Équilibre d’un corps sous l’action de 2 forces – exercices corrigés
⚖️ Exercice : Questions de cours (Ressort & Archimède)
Quelles sont les deux conditions que doivent vérifier deux forces pour qu’un solide soumis à ces deux forces soit en équilibre ?
Qu’appelle-t-on allongement d’un ressort ? Donner sa formule.
Donner la relation entre la tension \( T \) d’un ressort et son allongement \( \Delta l \). Préciser la signification et l’unité de chaque grandeur.
Énoncer le théorème d’Archimède.
Donner l’expression de la poussée d’Archimède \( F_A \) et préciser les quatre caractéristiques de cette force.
Comment peut-on mesurer expérimentalement la poussée d’Archimède exercée sur un solide immergé dans l’eau ? Décrire la méthode.
Lorsqu’un solide \( S \) soumis à deux forces \( \vec{F}_1 \) et \( \vec{F}_2 \) est en équilibre, il faut :
- Les deux forces ont la même droite d’action.
- La somme vectorielle des deux forces est nulle.
On appelle allongement \( \Delta l \) d’un ressort la différence entre sa longueur finale \( l_f \) et sa longueur initiale \( l_0 \) :
L’allongement s’exprime en mètres (m).
La tension \( T \) d’un ressort est proportionnelle à son allongement \( \Delta l \) :
- \( T \) : tension du ressort, en newtons (N).
- \( \Delta l \) : allongement du ressort, en mètres (m).
- \( K \) : constante de raideur du ressort, en \( \mathrm{N \cdot m^{-1}} \).
Théorème d’Archimède : tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz) au repos subit de la part de ce fluide une force de poussée verticale, dirigée de bas en haut, dont l’intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé.
Expression :
Caractéristiques :
- Point d’application : centre d’inertie du fluide déplacé (centre du volume immergé).
- Droite d’action : la verticale passant par le centre de poussée.
- Sens : du bas vers le haut.
- Intensité : \( F_A = \rho \cdot g \cdot V \), avec \( \rho \) en \( \mathrm{kg \cdot m^{-3}} \), \( g \) en \( \mathrm{N \cdot kg^{-1}} \) et \( V \) en \( \mathrm{m^3} \).
Méthode : on utilise un dynamomètre.
- On suspend le solide au dynamomètre et on note la valeur \( T \) affichée (poids du solide dans l’air).
- On immerge le solide dans l’eau et on note la nouvelle valeur \( T’ \) affichée (\( T’ < T \)).
- On calcule la poussée d’Archimède : \( F_A = T – T’ \).
⚖️ Exercice 1 : Équilibre d’un corps sous deux forces
On exerce sur un corps solide S deux forces à l’aide de deux dynamomètres \( D_1 \) et \( D_2 \). Le dynamomètre \( D_2 \) indique une intensité de \( 4 \, \text{N} \).
Le corps S est en équilibre.
Énoncer les deux conditions d’équilibre d’un corps solide soumis à deux forces.
Déterminer les caractéristiques de la force \( \vec{F}_2 \).
Représenter les deux forces \( \vec{F}_1 \) et \( \vec{F}_2 \) sur un schéma en utilisant l’échelle \( 1 \, \text{cm} \) pour \( 1 \, \text{N} \).
Lorsqu’un corps solide est en équilibre sous l’action de deux forces \( \vec{F}_1 \) et \( \vec{F}_2 \) :
- Les deux forces ont la même droite d’action.
- Les deux forces ont la même intensité et des sens opposés.
- La somme vectorielle est nulle : \( \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{0} \).
D’après les conditions d’équilibre, on déduit les caractéristiques de \( \vec{F}_2 \) :
- Point d’application : B.
- Droite d’action : la droite (AB).
- Sens : de A vers B (opposé à \( \vec{F}_1 \)).
- Intensité : \( F_2 = 4 \, \text{N} \).
Avec l’échelle \( 1 \, \text{cm} \) pour \( 1 \, \text{N} \), les deux forces ont une longueur de \( 4 \, \text{cm} \).
📊 Schéma des forces :
Les deux forces sont colinéaires, de sens opposés et de même intensité (\( F_1 = F_2 = 4 \, \text{N} \)).
