Le travail et l’énergie potentielle de pesanteur – Énergie mécanique exercices corrigés
⚡ Exercice : Questions de cours (Énergie potentielle et Énergie mécanique)
Répondre aux questions suivantes en vous basant sur le cours sur l’énergie potentielle de pesanteur et l’énergie mécanique.
Définir l’énergie potentielle de pesanteur d’un solide.
Donner l’expression générale de l’énergie potentielle de pesanteur \( E_{pp} \) d’un solide de masse \( m \) situé à une altitude \( z \). Préciser les unités de chaque grandeur.
Qu’appelle-t-on état de référence pour l’énergie potentielle de pesanteur ? Que vaut \( E_{pp} \) dans cet état ?
Donner la relation entre la variation de l’énergie potentielle de pesanteur \( \Delta E_{pp} \) et le travail du poids \( W_{A \to B}(\vec{P}) \) lors d’un déplacement entre deux points A et B.
Définir l’énergie mécanique \( E_m \) d’un solide. Donner son expression.
Dans quel cas l’énergie mécanique d’un solide se conserve ? Énoncer la condition.
Quelle est la variation de l’énergie mécanique \( \Delta E_m \) lorsque le solide est soumis à des forces de frottement ? Donner l’expression en fonction du travail des forces de frottement.
Quelle est l’unité de l’énergie mécanique dans le Système International ?
Que devient l’énergie mécanique perdue à cause des frottements ?
Le poids est-il une force conservative ou non conservative ? Justifier.
L’énergie potentielle de pesanteur d’un solide est l’énergie qu’il possède du fait de sa position par rapport à la Terre.
💡 Exemple : L’eau retenue par un barrage possède une énergie potentielle due à sa hauteur, utilisée pour produire de l’électricité.
Dans un repère \( R(O, \vec{k}) \), l’énergie potentielle de pesanteur \( E_{pp} \) d’un solide est définie par :
Avec :
- \( m \) : masse du solide en kilogramme (kg)
- \( g \) : intensité de la pesanteur en newton par kilogramme (N/kg)
- \( z \) : altitude du centre de gravité en mètre (m)
- \( C \) : constante dépendant du choix de l’état de référence
Unité (SI) : le joule (J).
L’état de référence est un état que l’on choisit arbitrairement et pour lequel l’énergie potentielle de pesanteur est nulle (\( E_{pp} = 0 \)).
Si l’état de référence est choisi à l’altitude \( z = z_0 \), alors l’expression devient :
Si on prend \( z_0 = 0 \) (référence au sol), alors : \( E_{pp} = m \cdot g \cdot z \).
Lorsqu’un solide se déplace d’un point A d’altitude \( z_A \) à un point B d’altitude \( z_B \), la variation de l’énergie potentielle de pesanteur est :
Or, le travail du poids est : \( W_{A \to B}(\vec{P}) = m \cdot g \cdot (z_A – z_B) \)
Donc la relation est :
💡 Interprétation : La variation de l’énergie potentielle est égale à l’opposé du travail du poids.
L’énergie mécanique \( E_m \) d’un solide, à chaque instant, est la somme de son énergie cinétique \( E_c \) et de son énergie potentielle de pesanteur \( E_{pp} \) :
En développant : \( E_m = \dfrac{1}{2} m v^2 + m g z + C \)
L’énergie mécanique d’un solide se conserve lorsque :
- Le solide n’est soumis qu’à des forces conservatives (comme le poids),
- Ou le travail des forces non conservatives (frottements, réaction normale) est nul.
💡 Exemple : Chute libre d’un corps (uniquement soumis à son poids).
Lorsque le solide est soumis à des forces de frottement, la variation de l’énergie mécanique est égale au travail des forces de frottement :
Où :
- \( f \) est l’intensité de la force de frottement (en N),
- \( AB \) est la distance parcourue (en m).
💡 Remarque : \( \Delta E_m < 0 \), l’énergie mécanique diminue.
L’unité de l’énergie mécanique dans le Système International (SI) est le joule (J).
💡 Équivalence : \( 1 \, J = 1 \, kg \cdot m^2 \cdot s^{-2} \)
L’énergie mécanique perdue à cause des frottements est convertie en chaleur \( Q \).
