Les polynômes – évaluations corrigés

Modèle $N°1$

Exercice 1：$(6pts)$  (Les questions sont indépendantes)

  $1)$ Montrer que $5$ est racine du polynôme $P(x)=x^{2}-6 x+5$ puis factoriser $P(x)$

$2)$ Soit $P$ polynôme tels que: $P(x)=2 \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}-3$

Déterminer $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1) Q(x)+P(1)$

$3)$ Soit $P$ polynôme tels que : $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}+4$

Déterminer $Q(x)$ tel que $P(x)=(x+1) Q(x)+P(-1)$

Exercice 2：$(6pts)$

Soit $P(x)$ le polynôme défini par: $P(x)=2 x^{3}+5 x^{2}-x-6$.

$1)$ Montrer que -2 est une racine du polynôme $P(x)$.

$2)$ Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que: $P(x)=(x+2) \cdot Q(x)$

$3)$ Montrer que le polynôme $Q(x)$ est divisible par $x-1$, puis factoriser le polynôme $Q(x)$.

$4)$ Déduire une factorisation du polynôme $P(x)$ en produit de $3$ polynômes de degré égal

Exercice 3：$(8pts)$

On considère le polynôme $P(x)=2 x^{4}-9 x^{3}+14 x^{2}-9 x+2$

$1)$ Vérifier que ${ }_{0}{ }^{\text {n’est pas une racine de }} P(x)$.

$2)$- $a)$ Montrer que 2 est une racine de $P(x)$.

$b)$ En effectuant la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$ déterminer un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-2) Q(x)$

$3)$- $a)$ Montrer que si $a$ une racine de $P(x)$ alors ${ }_{a}^{-}$est aussi une racine de $P(x)$.

$b)$ En déduire que $\boldsymbol{Q}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathbf{0}$.

$c)$ Déterminer les réels $a, b$ et $c$ tel que : $Q(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(a x^{2}+b x+c\right)$

$4)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$

$5)$ Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(|x|)=0$