📏 Exercice 2 : Étalonnage d’un dynamomètre
On souhaite construire un dynamomètre en utilisant un ressort à spires non jointives. Pour étalonner ce dynamomètre, une extrémité du ressort est fixée à un support, à l’autre extrémité on accroche des masses marquées.
Schéma du montage : ressort avec masses marquées
L’allongement du ressort est déterminé par la relation : \( \Delta l = l – l_0 \) avec \( l \) la longueur finale et \( l_0 \) la longueur initiale (\( l_0 = 10 \, \text{cm} \)).
On rassemble les résultats dans le tableau suivant :
| Masse (g) | 0 | 10 | 40 | 60 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| La longueur \( l \) (cm) | 10 | 10,8 | 11,8 | 12,5 | 13,1 | 14,0 |
| L’allongement \( x \) (cm) | ||||||
| La tension \( T \) (N) |
Compléter le tableau. \( T \) est la force exercée sur l’extrémité libre du ressort par la masse \( m \). On donne \( g = 9{,}8 \, \text{N/kg} \).
Tracer la courbe d’étalonnage \( T = f(x) \) et en déduire la raideur du ressort.
💡 Rappel : La tension du ressort est liée à son allongement par la relation \( T = K \cdot x \), où \( K \) est la constante de raideur du ressort.
L’extrémité inférieure du ressort est soumise à :
- Le poids de la masse : vertical, vers le bas, valeur \( P = m \cdot g \) (masse en kg).
- La tension du ressort : verticale, vers le haut, valeur \( T = K \cdot x \) (\( K \) : raideur en N/m, \( x \) en m).
À l’équilibre, on écrit :
| Masse (g) | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Longueur \( l \) (cm) | 10 | 10,4 | 10,8 | 11,3 | 11,6 | 12,0 |
| Allongement \( x \) (cm) | 0 | 0,4 | 0,8 | 1,3 | 1,6 | 2,0 |
| Tension \( T \) (N) | 0 | 0,20 | 0,39 | 0,59 | 0,78 | 0,98 |
La courbe \( T = f(x) \) est une droite qui passe par l’origine des axes. La raideur \( K \) est égale au coefficient directeur de la droite.
Courbe d’étalonnage \( T = f(x) \)
Calcul de la raideur \( K \) :
La raideur du ressort est de \( 50 \, \text{N.m}^{-1} \).
📏Exercice 3 : Étude d’un ressort
Le ressort à étudier est accroché à une potence. À l’extrémité libre, notée E, on suspend successivement des masses de différentes valeurs. Le zéro correspond à la position de E à vide.
Schéma du montage : ressort et masse suspendue
Pour chaque masse \( m \), on mesure l’allongement \( \Delta l \) du ressort. On obtient le tableau suivant :
| \( m \) (kg) | 0 | 0,2 | 0,4 | 0,5 | 0,7 | 1,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \Delta l \) (cm) | 0 | 5,0 | 10,0 | 12,5 | 17,5 | 24,9 |
Construire le graphe représentant la fonction \( \Delta l = f(m) \). En déduire une relation numérique entre \( \Delta l \) et \( m \).
Échelle : 1,0 cm pour 0,1 kg et 1,0 cm pour 2,5 cm.
Après avoir fait le bilan des forces extérieures s’exerçant sur la masse \( m \), établir l’expression littérale de la constante de raideur \( k \) du ressort.
Calculer la valeur de \( k \).
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🚢 Exercice 4 : Poussée d’Archimède sur un navire
Un navire de masse de 8000 tonnes est immobile dans un port.
Données :
- Masse du navire : \( m = 8000 \, \text{tonnes} = 8 \times 10^6 \, \text{kg} \)
- Masse volumique de l’eau de mer : \( \rho = 1030 \, \text{kg.m}^{-3} \)
- Intensité de pesanteur : \( g = 9{,}81 \, \text{N.kg}^{-1} \)
On appelle \( F \) la résultante des forces exercée par l’eau sur le navire. Exprimer la valeur \( F \) en fonction du volume \( V \) de la partie immergée du navire et de la masse volumique de l’eau de mer.
La masse volumique de l’eau de mer vaut \( 1030 \, \text{kg.m}^{-3} \) ; calculer \( V \).
