Exercice 1 : Questions de cours (4 pts)

1) Donner la définition du produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). (1 pt)

2) Donner l’expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé. (1 pt)

3) Donner la condition d’orthogonalité de deux vecteurs. (1 pt)

4) Donner la formule de la distance entre deux points \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\). (1 pt)

Exercice 2 : Produit scalaire et orthogonalité (4 pts)

Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\), on considère les vecteurs :

\(\vec{u}(2; -3)\) et \(\vec{v}(-1; 2)\).

1) Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). (1 pt)

2) Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\). (1 pt)

3) Déterminer la valeur de \(m\) pour que les vecteurs \(\vec{a}(3; -1 + m)\) et \(\vec{b}(2 – m; 5)\) soient orthogonaux. (2 pts)

Exercice 3 : Équation de droite (4 pts)

Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\), on considère les points \(A(1; 2)\) et \(B(-2; 3)\).

1) Donner une équation cartésienne de la droite \((AB)\). (1,5 pts)

2) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((AB)\). (2,5 pts)

Exercice 4 : Cercle (4 pts)

On considère le cercle \((C)\) d’équation : \(x^2 + y^2 – 2x – 4y + 1 = 0\).

1) Déterminer le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) du cercle \((C)\). (2 pts)

2) Vérifier que le point \(A(2; 1)\) appartient au cercle \((C)\). (1 pt)

3) Donner une représentation paramétrique du cercle \((C)\). (1 pt)

Exercice 5 : Problème de synthèse (4 pts)

Dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\), on considère les points \(A(2; -1)\), \(B(-4; -3)\) et \(C(1; -3)\).

1) Calculer \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). (1 pt)

2) Calculer \(\cos(\vec{AB}; \vec{AC})\) et en déduire la mesure de l’angle \((\vec{AB}; \vec{AC})\). (1,5 pts)

3) Calculer la surface du triangle \(ABC\). (1,5 pts)