L’ordre dans IR

Résumé de cours
Évaluation

📋 Exercice : Questions de cours 

1

Comment compare-t-on deux nombres réels \(a\) et \(b\) ? Donner la règle et un exemple.

 

2

Énoncer les propriétés fondamentales de l’ordre dans IR (conservation et changement d’ordre).

 

3

Quelle est la propriété pour les inverses de deux nombres positifs ? Donner un exemple.

 

4

Définir ce qu’est un encadrement d’un nombre réel. Qu’appelle-t-on amplitude ?

 
5

Donner les quatre types d’intervalles bornés avec leurs notations et inégalités.

 

6

Comment calcule-t-on le centre, le rayon et l’amplitude d’un intervalle \([a, b]\) ?

 

7

Définir l’intersection (\(I \cap J\)) et la réunion (\(I \cup J\)) de deux intervalles.

 

8

Définir la valeur absolue d’un nombre réel selon son signe.

 

9

Énoncer le théorème : \(|x| \leq r \iff\) … Donner un exemple.

 

10

Définir valeur approchée, approximation par défaut et par excès.

 

1) Comparaison de deux nombres réels

Comparer deux nombres réels \(a\) et \(b\) revient à étudier le signe de leur différence \((a – b)\).

\(a \leq b \iff a – b \leq 0\)   et   \(a \geq b \iff a – b \geq 0\)
Exemple : \((3\sqrt{2})^2 = 18\) et \(4^2 = 16\). \(18 > 16\), donc \(3\sqrt{2} > 4\).

2) Propriétés fondamentales de l’ordre
  • Si \(a \leq b\) alors \(a + c \leq b + c\)
  • Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) alors \(a + c \leq b + d\)
  • Si \(a \leq b\) et \(c > 0\) alors \(a \times c \leq b \times c\) (conservation)
  • Si \(a \leq b\) et \(c < 0\) alors \(a \times c \geq b \times c\) (changement d’ordre)

3) Inverses de deux nombres positifs

Propriété : Si \(0 < a \leq b\) alors \(\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}\).

Exemple : \(2 \leq 5 \Rightarrow \frac{1}{2} \geq \frac{1}{5}\).

4) Encadrement et amplitude

Encadrer \(x\) : trouver \(a, b\) tels que \(a \leq x \leq b\).
Amplitude : \(b – a\).

5) Intervalles bornés
EncadrementIntervalle
\(a \leq x \leq b\)\([a, b]\)
\(a < x \leq b\)\(]a, b]\)
\(a \leq x < b\)\([a, b[\)
\(a < x < b\)\(]a, b[\)

6) Centre, rayon et amplitude
• Centre : \(c = \dfrac{a + b}{2}\)
• Rayon : \(r = \dfrac{b – a}{2}\)
• Amplitude : \(b – a\)
Exemple : \(I = [-5, 3]\) → Amplitude = 8, Centre = -1, Rayon = 4.

7) Intersection et réunion d’intervalles
  • \(I \cap J\) : éléments dans \(I\) et \(J\)
  • \(I \cup J\) : éléments dans \(I\) ou \(J\)
Exemple : \(I = [-2, 5[\), \(J = [-3, 3[\)
\(I \cap J = [-2, 3[\) et \(I \cup J = [-3, 5[\)

8) Valeur absolue
Si \(x \geq 0\), alors \(|x| = x\)   et   Si \(x < 0\), alors \(|x| = -x\)

9) Théorème sur la valeur absolue
1. \(|x| \leq r \iff -r \leq x \leq r\)
2. \(|x| < r \iff -r < x < r\)
3. \(|x| \geq r \iff x \geq r\) ou \(x \leq -r\)
4. \(|x| > r \iff x > r\) ou \(x < -r\)
Exemple : \(|x| \leq 3 \iff -3 \leq x \leq 3 \iff x \in [-3, 3]\)

10) Valeur approchée, défaut et excès

Valeur approchée : \(|x – a| \leq r\).
Par défaut : \(a \leq x\)
Par excès : \(x \leq b\)

Exemple : \(2,6457 \leq \sqrt{7} \leq 2,6458\)
2,6457 est une approximation par défaut ; 2,6458 par excès à \(10^{-4}\) près.

📊 Exercice 1 : Comparaison de nombres réels

Consigne : Comparer les nombres suivants.

