Les équations – cours
LES ÉQUATIONS
Cours complet avec exemples et exercices corrigés
Objectifs d’apprentissage
- Résoudre des équations du premier degré à une inconnue
- Résoudre des équations simples se ramenant au premier degré
- Mathématiser et résoudre des situations en utilisant des équations
I. Équations du premier degré à une inconnue
Définition
Une équation est dite du premier degré à une inconnue \( x \) lorsqu’elle peut s’écrire sous la forme :
où \( a, b, c, d \) sont des nombres réels.
Propriété
Une équation du premier degré à une inconnue peut avoir :
- Une seule solution (cas le plus fréquent)
- Aucune solution (équation impossible)
- Une infinité de solutions (équation indéterminée)
Définition
Résoudre une équation à une inconnue, c’est trouver les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’égalité est vraie. Ce sont les solutions de l’équation.
Exemple 1 : Équations simples
| Équation | Résolution | Solution |
|---|---|---|
| \( x + 4 = 1 \) | \( x = 1 – 4 \) | \( x = -3 \) |
| \( x – 2 = -7 \) | \( x = -7 + 2 \) | \( x = -5 \) |
| \( -5x = -2 \) | \( x = \frac{-2}{-5} \) | \( x = \frac{2}{5} \) |
| \( \frac{x}{3} = -4 \) | \( x = -4 \times 3 \) | \( x = -12 \) |
Méthode générale :
- Isoler les termes en \( x \) d’un côté
- Isoler les constantes de l’autre côté
- Diviser par le coefficient de \( x \)
Exemple 2 : Équations avec parenthèses
Résoudre : \( 2x – (x – 4) = 5 \)
Étape 1 : Supprimer les parenthèses
\( 2x – x + 4 = 5 \)
Étape 2 : Réduire
\( x + 4 = 5 \)
Étape 3 : Isoler \( x \)
\( x = 5 – 4 \)
Étape 4 : Solution
\( x = 1 \)
Équations avec fractions
Exemple 3 : Équations avec fractions
Résoudre : \( \frac{2x + 1}{5} = \frac{x + 2}{5} \)
Étape 1 : Même dénominateur, on peut égaler les numérateurs
\( 2x + 1 = x + 2 \)
Étape 2 : Isoler \( x \)
\( 2x – x = 2 – 1 \)
Étape 3 : Solution
\( x = 1 \)
II. Équations « produit nul »
Propriété fondamentale
Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul.
Propriété des équations produit nul
Les solutions de l’équation \( (ax + b)(cx + d) = 0 \) sont les nombres \( x \) tels que :
Exemple 4 : Équation produit nul
Résoudre : \( (x + 3)(x – 7) = 0 \)
D’après la propriété du produit nul :
\( x + 3 = 0 \) ou \( x – 7 = 0 \)
\( x = -3 \) ou \( x = 7 \)
Vérification :
Pour \( x = -3 \) : \( (-3 + 3)(-3 – 7) = 0 \times (-10) = 0 \) ✓
Pour \( x = 7 \) : \( (7 + 3)(7 – 7) = 10 \times 0 = 0 \) ✓
Exemple 5 : Équations du type \( x^2 = a \)
Résoudre : \( x^2 = 16 \)
\( x^2 = 16 \)
\( x^2 – 16 = 0 \)
\( (x – 4)(x + 4) = 0 \) (identité remarquable)
\( x – 4 = 0 \) ou \( x + 4 = 0 \)
\( x = 4 \) ou \( x = -4 \)
III. Mettre en équation un problème
Méthodologie en 5 étapes
- Choix de l’inconnue : Définir clairement ce que représente \( x \)
- Mise en équation : Traduire le problème en langage mathématique
- Résolution de l’équation : Appliquer les méthodes de résolution
- Vérification : Vérifier que la solution répond au problème
- Interprétation du résultat : Donner une réponse claire au problème
Exemple 6 : Problème avec nombres consécutifs
Problème : Déterminer deux nombres consécutifs entiers naturels dont la somme est 2021.
