Le produit scalaire et ses applications exercices corrigés – 1Bac

Résumé de cours
Évaluation

📋 Exercice : Questions de cours (Le produit scalaire et ses applications)

1

Définir le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan. Donner la formule utilisant les normes et le cosinus.

 

2

Qu’appelle-t-on le carré scalaire d’un vecteur \(\vec{u}\) ? Écrire la relation avec la norme.

 

3

À quelle condition dit-on que deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux ? Écrire la notation et la condition sur le produit scalaire.

 

4

Qu’est-ce qu’une base orthonormée ? Qu’est-ce qu’un repère orthonormé ?

 

5

Énoncer l’expression analytique du produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}(x; y)\) et \(\vec{v}(x’; y’)\) dans un repère orthonormé.

 

6

Donner la formule de la norme d’un vecteur \(\vec{u}(x; y)\) et celle de la distance entre deux points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\).

 

7

Écrire les formules de \(\cos(\theta)\) et \(\sin(\theta)\) où \(\theta\) est une mesure de l’angle orienté \((\vec{u}, \vec{v})\) en fonction du produit scalaire et du déterminant.

 

8

Comment calcule-t-on la surface d’un triangle \(ABC\) à l’aide du déterminant ? Écrire la formule.

 

9

Soit \((D)\) une droite d’équation \(ax + by + c = 0\). Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de \((D)\). Donner la formule de la distance d’un point \(A(x_A; y_A)\) à \((D)\).

 

10

Donner l’équation cartésienne d’un cercle de centre \(\Omega(a; b)\) et de rayon \(R\). Donner aussi sa représentation paramétrique. Comment caractérise-t-on le cercle de diamètre \([AB]\) ?

 

1) Définition du produit scalaire

Définition : Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan. Le produit scalaire des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})\)

où \((\vec{u}, \vec{v})\) désigne l’angle orienté entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

\(\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})}\)

2) Carré scalaire d’un vecteur

Définition : Le nombre réel positif \(\vec{u} \cdot \vec{u}\) est appelé le carré scalaire du vecteur \(\vec{u}\).

On a la relation fondamentale :

\(\vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\)

On en déduit : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\).

\(\boxed{\vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2}\)

3) Orthogonalité de deux vecteurs

Définition : Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls. Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)

Cela correspond au cas où \(\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0\), c’est-à-dire \((\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{2} \ [\pi]\).

\(\boxed{\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0}\)

4) Base orthonormée et repère orthonormé

Base orthonormée : Soit \((\vec{i}, \vec{j})\) une base du plan. On dit que \((\vec{i}, \vec{j})\) est une base orthonormée si :

\(\vec{i} \cdot \vec{j} = 0 \quad \text{et} \quad \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1\)

Repère orthonormé : Soit \(O\) un point du plan. On dit que \((O, \vec{i}, \vec{j})\) est un repère orthonormé si \((\vec{i}, \vec{j})\) est une base orthonormée.

Si de plus \((\vec{i}, \vec{j}) = \dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]\), le repère est dit orthonormé direct.

\(\boxed{\vec{i} \cdot \vec{j} = 0 \text{ et } \|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1}\)

5) Expression analytique du produit scalaire

Propriété : Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), soient \(\vec{u}(x; y)\) et \(\vec{v}(x’; y’)\) deux vecteurs du plan. Alors :

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’\)

En particulier, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff xx’ + yy’ = 0\) (condition d’orthogonalité en coordonnées).

\(\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’}\)

6) Norme d’un vecteur et distance entre deux points

Norme : Soit \(\vec{u}(x; y)\) un vecteur du plan. La norme de \(\vec{u}\) est :

\(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Distance : Soient \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) deux points du plan. La distance \(AB\) est :

\(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
\(\boxed{\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \quad ; \quad AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}}\)

7) Expression de \(\cos(\theta)\) et \(\sin(\theta)\)

Soient \(\vec{u}(x; y)\) et \(\vec{v}(x’; y’)\) deux vecteurs non nuls et \(\theta\) une mesure de l’angle orienté \((\vec{u}, \vec{v})\). On a :

Cosinus :

\(\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{xx’ + yy’}{\sqrt{x^2 + y^2} \times \sqrt{x’^2 + y’^2}}\)

Sinus :

\(\sin\theta = \dfrac{\det(\vec{u}, \vec{v})}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \dfrac{xy’ – x’y}{\sqrt{x^2 + y^2} \times \sqrt{x’^2 + y’^2}}\)
\(\boxed{\cos\theta = \dfrac{xx’ + yy’}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \quad ; \quad \sin\theta = \dfrac{xy’ – x’y}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}}\)

8) Surface d’un triangle

Propriété : Soit \(ABC\) un triangle du plan. La surface (aire) du triangle \(ABC\) est donnée par :

\(S = \dfrac{|\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})|}{2}\)

où \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = x_{AB} \times y_{AC} – x_{AC} \times y_{AB}\).

