Calcul Littéral et Identités Remarquables – exercices corrigés
📋Exercice : Questions de cours (Calcul littéral et identités remarquables)
Définir ce qu’est développer une expression littérale. Donner un exemple.
Définir ce qu’est factoriser une expression littérale. Donner un exemple.
Énoncer la règle de la distributivité simple. Donner deux exemples.
Énoncer la règle de la double distributivité. Donner un exemple détaillé.
Écrire la formule du carré d’une somme et donner un exemple de développement.
Écrire la formule du carré d’une différence et donner un exemple de développement.
Écrire la formule du produit d’une somme par une différence et donner un exemple de développement.
Donner la règle de factorisation par un facteur commun. Donner deux exemples.
Comment factoriser une différence de carrés ? Donner un exemple.
Écrire le tableau récapitulatif des trois identités remarquables avec leurs formules de développement et de factorisation.
Développer un produit signifie le transformer en une somme algébrique (une somme de termes). C’est l’opération inverse de la factorisation.
Factoriser une somme algébrique signifie la transformer en un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement.
Pour tous nombres \( a \), \( b \) et \( k \) :
\( 3(5a+7) = 15a + 21 \)
\( \sqrt{5}(\sqrt{5}-1) = 5 – \sqrt{5} \)
Pour tous nombres \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) :
\( (3-a)(4a+2) = 12a + 6 – 4a^2 – 2a = -4a^2 + 10a + 6 \)
\( (2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9 \)
\( (2x-3)^2 = 4x^2 – 12x + 9 \)
\( 99^2 = (100-1)^2 = 9801 \)
\( (2x+3)(2x-3) = 4x^2 – 9 \)
\( 99 \times 101 = (100-1)(100+1) = 9999 \)
\( (\sqrt{11}+\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7}) = 4 \)
Pour tous nombres \( a \), \( b \) et \( k \) :
\( 4a^2 + 3a = a(4a+3) \)
\( (x+7)(5-4x) – 2(5-4x) = (5-4x)(x+5) \)
\( 16x^2 – 9 = (4x+3)(4x-3) \)
\( x^2 – 25 = (x-5)(x+5) \)
| Identité | Formule (développement) | Formule (factorisation) |
|---|---|---|
| Carré d’une somme | \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) | \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\) |
| Carré d’une différence | \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) | \(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\) |
| Différence de carrés | \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\) | \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\) |
📝Exercice 1 : Réduction d’expressions littérales
Réduire les expressions suivantes :
\( (x+3)-(x+5)-(x-7) \)
\( -(x^2-x)-(x-1)-(1-x^2) \)
\( x^2-(3x^2-5x^2)+(x^2-8x^2)-2x^2 \)
\( -4x+x^2-(6+5x^2)+3x-(10-8x^2)+2x \)
\( -(4+3x-2x^2)-(4x-x^2)-(x^2-x) \)
\( 2x^3+4-(-6x^2+x)-(-2x+9x^3)-(3x^2-9x) \)
\( A = (x+3)-(x+5)-(x-7) \)
\( = x+3-x-5-x+7 \)
\( = (x-x-x) + (3-5+7) \)
\( = \boldsymbol{-x+5} \)
\( B = -(x^2-x)-(x-1)-(1-x^2) \)
\( = -x^2+x-x+1-1+x^2 \)
\( = (-x^2+x^2) + (x-x) + (1-1) \)