Cette chaleur est dissipée dans le milieu extérieur (le solide, l’air, le support…).
Le poids est une force conservative.
Justification : Son travail ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de la différence d’altitude entre les points de départ et d’arrivée :
De plus, il dérive d’une énergie potentielle (\( E_{pp} = m g z + C \)), ce qui est la caractéristique d’une force conservative.
💡 Exemple de force non conservative : les forces de frottement (leur travail dépend du chemin parcouru).
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Exercice 1 : Énergie potentielle de pesanteur
On considère un corps ponctuel \( S \) de masse \( m = 2 \, kg \) pouvant occuper différentes positions sur l’axe \( (Oz) \) orienté vers le haut.
Donnée : \( g = 10 \, N.kg^{-1} \)
En prenant \( z_0 = 2 \, m \) comme niveau de référence, calculer l’énergie potentielle de pesanteur du corps \( S \) aux positions \( z_1 = 6 \, m \) et \( z_2 = -4 \, m \), puis calculer la variation d’énergie potentielle entre ces deux positions.
En prenant \( z_0 = -1 \, m \) comme niveau de référence, calculer l’énergie potentielle de pesanteur du corps \( S \) aux positions \( z_1 = 6 \, m \) et \( z_2 = -4 \, m \), puis calculer la variation d’énergie potentielle entre ces deux positions.
Que peut-on conclure ?
💡 \( z_0 \) est l’altitude du niveau de référence où \( E_{pp} = 0 \).
À la position \( z_1 = 6 \, m \) :
À la position \( z_2 = -4 \, m \) :
Variation d’énergie potentielle :
💡 \( \Delta E_{pp} = m \times g \times (z_2 – z_1) = 2 \times 10 \times (-4 – 6) = -200 \, J \) ✅
À la position \( z_1 = 6 \, m \) :
À la position \( z_2 = -4 \, m \) :
Variation d’énergie potentielle :
💡 \( \Delta E_{pp} = m \times g \times (z_2 – z_1) = 2 \times 10 \times (-4 – 6) = -200 \, J \) ✅
✅ L’énergie potentielle de pesanteur dépend du choix de l’origine des altitudes.
✅ La variation d’énergie potentielle \( \Delta E_{pp} \) est indépendante du choix de l’origine.
💡 Seule la variation d’énergie potentielle a une signification physique. La valeur absolue de \( E_{pp} \) dépend du référentiel choisi.
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Exercice 2 : Énergie potentielle de pesanteur
Une boule de masse \( m = 0,5 \, kg \) se trouve au sommet d’un immeuble de hauteur \( h = 30 \, m \) (voir figure ci-contre). L’immeuble est situé à une altitude de \( 25 \, m \) au-dessus du niveau de la mer.
Donnée : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \)
Calculer l’énergie potentielle de pesanteur de la boule si l’on choisit l’état de référence :
a) Au niveau de la mer.
b) Au niveau du sol (toit de l’immeuble).
Calculer la variation d’énergie potentielle de la boule lors de sa chute jusqu’au sol.
Sachant que la boule tombe sans vitesse initiale et que toute son énergie potentielle se transforme en énergie cinétique, calculer sa vitesse lorsqu’elle arrive au sol.
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Exercice 3 : Chute libre et énergie potentielle
Lors de la chute sans vitesse initiale d’un corps de masse \( m = 3,00 \, kg \) sur la Terre, son énergie potentielle varie de la valeur \( E_{p1} = 500 \, J \) à la valeur \( E_{p2} = -900 \, J \).
Donnée : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \)
De quelle hauteur le corps est-il tombé ?
Où se trouve le niveau de référence de l’énergie potentielle par rapport à la position initiale ?
Quelle est sa vitesse lorsqu’il passe par ce niveau de référence ?
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Exercice 4 : Saut en hauteur
En athlétisme (saut en hauteur), un athlète de masse \( m = 85,0 \, kg \) et de taille \( L = 1,93 \, m \) franchit une barre placée à la hauteur \( h = 2,45 \, m \). On suppose que le centre d’inertie \( G \) de l’athlète coïncide avec le milieu de sa taille, et que lors du saut, \( G \) passe à \( 10 \, cm \) au-dessus de la barre.
Donnée : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \)
Calculer la variation d’énergie potentielle de l’athlète lors du saut.
