et donner un exemple de développement.
Donner la règle de factorisation par un facteur commun. Donner deux exemples.
Comment factoriser une différence de carrés ? Donner un exemple.
Écrire le tableau récapitulatif des trois identités remarquables avec leurs formules de développement et de factorisation.
Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique (une somme de termes). C’est l’opération inverse de la factorisation.
Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement.
Pour tous nombres \( a \), \( b \) et \( k \) :
\( 3(5a+7) = 15a + 21 \)
\( \sqrt{5}(\sqrt{5}-1) = 5 – \sqrt{5} \)
Pour tous nombres \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) :
\( (3-a)(4a+2) = 12a + 6 – 4a^2 – 2a = -4a^2 + 10a + 6 \)
\( (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 \)
\( (2x-3)^2 = 4x^2 – 12x + 9 \)
\( 99^2 = (100-1)^2 = 9801 \)
\( (2x+3)(2x-3) = 4x^2 – 9 \)
\( 99 \times 101 = (100-1)(100+1) = 9999 \)
\( (\sqrt{11}+\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7}) = 4 \)
Pour tous nombres \( a \), \( b \) et \( k \) :
\( 4a^2 + 3a = a(4a+3) \)
\( (x+7)(5-4x) – 2(5-4x) = (5-4x)(x+5) \)
\( 16x^2 – 9 = (4x+3)(4x-3) \)
\( x^2 – 25 = (x-5)(x+5) \)
| Identité | Formule (développement) | Formule (factorisation) |
|---|---|---|
| Carré d’une somme | \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) | \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) |
| Carré d’une différence | \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) | \(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\) |
| Différence de carrés | \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\) | \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\) |
📝 Exercice 1 : Réduction d’expressions littérales
Réduire les expressions suivantes :
\( (x+3)-(x+5)-(x-7) \)
\( -(x^2-x)-(x-1)-(1-x^2) \)
\( x^2-(3x^2-5x^2)+(x^2-8x^2)-2x^2 \)
\( -4x+x^2-(6+5x^2)+3x-(10-8x^2)+2x \)
\( -(4+3x-2x^2)-(4x-x^2)-(x^2-x) \)
\( 2x^3+4-(-6x^2+x)-(-2x+9x^3)-(3x^2-9x) \)
\( A = (x+3)-(x+5)-(x-7) \)
\( = x+3-x-5-x+7 \)
\( = (x-x-x) + (3-5+7) \)
\( = \boldsymbol{-x+5} \)
\( B = -(x^2-x)-(x-1)-(1-x^2) \)
\( = -x^2+x-x+1-1+x^2 \)
\( = (-x^2+x^2) + (x-x) + (1-1) \)
\( = \boldsymbol{0} \)
\( C = x^2-(3x^2-5x^2)+(x^2-8x^2)-2x^2 \)
\( = x^2-3x^2+5x^2+x^2-8x^2-2x^2 \)
\( = (1-3+5+1-8-2)x^2 \)
\( = \boldsymbol{-6x^2} \)
\( D = -4x+x^2-(6+5x^2)+3x-(10-8x^2)+2x \)
\( = -4x+x^2-6-5x^2+3x-10+8x^2+2x \)
\( = (x^2-5x^2+8x^2) + (-4x+3x+2x) + (-6-10) \)
\( = \boldsymbol{4x^2 + x – 16} \)
\( E = -(4+3x-2x^2)-(4x-x^2)-(x^2-x) \)
\( = -4-3x+2x^2-4x+x^2-x^2+x \)
\( = (2x^2+x^2-x^2) + (-3x-4x+x) – 4 \)
\( = \boldsymbol{2x^2 – 6x – 4} \)
\( F = 2x^3+4-(-6x^2+x)-(-2x+9x^3)-(3x^2-9x) \)
\( = 2x^3+4+6x^2-x+2x-9x^3-3x^2+9x \)
\( = (2x^3-9x^3) + (6x^2-3x^2) + (-x+2x+9x) + 4 \)
\( = \boldsymbol{-7x^3 + 3x^2 + 10x + 4} \)
📝 Exercice 2 : Réduction d’expressions littérales
Réduire chacune des expressions littérales suivantes :
\( -(-2x+2)+3x+9 \)
\( -6x-(-7x+8)+2 \)
\( -(5x-1)+2-3x \)
\( -5-7x+(2x+2) \)
\( -(8x+8)-9x-6 \)
\( (-4x-9)+3x+8 \)
\( -(5x-8)-6-7x \)
\( 6x-(-10x-4)-8 \)
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📝 Exercice 3 : Développement avec la distributivité simple