\( = \boldsymbol{0} \)
\( C = x^2-(3x^2-5x^2)+(x^2-8x^2)-2x^2 \)
\( = x^2-3x^2+5x^2+x^2-8x^2-2x^2 \)
\( = (1-3+5+1-8-2)x^2 \)
\( = -6x^2 \)
\( D = -4x+x^2-(6+5x^2)+3x-(10-8x^2)+2x \)
\( = -4x+x^2-6-5x^2+3x-10+8x^2+2x \)
\( = (x^2-5x^2+8x^2) + (-4x+3x+2x) + (-6-10) \)
\( = 4x^2 + x – 16 \)
\( E = -(4+3x-2x^2)-(4x-x^2)-(x^2-x) \)
\( = -4-3x+2x^2-4x+x^2-x^2+x \)
\( = (2x^2+x^2-x^2) + (-3x-4x+x) – 4 \)
\( = 2x^2 – 6x – 4 \)
\( F = 2x^3+4-(-6x^2+x)-(-2x+9x^3)-(3x^2-9x) \)
\( = 2x^3+4+6x^2-x+2x-9x^3-3x^2+9x \)
\( = (2x^3-9x^3) + (6x^2-3x^2) + (-x+2x+9x) + 4 \)
\( = -7x^3 + 3x^2 + 10x + 4 \)
📝Exercice 2 : Réduction d’expressions littérales
Réduire chacune des expressions littérales suivantes :
\( -(-2x+2)+3x+9 \)
\( -6x-(-7x+8)+2 \)
\( -(5x-1)+2-3x \)
\( -5-7x+(2x+2) \)
\( -(8x+8)-9x-6 \)
\( (-4x-9)+3x+8 \)
\( -(5x-8)-6-7x \)
\( 6x-(-10x-4)-8 \)
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📝Exercice 3 : Développement avec la distributivité simple
Utiliser les formules \( k(a+b) = ka + kb \) et \( k(a-b) = ka – kb \) pour développer les expressions suivantes :
\( 3(a+6) = \)
\( 3(x+4) = \)
\( a(a+6) = \)
\( b(7-b) = \)
\( 7(x^2-5) = \)
\( 5(a^2-3) = \)
\( -2(x-4) = \)
\( -6(2-3x) = \)
\( -x(3x-x^2) = \)
\( x^2(-4x+5) = \)
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📝Exercice 4 : Développement avec double distributivité
Développer et réduire les expressions suivantes :
\( (-7x+7)(-x-1) \)
\( (-8x+6)(4x+10) \)
\( (7x-7)(10x+8) \)
\( (-7x-1)(-3x+6) \)
\( (-x-2)(-4x-7) \)
\( (6x-4)(8x-5) \)
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📝Exercice 5 : Factorisation avec facteur commun
1) Souligner le facteur commun dans chaque expression :
\( 3x + 3y \)
\( -3a + 3b \)
\( 7x + 12x \)
\( -6(3x-2)-(3x-2)(x-4) \)
\( (x+2)(x+1)+(x+2)(7x-5) \)
\( (2x+1)^2+(2x+1)(x+3) \)
\( (x+1)(2x-3)+(x+1)(5x+1) \)
\( (3x-4)(2-x)-(3x-4)^2 \)
\( (6x+4)(2+3x)+(2+3x)(7-x) \)
\( (3+x)(5x+2)+(x+3)^2 \)
\( 4x + 4y \)
\( 6 \times 9 + 6 \times 3 \)
\( 8a + 8b \)
\( 5 \times 3 + 3 \times 14 \)
\( 2 + 2x \)
\( 7a + 7 \)
\( 4x^2 + 4x \)
\( 6y + 6y^2 \)
\( 3x^2 + 5x \)
\( 2ab + b^2 \)
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📝Exercice 6 : Factorisation avec facteur commun
Factoriser les expressions suivantes comme dans l’exemple :
\( \mathbf{Z}=(\underline{\mathbf{x+1}})(x-2)+5(\underline{\mathbf{x+1}}) \)
\( \mathbf{Z}=(x+1)[(x-2)+5]=(x+1)(x+3) \)
\( (x-3)(2x+1)+7(2x+1) \)
\( (x+1)(x+2)-5(x+2) \)
\( (3-x)(4x+1)-8(4x+1) \)
\( 5(1+2x)-(x+1)(1+2x) \)
\( -6(3x-2)-(3x-2)(x-4) \)
\( (x+1)(3-x)+(x+1)(2+5x) \)
\( (x+2)(x+1)+(x+2)(7x-5) \)
\( (x+1)^2+(x+1)(3x+1) \)
\( (2x+1)^2+(2x+1)(x+3) \)
\( (x-3)^2-(x-3)(4x+1) \)
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📝Exercice 7 : Factorisation avec transformation
Transformer l’expression soulignée, pour faire apparaître le facteur commun, puis factoriser :
\( \mathbf{Z}=(x-1)(x-2)+(\underline{2x-2})(x+7) \)