L’athlète arrive devant la barre avec la vitesse \( v = 21,6 \, km.h^{-1} \).
a) Quelle serait la hauteur théorique maximale qu’il pourrait atteindre si toute son énergie cinétique se transformait en énergie potentielle ?
b) En réalité, lorsqu’il franchit la barre, sa vitesse est \( v’ = 3,6 \, km.h^{-1} \). Comparer l’énergie mécanique avant le saut et après le franchissement de la barre. Conclure.
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Exercice 5 : Énergie mécanique d’une balle
Les graphiques suivants représentent les variations en fonction du temps de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle de pesanteur d’une balle de masse \( m = 100 \, g \), lancée verticalement vers le haut à l’instant \( t = 0 \).
Donnée : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \)
Lequel des deux graphiques représente l’énergie cinétique ? Justifier.
Lequel des deux graphiques représente l’énergie potentielle de pesanteur ? Justifier.
Tracer le graphique de l’énergie mécanique. Que peut-on conclure ?
Déterminer la vitesse de la balle lorsqu’elle atteint le sommet de sa trajectoire.
Quelle est l’altitude de la balle au sommet de sa trajectoire par rapport au sol (pris comme référence pour l’énergie potentielle) ?
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⚡Exercice 6 : Énergie mécanique d’une balle de tennis
Le graphique ci-contre représente le diagramme d’énergie potentielle de pesanteur d’une balle de tennis de masse \( m = 57 \, g \), lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur \( z_0 \) au-dessus du sol.
Donnée : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \)
À quel instant la balle touche-t-elle le sol pour la première fois ? Justifier que le sol est pris comme référence pour l’énergie potentielle.
En utilisant le graphique, déterminer la valeur de \( z_0 \).
À quel instant, après le premier rebond, la balle atteint-elle l’altitude maximale ? Déterminer cette altitude.
Calculer l’énergie mécanique initiale \( E_0 \) de la balle, puis son énergie mécanique \( E_1 \) après le premier rebond. En déduire le pourcentage de diminution de cette énergie.
Sachant qu’à chaque rebond l’énergie mécanique de la balle diminue de 45%, calculer sa valeur après 8 rebonds.
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⚡Exercice 7 : Mouvement sur un plan incliné avec frottement
On lâche, sans vitesse initiale, un corps solide \( S \) de masse \( m = 1,0 \, kg \) sur un plan incliné d’un angle \( \alpha = 30^\circ \) par rapport à l’horizontale. La vitesse de \( S \) atteint la valeur \( v = 4,7 \, m.s^{-1} \) lorsque l’altitude de son centre d’inertie a diminué de \( h = 2 \, m \).
Donnée : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \)
Montrer par le calcul que l’énergie mécanique du corps \( S \) n’est pas conservée.
Calculer l’intensité de la force de frottement (supposée constante) qui s’exerce sur le corps.
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Exercice 8 : Pendule avec sphère et fil
On accroche à un support une sphère métallique homogène et pleine, de masse \( M = 500 \, g \) et de rayon \( r = 5 \, cm \), par l’intermédiaire d’un fil \( OA \) de longueur \( L = 50 \, cm \) et de masse \( m = 50 \, g \) (voir figure ci-contre).
On écarte l’ensemble {fil + sphère} de sa position d’équilibre stable d’un angle \( \theta = 20^\circ \).
Donnée : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \)
Calculer la variation d’énergie potentielle de pesanteur de la sphère lors de cette inclinaison.
Calculer la variation d’énergie potentielle de pesanteur du fil lors de cette inclinaison.
Calculer la variation d’énergie potentielle de pesanteur de l’ensemble {sphère + fil}.
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Exercice 9 : Barre homogène en rotation
Une barre homogène, de masse \( m = 0,400 \, kg \) et de longueur \( L = 1,00 \, m \), peut tourner sans frottement autour d’un axe horizontal \( (\Delta) \) passant par son extrémité.
Le moment d’inertie de la barre par rapport à l’axe \( \Delta \) est : \( J_\Delta = \dfrac{1}{3} m L^2 \)
On prend la position \( \theta = 0 \) comme référence pour l’énergie potentielle de pesanteur.
Donnée : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \)
Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur de la barre en fonction de son angle \( \theta \).