Utiliser les formules \( k(a+b) = ka + kb \) et \( k(a-b) = ka – kb \) pour développer les expressions suivantes :
\( 3(a+6) = \)
\( 3(x+4) = \)
\( a(a+6) = \)
\( b(7-b) = \)
\( 7(x^2-5) = \)
\( 5(a^2-3) = \)
\( -2(x-4) = \)
\( -6(2-3x) = \)
\( -x(3x-x^2) = \)
\( x^2(-4x+5) = \)
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📝 Exercice 4 : Développement avec double distributivité
Développer et réduire les expressions suivantes :
\( (-7x+7)(-x-1) \)
\( (-8x+6)(4x+10) \)
\( (7x-7)(10x+8) \)
\( (-7x-1)(-3x+6) \)
\( (-x-2)(-4x-7) \)
\( (6x-4)(8x-5) \)
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📝 Exercice 5 : Factorisation avec facteur commun
1) Souligner le facteur commun dans chaque expression :
\( 3x + 3y \)
\( -3a + 3b \)
\( 7x + 12x \)
\( -6(3x-2)-(3x-2)(x-4) \)
\( (x+2)(x+1)+(x+2)(7x-5) \)
\( (2x+1)^2+(2x+1)(x+3) \)
\( (x+1)(2x-3)+(x+1)(5x+1) \)
\( (3x-4)(2-x)-(3x-4)^2 \)
\( (6x+4)(2+3x)+(2+3x)(7-x) \)
\( (3+x)(5x+2)+(x+3)^2 \)
\( 4x + 4y \)
\( 6 \times 9 + 6 \times 3 \)
\( 8a + 8b \)
\( 5 \times 3 + 3 \times 14 \)
\( 2 + 2x \)
\( 7a + 7 \)
\( 4x^2 + 4x \)
\( 6y + 6y^2 \)
\( 3x^2 + 5x \)
\( 2ab + b^2 \)
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📝 Exercice 6 : Factorisation avec facteur commun
Factoriser les expressions suivantes comme dans l’exemple :
\( \mathbf{Z}=(\underline{\mathbf{x+1}})(x-2)+5(\underline{\mathbf{x+1}}) \)
\( \mathbf{Z}=(x+1)[(x-2)+5]=(x+1)(x+3) \)
\( (x-3)(2x+1)+7(2x+1) \)
\( (x+1)(x+2)-5(x+2) \)
\( (3-x)(4x+1)-8(4x+1) \)
\( 5(1+2x)-(x+1)(1+2x) \)
\( -6(3x-2)-(3x-2)(x-4) \)
\( (x+1)(3-x)+(x+1)(2+5x) \)
\( (x+2)(x+1)+(x+2)(7x-5) \)
\( (x+1)^2+(x+1)(3x+1) \)
\( (2x+1)^2+(2x+1)(x+3) \)
\( (x-3)^2-(x-3)(4x+1) \)
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📝 Exercice 7 : Factorisation avec transformation
Transformer l’expression soulignée, pour faire apparaître le facteur commun, puis factoriser :
\( \mathbf{Z}=(x-1)(x-2)+(\underline{2x-2})(x+7) \)
\( \mathbf{Z}=(\underline{x-1})(x-2)+2(\underline{x-1})(x+7) \)
\( \mathbf{Z}=(x-1)[(x-2)+2(x+7)] \)
\( \mathbf{Z}=(x-1)(x-2+2x+14)=(x-1)(3x+12) \)
\( (x+1)(x+2)+(\underline{2x+2})(3x-4) \)
\( (x-1)(2x+1)+(\underline{6x+3})(3-x) \)
\( (\underline{10x-5})(x+2)+(1-x)(2x-1) \)
\( (\underline{4x+4})(1-2x)+(x+1)^2 \)
\( (2x+1)^2-(x+3)(\underline{10x+5}) \)
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📝 Exercice 8 : Développement avec les identités remarquables
1) Développer en utilisant l’identité remarquable : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (3+x)^2 \)
\( (x+5)^2 \)
\( (2x+1)^2 \)
\( (1+3x)^2 \)
\( (3x+2)^2 \)
\( (5x+3)^2 \)
\( (x^2+1)^2 \)
\( (3+4x)^2 \)
2) Développer en utilisant l’identité remarquable : \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
\( (x-2)^2 \)
\( (1-3x)^2 \)
\( (3-x)^2 \)
\( (2x-1)^2 \)
\( (3-5x)^2 \)
\( (3x-2)^2 \)
\( (4x-3)^2 \)
\( (4-3x^2)^2 \)
3) Développer en utilisant l’identité remarquable : \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \)
\( (x+2)(x-2) \)
\( (x+3)(x-3) \)
\( (3x-1)(3x+1) \)
\( (2x+1)(2x-1) \)
\( (5+3x)(5-3x) \)
\( (3x-2)(3x+2) \)
\( (3+4x)(3-4x) \)
\( (4x^2+3)(4x^2-3) \)