\( \mathbf{Z}=(\underline{x-1})(x-2)+2(\underline{x-1})(x+7) \)
\( \mathbf{Z}=(x-1)[(x-2)+2(x+7)] \)
\( \mathbf{Z}=(x-1)(x-2+2x+14)=(x-1)(3x+12) \)
\( (x+1)(x+2)+(\underline{2x+2})(3x-4) \)
\( (x-1)(2x+1)+(\underline{6x+3})(3-x) \)
\( (\underline{10x-5})(x+2)+(1-x)(2x-1) \)
\( (\underline{4x+4})(1-2x)+(x+1)^2 \)
\( (2x+1)^2-(x+3)(\underline{10x+5}) \)
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📝Exercice 8 : Développement avec les identités remarquables
1) Développer en utilisant l’identité remarquable : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (3+x)^2 \)
\( (x+5)^2 \)
\( (2x+1)^2 \)
\( (1+3x)^2 \)
\( (3x+2)^2 \)
\( (5x+3)^2 \)
\( (x^2+1)^2 \)
\( (3+4x)^2 \)
2) Développer en utilisant l’identité remarquable : \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
\( (x-2)^2 \)
\( (1-3x)^2 \)
\( (3-x)^2 \)
\( (2x-1)^2 \)
\( (3-5x)^2 \)
\( (3x-2)^2 \)
\( (4x-3)^2 \)
\( (4-3x^2)^2 \)
3) Développer en utilisant l’identité remarquable : \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \)
\( (x+2)(x-2) \)
\( (x+3)(x-3) \)
\( (3x-1)(3x+1) \)
\( (2x+1)(2x-1) \)
\( (5+3x)(5-3x) \)
\( (3x-2)(3x+2) \)
\( (3+4x)(3-4x) \)
\( (4x^2+3)(4x^2-3) \)
\( (3+x)^2 = 9 + 6x + x^2 \)
\( (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 \)
\( (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \)
\( (1+3x)^2 = 1 + 6x + 9x^2 \)
\( (3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \)
\( (5x+3)^2 = 25x^2 + 30x + 9 \)
\( (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 \)
\( (3+4x)^2 = 9 + 24x + 16x^2 \)
\( (x-2)^2 = x^2 – 4x + 4 \)
\( (1-3x)^2 = 1 – 6x + 9x^2 \)
\( (3-x)^2 = 9 – 6x + x^2 \)
\( (2x-1)^2 = 4x^2 – 4x + 1 \)
\( (3-5x)^2 = 9 – 30x + 25x^2 \)
\( (3x-2)^2 = 9x^2 – 12x + 4 \)
\( (4x-3)^2 = 16x^2 – 24x + 9 \)
\( (4-3x^2)^2 = 16 – 24x^2 + 9x^4 \)
\( (x+2)(x-2) = x^2 – 4 \)
\( (x+3)(x-3) = x^2 – 9 \)
\( (3x-1)(3x+1) = 9x^2 – 1 \)
\( (2x+1)(2x-1) = 4x^2 – 1 \)
\( (5+3x)(5-3x) = 25 – 9x^2 \)
\( (3x-2)(3x+2) = 9x^2 – 4 \)
\( (3+4x)(3-4x) = 9 – 16x^2 \)
\( (4x^2+3)(4x^2-3) = 16x^4 – 9 \)
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📝Exercice 9 : Factorisation avec les identités remarquables
1) Factoriser en utilisant l’identité remarquable : \( a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 \)
\( x^2+10x+25 \)
\( x^2+6x+9 \)
\( 36+12x+x^2 \)
\( 4x^2+12x+9 \)
\( 16x^2+40x+25 \)
2) Factoriser en utilisant l’identité remarquable : \( a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 \)
\( x^2-2x+1 \)
\( 4x^2-20x+25 \)
\( 9-6x+x^2 \)
\( 36x^2-12x+1 \)
\( 100-40x+4x^2 \)
3) Factoriser en utilisant l’identité remarquable : \( a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \)
\( x^2-4 \)
\( 9-x^2 \)
\( x^2-16 \)
\( 25-x^2 \)
\( 4x^2-9 \)
\( 16-9x^2 \)
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📝Exercice 10 : Développement, factorisation et équation
On donne : \( D = (2x – 3)(5 – x) + (2x – 3)^2 \)
Développer et réduire \( D \).