Étape 1 : Choix de l’inconnue
Soit \( x \) le premier nombre entier naturel
Alors \( x + 1 \) est le deuxième nombre
Étape 2 : Mise en équation
\( x + (x + 1) = 2021 \)
Étape 3 : Résolution
\( x + x + 1 = 2021 \)
\( 2x + 1 = 2021 \)
\( 2x = 2020 \)
\( x = 1010 \)
Étape 4 : Vérification
\( 1010 + 1011 = 2021 \) ✓
Étape 5 : Interprétation
Les nombres sont 1010 et 1011
Exemple 7 : Problème d’âge
Problème : Safae a 11 ans et son frère a 26 ans. Dans combien d’années l’âge du frère sera-t-il le double de celui de Safae ?
Étape 1 : Choix de l’inconnue
Soit \( x \) le nombre d’années
Étape 2 : Mise en équation
Dans \( x \) années :
Âge de Safae : \( 11 + x \)
Âge du frère : \( 26 + x \)
\( 26 + x = 2(11 + x) \)
Étape 3 : Résolution
\( 26 + x = 22 + 2x \)
\( 26 – 22 = 2x – x \)
\( 4 = x \)
Étape 4 : Vérification
Dans 4 ans : Safae = 15 ans, Frère = 30 ans
\( 30 = 2 \times 15 \) ✓
Exercices d’application
Exercice 1 : Équations simples
\( x + 3 = 5 \)
\( x – 7 = 3 \)
\( 3x = 4 \)
\( 7x = 0 \)
Exercice 2 : Équations avec parenthèses
\( 2x + 3 = 0 \)
\( 5x – 1 = 2 \)
\( 4 – 3x = 0 \)
\( 2x – (x – 4) = 5 \)
Exercice 3 : Équations avec fractions
\( \frac{2x + 1}{5} = \frac{x + 2}{5} \)
\( \frac{-2x + 3}{8} = \frac{x – 5}{4} \)
\( 3x – 1 = \frac{x + 7}{2} \)
\( \frac{x – 2}{3} = \frac{x + 1}{5} \)
Exercice 4 : Équations produit nul
\( (x – 5)(x + 2) = 0 \)
\( (2x + 3)(x – 4) = 0 \)
\( x(5x – 4) = 0 \)
\( x^2 = 16 \)
Problème 1
Déterminer trois nombres consécutifs entiers naturels dont la somme est 309.
Problème 2
Deux enfants ont ensemble 200 DH. L’un des deux a 20 DH de plus que l’autre. Combien a chaque enfant ?
Problème 3
Safae a 11 ans et son frère a 26 ans. Dans combien d’années l’âge du frère sera-t-il le double de celui de Safae ?
Corrigés (indications)
Exercice 1 : \( x + 3 = 5 \) ⇒ \( x = 2 \)
Exercice 2 : \( 2x + 3 = 0 \) ⇒ \( x = -\frac{3}{2} \)
Exercice 4 : \( (x – 5)(x + 2) = 0 \) ⇒ \( x = 5 \) ou \( x = -2 \)
Problème 1 : Soit \( x, x+1, x+2 \) ⇒ \( 3x + 3 = 309 \) ⇒ \( x = 102 \)
Problème 2 : Soit \( x \) et \( x+20 \) ⇒ \( x + (x+20) = 200 \) ⇒ \( x = 90 \)
Synthèse et conseils
- Pour résoudre une équation simple : isoler progressivement \( x \)
- Pour les parenthèses : les supprimer en faisant attention aux signes
- Pour les fractions : mettre au même dénominateur ou utiliser le produit en croix
- Pour les équations produit nul : appliquer la propriété \( A \times B = 0 \) ⇒ \( A = 0 \) ou \( B = 0 \)
- Pour les problèmes : bien suivre la méthodologie en 5 étapes
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