Déterminer la position où l’énergie potentielle est maximale et calculer sa valeur.
On écarte la barre d’un angle \( \theta_0 = 45^\circ \), puis on la lâche sans vitesse initiale.
a) Dans quelle position la vitesse angulaire est-elle maximale ? Justifier.
b) Calculer sa valeur.
Montrer que la vitesse angulaire s’annule en deux positions. Lesquelles ? Décrire le mouvement de la barre.
On écarte la barre du même angle \( \theta_0 = 45^\circ \), mais on lui communique une vitesse angulaire initiale \( \omega_0 = 15 \, rad.s^{-1} \).
a) Montrer que l’énergie cinétique ne s’annule pas. Décrire le mouvement.
b) Calculer les valeurs maximale et minimale de l’énergie cinétique.
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⚡Exercice 10 : Mouvement sur piste avec frottement
Une piste ABC est formée de deux tronçons :
- AB est un arc de cercle de rayon \( r = 1,8 \, m \)
- BC est une partie rectiligne et horizontale de longueur \( L = 8 \, m \)
Un cube de masse \( m = 0,2 \, kg \), assimilable à un point matériel, est lancé du point A vers le bas avec une vitesse initiale \( V_A = 6 \, m.s^{-1} \). Le point A est repéré par rapport à la verticale OB par l’angle \( \alpha = 60^\circ \).
Donnée : \( g = 10 \, m.s^{-2} \)
Sur la partie AB, les frottements sont négligeables. En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, déterminer la vitesse du cube lors de son passage au point B.
Arrivé en B, le cube aborde la partie horizontale BC. Sur ce tronçon existent des forces de frottement d’intensité constante \( f \). Le cube arrive en C avec une vitesse \( V_C = 2,5 \, m.s^{-1} \).
Calculer l’intensité de la force de frottement \( f \) .
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Exercice 11 : Mouvement sur piste avec frottement
Un petit objet quasi ponctuel \( S \), de masse \( m = 200 \, g \), est abandonné sans vitesse initiale à partir d’un point \( A \) d’une piste ayant la forme indiquée sur la figure.
Tout au long du mouvement, le mobile est soumis à une force de frottement d’intensité constante \( f = 0,3 \, N \) et de direction toujours parallèle à la piste.
On donne : \( AB = BC = 1,2 \, m \) et \( \alpha = 30^\circ \).
Donnée : \( g = 10 \, m.s^{-2} \)
Calculer les intensités des vitesses acquises par le mobile quand il passe par les points B et C (en utilisant le théorème de l’énergie cinétique).
Déterminer la distance \( CD \), \( D \) étant le point d’arrêt du mobile sur la piste avant son retour en sens inverse.
Le mobile finit par s’arrêter définitivement entre \( B \) et \( C \) en un point \( G \).
Déterminer la distance \( CG \) parcourue par le mobile sur la partie \( BC \) après son retour.
En déduire la distance totale parcourue par le mobile depuis son point de départ \( A \) jusqu’à son arrêt au point \( G \).
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⚡ Exercice 12 : Mouvement dans une gouttière circulaire
Une portion de gouttière \( BO \) de forme circulaire de rayon \( r = 1 \, m \) se situe dans un plan vertical. Elle se raccorde en \( O \) à une autre gouttière identique \( OB’ \) située dans le même plan (voir figure).
Les centres \( O_1 \) et \( O_2 \) des deux gouttières se trouvent sur la même verticale.
Un solide ponctuel \( S \) de masse \( m = 100 \, g \) est lâché sans vitesse du point \( A \) situé à une hauteur \( h = 0,2 \, m \) par rapport au plan horizontal passant par \( O \). Les frottements sont supposés négligeables.
Donnée : \( g = 10 \, m.s^{-2} \)
En choisissant le point \( O \) comme origine des altitudes et comme position de référence, calculer l’énergie mécanique du solide.
Exprimer puis calculer la vitesse \( V_0 \) du solide au passage en \( O \).
Établir l’expression de la vitesse \( V \) du solide en un point \( M \) quelconque du trajet \( OD \) en fonction de \( h \), \( r \), \( g \) et \( \theta \).