💡 Rappel : La poussée d’Archimède est donnée par \( F_A = \rho \cdot V \cdot g \). Pour un navire flottant en équilibre, la poussée d’Archimède compense son poids : \( F_A = P \).
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⚽ Exercice 5 : Boule posée sur un plan horizontal
Données :
- Masse de la boule : \( m = 710 \, \text{g} = 0{,}710 \, \text{kg} \)
- Intensité de pesanteur : \( g = 9{,}8 \, \text{N.kg}^{-1} \)
- Échelle : \( 1 \, \text{cm} \rightarrow 2 \, \text{N} \)
Schématiser une boule de masse \( m = 710 \, \text{g} \) posée sur un plan horizontal. Représenter le poids \( \vec{P} \) de cet objet en précisant ses caractéristiques.
Échelle : \( 1 \, \text{cm} \rightarrow 2 \, \text{N} \).
Lorsque l’objet est en équilibre, quelle relation vectorielle lie le poids \( \vec{P} \) de l’objet et la résultante \( \vec{R} \) des forces de contact ? Représenter dans ces conditions la résultante \( \vec{R} \) (préciser ses caractéristiques).
💡 Rappel : Le poids est donné par \( P = m \cdot g \). Pour un corps en équilibre sous l’action de deux forces, on a \( \vec{P} + \vec{R} = \vec{0} \).
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🧊Exercice 6 : Iceberg flottant
Un iceberg de masse volumique \( \rho = 920 \, \text{kg.m}^{-3} \) flotte sur l’eau de mer de masse volumique \( \rho’ = 1030 \, \text{kg.m}^{-3} \).
Représenter sur un schéma et nommer les résultantes des forces réparties qui s’exercent sur l’iceberg.
Calculer en fonction du volume V de l’iceberg, le volume V’ de sa partie immergée.
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📏 Exercice 7 : Étalonnage d’un dynamomètre
Pour réaliser un dynamomètre à l’aide d’un ressort, on effectue un étalonnage. Pour cela, le ressort est suspendu à un point fixe par une de ses extrémités, et l’extrémité libre porte un index qui se déplace devant une règle graduée maintenue verticalement par un support fixe.
Schéma du montage : ressort, index et règle graduée
On accroche à l’extrémité libre différentes « masses marquées » et on lit les indications correspondantes sur la règle graduée. On obtient :
| m (kg) | 0 | 0,20 | 0,40 | 0,60 | 0,80 | 1,00 | 1,20 | 1,40 | 1,60 | 1,80 | 2,00 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x (cm) | 0 | 2,6 | 5,2 | 8,0 | 10,7 | 13,3 | 16,0 | 18,6 | 21,5 | 24,0 | 26,5 |
Faire le bilan des forces s’exerçant sur la masse.
La masse est à l’équilibre.
2.1- Quelle relation lie les forces s’exerçant sur celle-ci ?
2.2- En déduire la valeur de F, force de rappel du ressort, en fonction de \( m \) et \( g \).
2.3- Compléter le tableau en donnant les valeurs de F.
Construire le graphe donnant \( F \) en fonction de \( x \).
Déterminer graphiquement la valeur nécessaire de la force \( F \) qui entraîne un allongement \( x = 20{,}4 \, \text{cm} \).
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⚖️ Exercice 8 : Dynamomètre et Poussée d’Archimède
Un corps de masse \( m = 240 \, \text{g} \) est accroché à un dynamomètre à ressort. L’allongement du ressort est de 4 cm lorsque le corps est dans l’air. Prendre \( g = 10 \, \text{N/kg} \).
Schéma de l’expérience : corps accroché au dynamomètre
Données :
- Masse du corps : \( m = 240 \, \text{g} = 0{,}24 \, \text{kg} \)
- Intensité de pesanteur : \( g = 10 \, \text{N/kg} \)
- Allongement dans l’air : \( \Delta l = 4 \, \text{cm} \)
1) Dans l’air :
Calculer le poids du corps.
Que représente l’indication donnée par le dynamomètre ? Quelle est sa valeur ? Justifier.
Déduire la valeur de la constante de raideur K du ressort.