Questions

1

Comparer \(a\) et \(b\) :

\(a = 2 + \sqrt{3}\)   et   \(b = 2\sqrt{3}\)

2

Comparer \(2a\) et \(a^2+1\) avec \(a \in \mathbb{R}\).

\(2a\)   et   \(a^2 + 1\)   avec   \(a \in \mathbb{R}\)

1) Comparer \(a = 2 + \sqrt{3}\) et \(b = 2\sqrt{3}\)

Pour comparer \(a\) et \(b\), on étudie le signe de \(a – b\).

\(a – b = (2 + \sqrt{3}) – 2\sqrt{3} = 2 – \sqrt{3}\)

On sait que \(\sqrt{3} \approx 1,732\). Donc :

\(2 – \sqrt{3} > 0\) car \(2 > \sqrt{3}\)

Donc \(a – b > 0\), ce qui signifie :

\(\boxed{a > b}\)
Vérification : \(2 + 1,732 = 3,732\) et \(2 \times 1,732 = 3,464\).
Donc \(3,732 > 3,464\) ✅

2) Comparer \(2a\) et \(a^2+1\) avec \(a \in \mathbb{R}\)

Pour comparer \(2a\) et \(a^2 + 1\), on étudie le signe de leur différence.

\((a^2 + 1) – 2a = a^2 – 2a + 1\)

On reconnaît une identité remarquable :

\(a^2 – 2a + 1 = (a – 1)^2\)

On sait qu’un carré est toujours positif ou nul :

\((a – 1)^2 \geq 0\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\)

Donc \(a^2 + 1 – 2a \geq 0\), ce qui signifie :

\(\boxed{a^2 + 1 \geq 2a}\)   pour tout \(a \in \mathbb{R}\)
Cas d’égalité : \((a – 1)^2 = 0 \iff a = 1\)
Conclusion :
• Si \(a = 1\), alors \(2a = a^2 + 1\)
• Si \(a \neq 1\), alors \(2a < a^2 + 1\)

📊 Exercice 2 : Propriétés de l’ordre dans IR

Consigne : Utiliser les propriétés de l’ordre pour comparer les expressions suivantes.

I) Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que : \(a \leq b\)

1

Comparer \(5a\) et \(5b\).

 

2

Comparer \(-13a\) et \(-13b\).

 

II) Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs tels que : \(a \leq b\)

1

Comparer \(a^2\) et \(b^2\).

 

2

Comparer \(\sqrt{a}\) et \(\sqrt{b}\).

 

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📊 Exercice 3 : Comparaison avec un paramètre

Soit \(n\) un entier naturel non nul. Comparer \(a\) et \(b\) dans les cas suivants.

Questions

1

\(a = \dfrac{1}{n}\)   et   \(b = \dfrac{2}{n+1}\)

 

2

\(a = \dfrac{n}{n+1}\)   et   \(b = \dfrac{n+1}{n+2}\)

 

3

\(a = \dfrac{n}{\sqrt{n+1}}\)   et   \(b = \sqrt{n+1}\)

 

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📊 Exercice 4 : Inégalités avec des réels positifs

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.

Questions

1

Montrer que \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2\).

 

2

Développer \((a+b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)\).

 

3

En déduire que \((a+b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \geq 4\).

 

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📊 Exercice 5 : Inégalités et encadrements

Consigne : Démontrer les inégalités suivantes.

I) Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a \geq 1\) et \(b \geq 1\)

•

Montrer que \(\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} \leq \sqrt{ab}\).

 

II) Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs tels que \(x + y = 1\)

1

Montrer que \(xy \leq \dfrac{1}{4}\).

 

2

En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\(\left(1 + \dfrac{1}{x^n}\right)\left(1 + \dfrac{1}{y^n}\right) \geq \left(1 + 2^n\right)^2\)

 

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📊 Exercice 6 : 

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(0 < x < y\).

Questions

1

Montrer que \(x^2 < xy < y^2\).

 

2

Montrer que si \(xy = 15\) alors \(x < \sqrt{15} < y\).

 

3

Montrer que \(\dfrac{931}{241} < \sqrt{15} < \dfrac{3615}{931}\).

 

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📊 Exercice 7 : Encadrements avec des intervalles

\(x \in [1;3]\) et \(y \in [2;4]\).