Factoriser \( D \).
Résoudre l’équation : \( (2x – 3)(x + 2) = 0 \)
\( D = (2x – 3)(5 – x) + (2x – 3)^2 \)
Développons le premier produit :
Développons le carré :
Donc :
On utilise la forme initiale de \( D \) :
On factorise par le facteur commun \( (2x – 3) \) :
Vérification : \( (2x-3)(x+2) = 2x^2 + 4x – 3x – 6 = 2x^2 + x – 6 \) ✓
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Vérification : Pour \( x = \frac{3}{2} \), \( 2(\frac{3}{2}) – 3 = 0 \).
Pour \( x = -2 \), \( -2 + 2 = 0 \).
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📝Exercice 11 : Développement, factorisation et équation
Soit \( D = (2x + 3)^2 + (2x + 3)(7x – 2) \).
Développer et réduire \( D \).
Factoriser \( D \).
Calculer \( D \) pour \( x = -4 \).
Résoudre l’équation : \( (2x + 3)(9x + 1) = 0 \).
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📝Exercice 12 : Développement, factorisation et équation
On considère l’expression : \( E = (3x + 2)^2 – (5 – 2x)(3x + 2) \).
Développer et réduire l’expression \( E \).
Factoriser \( E \).
Calculer la valeur de \( E \) pour \( x = -2 \).
Résoudre l’équation \( (3x + 2)(5x – 3) = 0 \).
Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
\( E = (3x + 2)^2 – (5 – 2x)(3x + 2) \)
Développons le carré :
Développons le second produit :
Donc :
On utilise la forme initiale de \( E \) :
On factorise par le facteur commun \( (3x + 2) \) :
Vérification : \( (3x+2)(5x-3) = 15x^2 – 9x + 10x – 6 = 15x^2 + x – 6 \) ✓
Utilisons la forme factorisée : \( E = (3x + 2)(5x – 3) \).
Pour \( x = -2 \) :
Vérification : \( 15(4) + (-2) – 6 = 60 – 2 – 6 = 52 \) ✓
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Rappel : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule, c’est-à-dire de la forme \( \dfrac{a}{10^n} \).
Les solutions sont :
- \( -\dfrac{2}{3} \approx -0,666… \) (périodique, non décimal)
- \( \dfrac{3}{5} = 0,6 \) (décimal)
Explication : \( -\frac{2}{3} \) a une écriture décimale illimitée périodique (\( -0,666… \)), donc ce n’est pas un nombre décimal. \( \frac{3}{5} = 0,6 \) a un nombre fini de décimales, donc c’est un nombre décimal.
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📝Exercice 13 : Problème – Terrain rectangulaire et identités remarquables
Un agriculteur possède un terrain rectangulaire. La longueur du terrain est \( 5 \) mètres de plus que sa largeur.
On note \( x \) la largeur du terrain (en mètres).
Exprimer la longueur du terrain en fonction de \( x \).
Exprimer le périmètre du terrain en fonction de \( x \).
Exprimer l’aire du terrain en fonction de \( x \).
Si l’agriculteur achète un terrain adjacent de largeur \( 3 \) mètres et de même longueur que son terrain, quelle est l’aire totale du nouveau terrain ?