2) Dans le liquide :
Lorsqu’on plonge le corps entièrement dans un liquide contenu dans un vase gradué, l’allongement du ressort devient 3,8 cm et le niveau du liquide monte de 20 cm³.
Calculer la masse volumique du corps.
Calculer la tension du ressort quand le corps est dans le liquide. Quelle est, dans ce cas, l’indication du dynamomètre ? Que représente cette indication ?
Déduire la valeur de la force de poussée exercée par le liquide sur le corps.
Calculer la masse volumique \( \rho_L \) du liquide.
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⚖️ Exercice 9 : Ressort et Poussée d’Archimède
On suspend à l’extrémité libre d’un ressort une boule de masse \( m = 100 \, \text{g} \) et de rayon \( r = 2 \, \text{cm} \). La longueur initiale du ressort est \( l_0 = 20 \, \text{cm} \) et sa constante de raideur est \( K = 10 \, \text{N/m} \).
Schéma du ressort et de la boule
Données :
- Masse de la boule : \( m = 100 \, \text{g} = 0{,}1 \, \text{kg} \)
- Rayon de la boule : \( r = 2 \, \text{cm} = 0{,}02 \, \text{m} \)
- Longueur initiale du ressort : \( l_0 = 20 \, \text{cm} = 0{,}2 \, \text{m} \)
- Constante de raideur : \( K = 10 \, \text{N/m} \)
- Intensité de pesanteur : \( g = 10 \, \text{N/kg} \)
- Masse volumique de l’eau : \( \rho_{\text{eau}} = 10^3 \, \text{kg/m}^3 \)
- Masse volumique de l’alcool : \( \rho_{\text{alcool}} = 800 \, \text{kg/m}^3 \)
- Volume de la sphère : \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
Calculer le poids de la boule, puis déterminer la longueur finale du ressort.
On immerge totalement la boule (suspendue au même ressort) dans un récipient plein d’eau comme l’indique la figure. Déterminer dans ce cas le nouvel allongement du ressort \( \Delta l_1 \).
On remplace l’eau par de l’alcool et on immerge à nouveau totalement la boule. Trouver dans ce cas le nouvel allongement \( \Delta l_2 \) du ressort.
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⚖️ Exercice 10 : Boule en fer dans le mercure
Une boule en fer de densité \( d_{\text{fer}} = 7{,}25 \) est introduite dans le mercure (liquide de densité \( d_{\text{mercure}} = 13{,}6 \)).
Données :
- Densité du fer : \( d_{\text{fer}} = 7{,}25 \)
- Densité du mercure : \( d_{\text{mercure}} = 13{,}6 \)
- Masse volumique de l’eau : \( \rho_{\text{eau}} = 10^3 \, \text{kg/m}^3 \)
Faites le bilan des forces qui s’exercent sur la boule.
Démontrer que la boule est partiellement immergée dans le mercure (c’est-à-dire qu’elle n’est pas totalement immergée dedans).
Calculer le rapport du volume \( V_1 \) émergé au volume total \( V \) de la boule.
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🧊Exercice 11 : Pavé flottant sur l’eau
Un pavé flotte à la surface de l’eau. Il a la forme d’un parallélépipède. Ses dimensions sont : hauteur \( h = 20 \, \text{cm} \), longueur \( L = 60 \, \text{cm} \) et largeur \( l = 20 \, \text{cm} \).
Sachant que la partie du pavé qui émerge a une hauteur \( h’ = 3 \, \text{cm} \).
Schéma du pavé flottant sur l’eau
Données :
- Masse volumique de l’eau : \( \rho_{\text{eau}} = 10^3 \, \text{kg/m}^3 \)
- Intensité de pesanteur : \( g = 10 \, \text{N/kg} \)
Faites le bilan des forces qui s’exercent sur le pavé.
Calculer la masse d’eau déplacée.
Calculer le poids d’eau déplacée et en déduire l’intensité du poids du pavé.
Calculer la masse du pavé.
a) Calculer le volume du pavé.
b) Préciser le matériau constituant ce pavé :
| Matériau | Polystyrène | Bois | Glace | Aluminium | Fer |
|---|---|---|---|---|---|
| Masse volumique (kg/m³) | 11 | 850 | 920 | 2700 | 8000 |
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Équilibre d’un corps sous l’action de 2 forces – exercices corrigés