Sur le trajet \( OD \), l’intensité de la réaction de la gouttière sur \( S \) est :
\( R = m g \left( \cos \theta – \dfrac{v^2}{r \cdot g} \right) \).
Au point \( D \), le solide \( S \) perd le contact avec la gouttière. Déterminer la valeur numérique de \( \theta_D \) et celle de \( V_D \).
Avec quelle vitesse le solide touche-t-il le sol en \( C \) ?
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Exercice 13 : Mouvement avec une poulie
Un fil enroulé autour d’une poulie de rayon \( r = 10 \, cm \) et de moment d’inertie \( J_\Delta = 4,1 \times 10^{-2} \, kg.m^2 \) par rapport à un axe horizontal fixe passant par son centre, porte à son extrémité un corps solide \( S \) de masse \( m = 500 \, g \).
Un moteur fait tourner la poulie, et le corps \( S \) est lancé sans vitesse initiale du point \( O \) en se déplaçant vers le haut le long du plan incliné \( \pi \) faisant un angle \( \alpha = 30^\circ \) avec l’horizontale.
Tous les frottements sont négligés et le fil est inextensible et ne glisse pas sur la poulie.
Le graphe ci-contre représente les variations de \( v^2 \) (carré de la vitesse du centre d’inertie de \( S \)) en fonction de l’abscisse \( x = OS \).
On prend le plan horizontal passant par \( O \) comme référence pour l’énergie potentielle de pesanteur.
Données : \( g = 9,8 \, m.s^{-2} \) ; \( OA = d = 1 \, m \)
Exprimer l’énergie cinétique du corps \( S \) en fonction de l’abscisse \( x \).
Exprimer la variation d’énergie cinétique de la poulie en fonction de \( x \) et de \( r \). Calculer sa valeur au passage du corps par le point \( A \) (\( OA = d = 1 \, m \)).
Déterminer la valeur de l’énergie mécanique du corps \( S \) au point \( B \).
En déduire la distance \( AB \)** parcourue par le corps sur le plan incliné.
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⚡ Exercice 14 : Mouvement sur plan incliné avec poulie
On considère le système représenté sur la figure ci-contre, constitué de :
- Une poulie \( (P) \) pouvant tourner autour d’un axe horizontal fixe \( \Delta \), de rayon \( r = 5 \, cm \) et de moment d’inertie \( J_\Delta \).
- Un fil \( (f) \) enroulé autour de la poulie, supposé inextensible et de masse négligeable.
- Un corps \( (S) \) de masse \( m = 0,5 \, kg \) placé sur un plan incliné d’un angle \( \alpha = 30^\circ \) par rapport à l’horizontale et relié à l’extrémité libre du fil.
On lâche le corps \( S \) du point le plus haut du plan incliné (point A) sans vitesse initiale. La partie AB du plan est parfaitement lisse (sans frottement). La partie BC est rugueuse.
Données : \( g = 9,8 \, N.kg^{-1} \) ; \( AB = 62,5 \, cm \) ; \( BC = 100 \, cm \) ; \( V_B = 2,5 \, m.s^{-1} \) ; \( V_A = 0,5 \, m.s^{-1} \)
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique sur le corps \( S \) entre A et B, exprimer le travail \( W(\vec{F}) \) de la force exercée par le fil sur le corps.
Calculer \( W(\vec{F}) \) et en déduire l’intensité de la force \( \vec{F} \).
Donner la relation entre la distance \( AB \) et l’angle de rotation \( \Delta \theta \) de la poulie.
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique sur la poulie, montrer que :
\[ J_\Delta = \dfrac{2F \cdot AB \cdot r^2}{V_B^2 – V_A^2} \]
On prend le plan horizontal passant par A comme référence pour l’énergie potentielle de pesanteur (\( E_{pp} = 0 \) en A). Le corps S s’arrête en C (\( V_C = 0 \)).
Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur du corps S en fonction de l’altitude \( z \).
Montrer que la variation d’énergie potentielle entre B et C ne dépend pas du choix de la référence.
Calculer la variation d’énergie mécanique du corps S entre B et C. En déduire l’énergie perdue sous forme de chaleur.
En déduire l’intensité de la force de frottement (supposée constante) sur le trajet BC.
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Le travail et l’énergie potentielle de pesanteur – Énergie mécanique exercices corrigés