Questions

1

Trouver un encadrement de :

\(x^2\) ; \(y^2\) ; \(2x\) ; \(3y\) ; \(-x\) ; \(-y\) ; \(\dfrac{1}{x}\) ; \(\dfrac{1}{y}\) ; \(\dfrac{x}{y}\)

 

2

Trouver un encadrement de :

\(A = x^2 + y^2 + 2x – 3y\)   et   \(B = \dfrac{2x – 1}{x + 1}\)

 

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📊 Exercice 8 : Encadrements avec des intervalles (négatifs)

\(x \in [-3;1]\) et \(y \in [-6;-2]\).

Questions

1

Trouver un encadrement de \(x + y\).

 

2

Trouver un encadrement de \(x – y\).

 

3

Trouver un encadrement de \(x^2\).

 

4

Trouver un encadrement de \(y^2\).

 

5

Trouver un encadrement de \(x \times y\).

 

6

Trouver un encadrement de \(\dfrac{x}{y}\).

 

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📊 Exercice 9 : Représentation par un intervalle

Consigne : Représenter chaque inégalité ou encadrement par l’intervalle qui convient.

Questions

1

\(x \geq -3\)

 

2

\(x < 5\)

 

3

\(1 \leq 2x \leq 4\)

 

4

\(0 < 6x – 2 \leq 10\)

 

5

\(-8 \leq 2 – 2x \leq 6\)

 

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📊 Exercice 10 : Intersection et réunion d’intervalles

Consigne : Simplifier si c’est possible.

Questions

1

\([2;5] \cap [4;6]\)

 

2

\([2;5] \cup [4;6]\)

 

3

\(]-\infty;2] \cap [-1;+\infty[\)

 

4

\(]-\infty;2] \cup [-1;+\infty[\)

 

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📊 Exercice 11 : Intersection et réunion d’intervalles

Consigne : Calculer \(I \cap J\) et \(I \cup J\) dans les cas suivants.

Questions

•

\(I = [-1; +\infty[\)   et   \(J = ]-3; 7]\)

 

•

\(I = [4; 10]\)   et   \(J = ]-\infty; 5[\)

 

•

\(I = [0; 10[\)   et   \(J = [-5; -1]\)

 

•

\(I = \left[-\dfrac{2}{3}; 2\right]\)   et   \(J = \left]-1; \dfrac{3}{2}\right[\)

 

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📊 Exercice 12 : Milieu, amplitude et rayon d’un intervalle

On considère l’intervalle \(I = [-3; 4]\).

Consigne : Trouver le milieu, l’amplitude et le rayon de l’intervalle \(I\).

Questions

1

Calculer le milieu de l’intervalle \(I\).

 

2

Calculer l’amplitude de l’intervalle \(I\).

 

3

Calculer le rayon de l’intervalle \(I\).

 

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📊Exercice 13 : Valeur absolue

Consigne : Calculer les expressions suivantes (éliminer le signe de valeur absolue).

Questions

1) \(|-3|\)
2) \(|3|\)
3) \(\left|-\dfrac{3}{5}\right|\)

4) \(|\sqrt{5}-2|\)
5) \(|1-\sqrt{3}|\)
6) \(|\pi-4|\)

7) \(|\sqrt{2}-\sqrt{7}|\)
8) \(|3-2\sqrt{3}|\)

9) \(A = |4-2\sqrt{3}| – |5-3\sqrt{3}| + |9-5\sqrt{3}|\)

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📊 Exercice 14 : Équations avec valeur absolue

Consigne : Résoudre les équations suivantes.

Questions

1

\(|x-1| = 5\)

 

2

\(|2x+1| = |x-3|\)

 

3

\(|x+2| = -1\)

 

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📊 Exercice 15 : Simplification avec valeur absolue

Questions

1

Calculer \((3\sqrt{2}-5)^2\).

 

2

Comparer \(3\sqrt{2}\) et \(5\).

 

3

Simplifier \(\sqrt{43-30\sqrt{2}}\).

 

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📊 Exercice 16 : Inéquations avec valeur absolue

Consigne : Résoudre les inéquations suivantes.

Questions

1

\(|x-1| \leq 2\)

 

2

\(|x+2| \geq 3\)

 

3

\(|2x+1| < 6\)

 

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📊 Exercice 17 : Valeur absolue et encadrements

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(x \geq \dfrac{1}{2}\), \(y \leq 1\) et \(x – y = 3\).