\(\boxed{S = \dfrac{|\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})|}{2}}\)

9) Vecteur normal, vecteur directeur et distance

Propriété : Soit \((D)\) une droite d’équation cartésienne \(ax + by + c = 0\).

  • Le vecteur \(\vec{n}(a; b)\) est un vecteur normal à \((D)\).
  • Le vecteur \(\vec{u}(-b; a)\) est un vecteur directeur de \((D)\).

Distance d’un point à une droite : Soit \(A(x_A; y_A)\) un point du plan. La distance de \(A\) à \((D)\) est :

\(d(A; (D)) = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
\(\boxed{\vec{n}(a; b) \quad ; \quad \vec{u}(-b; a) \quad ; \quad d(A; (D)) = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}\)

10) Équation et représentation paramétrique d’un cercle

Équation cartésienne : Le cercle \((C)\) de centre \(\Omega(a; b)\) et de rayon \(R\) a pour équation :

\((x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2\)

Forme développée : \(x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0\) où \(c = a^2 + b^2 – R^2\).

Représentation paramétrique :

\(\begin{cases} x = a + R\cos\theta \\ y = b + R\sin\theta \end{cases} \quad (\theta \in \mathbb{R})\)

Cercle de diamètre \([AB]\) : C’est l’ensemble des points \(M\) tels que :

\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0\)

Ou encore, en coordonnées : \((x – x_A)(x – x_B) + (y – y_A)(y – y_B) = 0\).

\(\boxed{(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2 \quad ; \quad \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 0}\)

📐 Exercice 1 : Produit scalaire et orthogonalité

Le plan \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

On considère les points : \(A(-1; 1)\), \(B(-1; 3)\), \(C(-4; 4)\), \(D(1; 1)\) et \(E(-4; -2)\).

Questions

1

Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DE}\). Que peut-on en conclure ?

 

2

Montrer que \((BE) \perp (CD)\).

 

3

Montrer que \((AM) \perp (BC)\) où \(M\) est le milieu du segment \([DE]\).

 

1) Calculer \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DE}\)

• Calcul de \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) :

\(\overrightarrow{AB}(x_B – x_A; y_B – y_A)\) et \(\overrightarrow{AD}(x_D – x_A; y_D – y_A)\).

\(\overrightarrow{AB}(-1 – (-1); 3 – 1) = \overrightarrow{AB}(0; 2)\).

\(\overrightarrow{AD}(1 – (-1); 1 – 1) = \overrightarrow{AD}(2; 0)\).

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \times 2 + 2 \times 0 = 0 + 0 = 0\)

Donc \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0\). On en déduit que \((AB) \perp (AD)\).

• Calcul de \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DE}\) :

\(\overrightarrow{BC}(x_C – x_B; y_C – y_B) = (-4 – (-1); 4 – 3) = \overrightarrow{BC}(-3; 1)\).

\(\overrightarrow{DE}(x_E – x_D; y_E – y_D) = (-4 – 1; -2 – 1) = \overrightarrow{DE}(-5; -3)\).

\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DE} = (-3) \times (-5) + 1 \times (-3) = 15 + (-3) = 12\)

Donc \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DE} = 12\). Les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

\(\boxed{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \;;\; \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DE} = 12}\)

2) Montrer que \((BE) \perp (CD)\)

\(\overrightarrow{BE}(x_E – x_B; y_E – y_B) = (-4 – (-1); -2 – 3) = \overrightarrow{BE}(-3; -5)\).

\(\overrightarrow{CD}(x_D – x_C; y_D – y_C) = (1 – (-4); 1 – 4) = \overrightarrow{CD}(5; -3)\).

\(\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CD} = -3 \times 5 + (-5) \times (-3) = -15 + 15 = 0\)

Donc \(\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\). Par conséquent, les vecteurs \(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont orthogonaux, donc \((BE) \perp (CD)\).

\(\boxed{(BE) \perp (CD)}\)

3) Montrer que \((AM) \perp (BC)\)

\(M\) est le milieu du segment \([DE]\), donc :

\(x_M = \dfrac{x_D + x_E}{2} = \dfrac{1 + (-4)}{2} = \dfrac{-3}{2}\)
\(y_M = \dfrac{y_D + y_E}{2} = \dfrac{1 + (-2)}{2} = \dfrac{-1}{2}\)

Donc \(M\left(\dfrac{-3}{2}; \dfrac{-1}{2}\right)\).

\(\overrightarrow{AM}(x_M – x_A; y_M – y_A) = \left(\dfrac{-3}{2} – (-1); \dfrac{-1}{2} – 1\right) = \overrightarrow{AM}\left(\dfrac{-1}{2}; \dfrac{-3}{2}\right)\).

