Droites des milieux dans un triangle

I. Théorèmes des milieux

a. Premier théorème des milieux

Énoncé : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors cette droite est parallèle au troisième côté.

On appelle souvent cette droite la « droite des milieux ».

Hypothèses :

I milieu de [AB]
J milieu de [AC]

Conclusion :

(IJ) // (BC)

b. Second théorème des milieux

Énoncé : Dans un triangle, si une droite est parallèle à un côté et passe par le milieu d’un second côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Hypothèses :

I milieu de [AB]
(IJ) // (BC)

Conclusion :

J est le milieu de [AC]

c. Troisième théorème des milieux

Énoncé : Dans un triangle, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés, alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Hypothèses :

I milieu de [AB]
J milieu de [AC]

Conclusion :

\[ IJ = \frac{1}{2} \times BC \]

II. « Petit » théorème de Thalès

Propriété :

Dans un triangle ABC :

SI :

M est un point de [AB]
N est un point de [AC]
(MN) est parallèle à (BC)

ALORS :

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]

(les longueurs des côtés sont proportionnelles)

Remarque : Le second théorème des milieux n’est qu’un cas particulier de ce théorème, pour \(\frac{AM}{AB} = \frac{1}{2}\)

Exemple :

On considère le triangle DEF tel que DE = 4 cm, DF = 5 cm, EF = 6 cm.

M est le point de [DE] tel que DM = 3 cm.

La parallèle à (EF) passant par M coupe [DF] en N.

Calculer DN :

Dans le triangle DEF, on sait que :

M ∈ [DE]
N ∈ [DF]
(MN) // (EF)

D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{DM}{DE} = \frac{DN}{DF} = \frac{MN}{EF} \]

\[ \frac{3}{4} = \frac{DN}{5} = \frac{MN}{6} \]

Produit en croix :

\[ DN \times 4 = 5 \times 3 \]

\[ DN = \frac{15}{4} = 3,75 \text{ cm} \]

Droites des milieux dans un triangle