Questions

1

Calculer : \(E = \sqrt{(2x-1)^2} + \sqrt{(2y-2)^2}\)

 

2

Montrer que : \(\dfrac{1}{2} \leq x \leq 4\) et \(-\dfrac{5}{2} \leq y \leq 1\).

 

3

Calculer : \(F = |x+y-5| + |x+y+2|\)

 

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📊 Exercice 18 : Encadrement et valeur absolue

Soit \(x\) un nombre réel.

Questions

1

Vérifier que : \(x^2 – 2x = (x-1)^2 – 1\).

 

2

Soit \(x \in [1; 3]\). Montrer que : \(-1 \leq x^2 – 2x \leq 3\).

 

3a

Sachant que \(x \in [1; 3]\), montrer que :
\(\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{3}{x^2 – 2x + 3} \leq \dfrac{3}{2}\).

 
3b

En déduire que :
\(\left|\dfrac{3}{x^2 – 2x + 3} – 1\right| \leq \dfrac{1}{2}\).

 

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📊 Exercice 19 : Valeur approchée et encadrement

Sachant que : \(2,645 \leq \sqrt{7} \leq 2,646\).

Questions

a

Que représente \(2,645\) pour \(\sqrt{7}\) ?

 

b

Que représente \(2,646\) pour \(\sqrt{7}\) ?

 

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📊 Exercice 20 : Valeur approchée et valeur absolue

Sachant que : \(1,38 < \sqrt{2} < 1,42\).

Consigne : Montrer que \(|\sqrt{2} – 1,40| < 0,02\). Que peut-on en déduire ?

Questions

1

Montrer que \(|\sqrt{2} – 1,40| < 0,02\).

 

2

Que peut-on déduire pour \(1,40\) et \(1,42\) ?

 

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📊 Exercice 21 : Encadrement et valeur approchée

Soit \(a \geq 1\). On pose : \(A = \sqrt{1 + \dfrac{1}{a}}\).

Questions

1

Montrer que : \(a(A+1)(A-1) = 1\).

 

2a

Montrer que : \(2 \leq A+1 \leq 3\).

 

2b

En déduire que : \(1 + \dfrac{1}{3a} \leq A \leq 1 + \dfrac{1}{2a}\).

 

3

Montrer que \(1,1\) est une valeur approchée de \(\sqrt{1,2}\) à \(\dfrac{1}{30}\) près.

 

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📊 Exercice 22 : Valeur approchée avec valeur absolue

Soit \(x\) un nombre réel. On pose \(E = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\).

Questions

1

Montrer que : \(E – 1 = \dfrac{-x^2}{\sqrt{1+x^2} + 1 + x^2}\).

 

2

En déduire que : \(|E – 1| \leq \dfrac{1}{2} x^2\).

 

3

Trouver une valeur approchée du nombre \(\dfrac{1}{\sqrt{1,0004}}\) d’amplitude \(2 \times 10^{-4}\).

 

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📊 Exercice 23 : Valeur approchée d’un quotient

Consigne :

Questions

1a

Vérifier que pour tout \(x \in \mathbb{R}-\{1\}\), on a : \(\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + \dfrac{x^2}{1-x}\).

 

1b

En déduire que si \(|x| \leq \dfrac{1}{2}\), alors : \(\left|\dfrac{1}{1-x} – (1+x)\right| \leq 2x^2\).

 

2

Donner une valeur approchée du nombre \(\dfrac{1}{0,99}\) à \(2 \times 10^{-4}\) près.

 

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📊 Exercice 24 : Encadrement et valeur approchée

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que : \(a \in [0;2]\) et \(b \in [0;2]\).

Questions

1

Montrer que : \(\dfrac{3}{16}|a-b| \leq \left|\dfrac{3}{2+a} – \dfrac{3}{2+b}\right| \leq \dfrac{3}{4}|a-b|\).

 

2

Sachant que \(0,866 \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \leq 0,867\) et \(0,707 \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq 0,708\), donner une valeur approchée du réel \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} – \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) par défaut et par excès à \(2 \times 10^{-3}\) près.

 

3

En déduire que : \(\left|\dfrac{3}{2 + \frac{\sqrt{3}}{2}} – \dfrac{3}{2 + \frac{\sqrt{2}}{2}}\right| \leq 1,2 \times 10^{-1}\).

 

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