\(\overrightarrow{BC}(-3; 1)\) (calculé à la question 1).

\(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AM} = -3 \times \dfrac{-1}{2} + 1 \times \dfrac{-3}{2} = \dfrac{3}{2} – \dfrac{3}{2} = 0\)

Donc \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AM} = 0\). Par conséquent, les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AM}\) sont orthogonaux, donc \((AM) \perp (BC)\).

\(\boxed{(AM) \perp (BC)}\)

📐 Exercice 2 : Triangle rectangle et surface

Dans le plan \((P)\) rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}(O, \vec{i}, \vec{j})\).

Questions

1

Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).

 

2

Calculer la surface du triangle \(ABC\).

 

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📐 Exercice 3 : Normes, produits scalaires et angles

Dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), on considère les points suivants :

\(A(3; 2)\), \(B(0; 5)\) et \(C(-2; -1)\).

Questions

1

Calculer les normes des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).

 

2

Calculer les produits scalaires \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\).

 

3

Calculer une mesure des angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ACB}\) à un degré près.

 

4

\(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\). Calculer \(AH\) et \(CH\).

 

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📐 Exercice 4 : Angles et trigonométrie

Le plan \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

On considère les points : \(A(1; 1)\), \(B(1; 3)\), \(C(-1; 1)\) et \(D(0; 1+\sqrt{3})\).

Questions

1

Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).

 

2

a) Calculer \(\|\overrightarrow{CA}\|\), \(\|\overrightarrow{CB}\|\) et \(\|\overrightarrow{CD}\|\).

 

b) Calculer \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CD}\).

 

3

a) Calculer \(\cos\) et \(\sin\) des angles \((\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB})\) et \((\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CD})\).

 

b) En déduire une mesure des angles.

 

4

Vérifier que \((\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}) = \dfrac{\pi}{12}\).

 

5

En déduire \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}\).

 

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📐 Exercice 5 : Équation cartésienne et vecteur normal

Questions

1

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A(0; 1)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2; 1)\).

 

2

Donner un vecteur normal à la droite \((D) : x – 2y + 5 = 0\).

 

3

Donner un vecteur normal à la droite \((D) : 2y – 3 = 0\).

 

4

Donner un vecteur normal à la droite \((D) : x – 1 = 0\).

 

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📐 Exercice 6 : Droites perpendiculaire et parallèle

Dans le plan \((P)\) rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}(O, \vec{i}, \vec{j})\).

Considérons les points \(A(-3; 0)\), \(B(3; 0)\) et \(C(1; 5)\).

Questions

1

Déterminer une équation cartésienne de \((D)\) perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(C\).

 

2

Déterminer une équation cartésienne de \((\Delta)\) parallèle à \((AB)\) passant par \(C\).

 

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📐 Exercice 7 : Médiatrice et hauteur d’un triangle

Dans le plan \((P)\) rapporté à un repère orthonormé \(\mathcal{R}(O, \vec{i}, \vec{j})\).

Considérons les points \(A(1; 2)\), \(B(-2; 3)\) et \(C(0; 4)\).

Questions

1

Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice \((D)\) du segment \([AB]\).

 

2

Déterminer une équation cartésienne de la hauteur \((\Delta)\) du triangle \(ABC\) passant par \(A\).

 

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📐 Exercice 8 : Triangle isocèle et étude analytique

Le plan \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

On considère les points : \(A(1; 2\sqrt{3})\), \(B(0; \sqrt{3})\) et \(C(1; 0)\).

Questions

1

Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\).

 

2

Calculer \(\cos(\widehat{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}})\) et \(\tan(\widehat{\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}})\).

 

3

Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de \(B\) dans le triangle \(ABC\).

 

4

Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de \(C\) dans le triangle \(ABC\).

 

5

Déterminer les coordonnées du centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\).

 

6

Calculer l’aire du triangle \(ABC\).

 

7

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((BC)\).

 

b) Calculer la distance du point \(A\) à la droite \((BC)\).

 

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📐 Exercice 9 : Droite, orthogonalité et distance

Le plan \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

On considère la droite \((D)\) passant par \(A(-1; 0)\) et de vecteur normal \(\vec{u}(2; 4)\), et on considère la droite \((\Delta) : 2x = y + 4\).

Questions

1

Déterminer une équation cartésienne de \((D)\).

 

2

Montrer que \((D) \perp (\Delta)\).

 

3

Calculer la distance du point \(A\) à la droite \((\Delta)\).

 

4

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) du point \(A\) sur la droite \((\Delta)\).

 

5

Calculer d’une autre façon la distance du point \(A\) à la droite \((\Delta)\).

 

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📐 Exercice 10 : Équation cartésienne d’un cercle

Questions

1

Déterminer l’équation cartésienne du cercle de centre \(\Omega(-1; 2)\) et de rayon \(r = 3\).