Sachant que l’agriculteur a clôturé son terrain (périmètre) avec \( 70 \) mètres de grillage, quelle est la largeur du terrain ?
En déduire la longueur et l’aire du terrain.
La largeur est \( x \) mètres. La longueur est 5 mètres de plus que la largeur.
Longueur \( = \boldsymbol{x + 5} \)
Le périmètre d’un rectangle est : \( P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) \).
\( P = 2[(x + 5) + x] = 2(2x + 5) = 4x + 10 \)
\( \boxed{P = 4x + 10} \)
L’aire d’un rectangle est : \( A = \text{longueur} \times \text{largeur} \).
\( A = (x + 5) \times x = x(x + 5) \)
\( \boxed{A = x^2 + 5x} \)
Le nouveau terrain adjacent a une largeur de \( 3 \) mètres et la même longueur (\( x + 5 \)).
Aire du nouveau terrain : \( A’ = (x + 5) \times 3 = 3x + 15 \)
Aire totale : \( A_{\text{totale}} = A + A’ = (x^2 + 5x) + (3x + 15) \)
\( \boxed{A_{\text{totale}} = x^2 + 8x + 15} \)
Remarque : On reconnaît \( (x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15 \).
Le périmètre est de 70 mètres. D’après la question 2 :
La largeur du terrain est donc de 15 mètres.
\( \boxed{x = 15 \text{ m}} \)
Longueur : \( x + 5 = 15 + 5 = 20 \) mètres.
Largeur : \( x = 15 \) mètres.
Aire : \( A = x^2 + 5x = 15^2 + 5 \times 15 = 225 + 75 = 300 \) m².
Vérification : \( 20 \times 15 = 300 \) m².
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📝Exercice 14 : Problème – Carré et rectangle
On considère un carré de côté \( x \) (en cm). On augmente sa longueur de \( 3 \) cm et on diminue sa largeur de \( 2 \) cm pour obtenir un rectangle.
Exprimer les dimensions du rectangle en fonction de \( x \).
Exprimer l’aire du rectangle en fonction de \( x \).
Exprimer l’aire du carré en fonction de \( x \).
Montrer que la différence entre l’aire du rectangle et l’aire du carré est \( x – 6 \).
Pour quelles valeurs de \( x \) l’aire du rectangle est-elle supérieure à l’aire du carré ?
Si le côté du carré est \( x = 10 \) cm, calculer l’aire du rectangle et l’aire du carré. Vérifier la différence.
Le carré a pour côté \( x \). On augmente sa longueur de 3 cm et on diminue sa largeur de 2 cm.
Longueur du rectangle : \( x + 3 \)
Largeur du rectangle : \( x – 2 \)
Remarque : On suppose que \( x > 2 \) pour que la largeur soit positive.
Aire du rectangle \( = \text{longueur} \times \text{largeur} \)
\( A_{\text{rectangle}} = (x + 3)(x – 2) \)
\( = x^2 – 2x + 3x – 6 = x^2 + x – 6 \)
\( \boxed{A_{\text{rectangle}} = x^2 + x – 6} \)
Aire du carré \( = \text{côté} \times \text{côté} \)
\( A_{\text{carré}} = x \times x = x^2 \)
\( \boxed{A_{\text{carré}} = x^2} \)
Différence entre l’aire du rectangle et l’aire du carré :
\( \boxed{A_{\text{rectangle}} – A_{\text{carré}} = x – 6} \)
L’aire du rectangle est supérieure à l’aire du carré si :
\( \boxed{x > 6} \)
Remarque : Si \( x < 6 \), l’aire du rectangle est inférieure à celle du carré. Si \( x = 6 \), les aires sont égales.
Pour \( x = 10 \) cm :
- Côté du carré : \( 10 \) cm
- Longueur du rectangle : \( 10 + 3 = 13 \) cm
- Largeur du rectangle : \( 10 – 2 = 8 \) cm
Aire du carré :
Aire du rectangle :
Différence :
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Calcul Littéral et Identités Remarquables – exercices corrigés