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📝 Exercice 9 : Factorisation avec les identités remarquables
1) Factoriser en utilisant l’identité remarquable : \( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \)
\( x^2+10x+25 \)
\( x^2+6x+9 \)
\( 36+12x+x^2 \)
\( 4x^2+12x+9 \)
\( 16x^2+40x+25 \)
2) Factoriser en utilisant l’identité remarquable : \( a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 \)
\( x^2-2x+1 \)
\( 4x^2-20x+25 \)
\( 9-6x+x^2 \)
\( 36x^2-12x+1 \)
\( 100-40x+4x^2 \)
3) Factoriser en utilisant l’identité remarquable : \( a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \)
\( x^2-4 \)
\( 9-x^2 \)
\( x^2-16 \)
\( 25-x^2 \)
\( 4x^2-9 \)
\( 16-9x^2 \)
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📝 Exercice 10 : Développement, factorisation et équation
On donne : \( D = (2x – 3)(5 – x) + (2x – 3)^2 \)
Développer et réduire \( D \).
Factoriser \( D \).
Résoudre l’équation : \( (2x – 3)(x + 2) = 0 \)
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📝 Exercice 11 : Développement, factorisation et équation
Soit \( D = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(7x – 2) \).
Développer et réduire \( D \).
Factoriser \( D \).
Calculer \( D \) pour \( x = -4 \).
Résoudre l’équation : \( (2x + 3)(9x + 1) = 0 \).
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📝 Exercice 12 : Développement, factorisation et équation
On considère l’expression : \( E = (3x + 2)^2 – (5 – 2x)(3x + 2) \).
Développer et réduire l’expression \( E \).
Factoriser \( E \).
Calculer la valeur de \( E \) pour \( x = -2 \).
Résoudre l’équation \( (3x + 2)(5x – 3) = 0 \).
Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
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📝 Exercice 13 : Problème – Terrain rectangulaire et identités remarquables
Un agriculteur possède un terrain rectangulaire. La longueur du terrain est \( 5 \) mètres de plus que sa largeur.
On note \( x \) la largeur du terrain (en mètres).
Exprimer la longueur du terrain en fonction de \( x \).
Exprimer le périmètre du terrain en fonction de \( x \).
Exprimer l’aire du terrain en fonction de \( x \).
Si l’agriculteur achète un terrain adjacent de largeur \( 3 \) mètres et de même longueur que son terrain, quelle est l’aire totale du nouveau terrain ?
Sachant que l’agriculteur a clôturé son terrain (périmètre) avec \( 70 \) mètres de grillage, quelle est la largeur du terrain ?
En déduire la longueur et l’aire du terrain.
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📝 Exercice 14 : Problème – Carré et rectangle
On considère un carré de côté \( x \) (en cm). On augmente sa longueur de \( 3 \) cm et on diminue sa largeur de \( 2 \) cm pour obtenir un rectangle.
Exprimer les dimensions du rectangle en fonction de \( x \).
Exprimer l’aire du rectangle en fonction de \( x \).
Exprimer l’aire du carré en fonction de \( x \).
Montrer que la différence entre l’aire du rectangle et l’aire du carré est \( x – 6 \).
Pour quelles valeurs de \( x \) l’aire du rectangle est-elle supérieure à l’aire du carré ?
Si le côté du carré est \( x = 10 \) cm, calculer l’aire du rectangle et l’aire du carré. Vérifier la différence.
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