 

2

Déterminer l’ensemble \((E) : x^2 + y^2 – x + 3y – 4 = 0\).

 

3

Déterminer l’ensemble \((E) : x^2 + y^2 – 6x + 2y + 10 = 0\).

 

4

Déterminer l’ensemble \((E) : x^2 + y^2 – 4x + 5 = 0\).

 

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📐 Exercice 11 : Équations développées de cercle

Les équations suivantes sont-elles des équations développées de cercle ? Si oui, préciser le centre et le rayon.

Questions

a

Étudier \(x^2 + y^2 – 2x + 4y = 20\).

 

b

Étudier \(x^2 + y^2 – 2x + 4y + 14 = 0\).

 

c

Étudier \(x^2 + y^2 + 4x – 2y + 5 = 0\).

 

d

Étudier \(x^2 + y^2 + x = 0\).

 

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📐 Exercice 12 : Cercle de diamètre [AB]

Question

 

Déterminer une équation du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(1; 2)\) et \(B(-3; 1)\).

 

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📐 Exercice 13 : Positions relatives d’un cercle et de droites

Le plan \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

On considère les droites \((D) : x = y\) et \((\Delta) : 4x – 3y + 2 = 0\), et le cercle \((C) : x^2 + y^2 – 6x + 4y – 3 = 0\).

Questions

1

Déterminer le centre et le rayon du cercle \((C)\).

 

2

Montrer que la droite \((\Delta)\) est tangente au cercle \((C)\).

 

3

Montrer que la droite \((D)\) et le cercle \((C)\) se coupent en deux points distincts.

 

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📐 Exercice 14 : Triangle, cercle circonscrit et tangente

Le plan \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

On considère les points : \(A(2; 1)\), \(B(1; -2)\) et \(C(-1; 2)\).

Questions

1

a) Montrer que \(ABC\) est isocèle et rectangle en \(A\).

 

b) Déterminer une équation cartésienne du cercle \((\zeta)\) circonscrit à \(ABC\).

 

2

Montrer que \((\Delta_1) : x + 2y + 5 = 0\) est tangente au cercle \((\zeta)\).

 

3

Déterminer une équation cartésienne de la tangente \((L)\) au cercle \((\zeta)\) au point \(A\).

 

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📐 Exercice 15 : Cercle, droite et points d’intersection

Le plan \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

On considère les points : \(A(4; 0)\), \(B(0; 2)\) et \(C(2; -3)\).

Questions

1

Écrire une équation cartésienne du cercle \((\zeta)\) de diamètre \([OA]\).

 

2

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((BC)\).

 

3

a) Montrer que \((BC)\) coupe \((\zeta)\) en deux points distincts.

 

b) Écrire une représentation paramétrique de \((BC)\).

 

c) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((BC)\) et \((\zeta)\).

 

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📐 Exercice 16 : Intersection d’un cercle et d’une droite

On considère le cercle \((C)\) de centre \(\Omega(1; 2)\) et de rayon \(R = 2\), et la droite \((D)\) d’équation \(x – y + 2 = 0\).

Questions

1

Montrer que \((D)\) coupe \((C)\) en deux points distincts.

 

2

Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((C)\) et \((D)\).

 

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📐 Exercice 17 : Résolution graphique d’inéquations

Questions

1

Résoudre graphiquement l’inéquation \(x^2 + y^2 – 2x + 4y – 4 < 0\).

 

2

Résoudre graphiquement l’inéquation \(x^2 + y^2 – 1 > 0\).

 

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📐 Exercice 18 : Cercle et résolution graphique d’un système

Le plan \((P)\) est muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

On considère \((C)\) l’ensemble des points \(M(x; y)\) qui vérifient : \(x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0\).

Questions

1

a) Montrer que \((C)\) est un cercle, en précisant son centre et son rayon.

 

b) Montrer que l’axe des abscisses est tangent à \((C)\) et déterminer le point de tangence.

 

2

Résoudre graphiquement le système \(\begin{cases} x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 < 0 \\ x + y > 0 \end{cases}\).

 

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📐 Exercice 19 : Résolution graphique d’un système

Question

1

Résoudre graphiquement le système :

\((S) : \begin{cases} x^2 + y^2 – 2x – 4y + \dfrac{11}{4} < 0 \\ x^2 + y^2 + 2x – 4 > 0 \end{cases}\)

 

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📐 Exercice 20 : Résolution graphique d’un système d’inéquations

Question

 

Résoudre graphiquement le système d’inéquations suivant :

\(\begin{cases} x^2 + y^2 – 1 > 0 \\ x^2 + y^2 – 4x – 12 < 0 \end{cases}\)

 

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Le produit scalaire et ses applications exercices corrigés – 1Bac