Ordre et opérations

Définition : Comparer deux nombres réels \(a\) et \(b\) revient à étudier le signe de leur différence \((a – b)\).

\(a \leq b \iff a – b \leq 0\)   et   \(a \geq b \iff a – b \geq 0\)

📌 Exemple : Comparer \(3\sqrt{2}\) et \(4\). On calcule : \((3\sqrt{2})^2 = 18\) et \(4^2 = 16\). Puisque \(18 > 16\), on a \(3\sqrt{2} > 4\).

Propriétés :

1. Si \(a \leq b\) alors \(a + c \leq b + c\) 2. Si \(a \leq b\) et \(c \leq d\) alors \(a + c \leq b + d\) 3. Si \(a \leq b\) et \(c > 0\) alors \(a \times c \leq b \times c\) 4. Si \(a \leq b\) et \(c < 0\) alors \(a \times c \geq b \times c\)

Propriétés :

1. Si \(0 < a \leq b\) et \(0 < c \leq d\) alors \(a \times c \leq b \times d\) 2. Si \(0 \leq a \leq b\) alors \(a^2 \leq b^2\) et \(\sqrt{a} \leq \sqrt{b}\) 3. Si \(0 < a \leq b\) alors \(\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}\) (l’inverse change l’ordre)

📌 Exemple : \(2 \leq 5 \Rightarrow \frac{1}{2} \geq \frac{1}{5}\).

Propriétés :

1. Si \(a \leq b < 0\) alors \(a^2 \geq b^2\) 2. Si \(a \leq b < 0\) alors \(\dfrac{1}{a} \geq \dfrac{1}{b}\)

📌 Exemple : \(-5 \leq -2 \Rightarrow (-5)^2 \geq (-2)^2\) car \(25 \geq 4\).

Définition : Encadrer un nombre réel \(x\) consiste à trouver deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(a \leq x \leq b\) (ou avec des inégalités strictes). \(b – a\) est appelé l’amplitude de l’encadrement.

Propriétés des encadrements :

1. Si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) alors \(a + c \leq x + y \leq b + d\) 2. Si \(a \leq x \leq b\) alors \(-b \leq -x \leq -a\) 3. Si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) alors \(a – d \leq x – y \leq b – c\)

Propriétés pour les réels positifs :

1. Si \(a \leq x \leq b\) et \(c \leq y \leq d\) (positifs) alors \(a \times c \leq x \times y \leq b \times d\) 2. Si \(a \leq x \leq b\) avec \(a > 0\) alors \(\dfrac{1}{b} \leq \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{a}\)

📌 Exemple : Soit \(2 \leq x \leq 5\) et \(3 \leq y \leq 7\). \(2 + 3 \leq x + y \leq 5 + 7 \Rightarrow 5 \leq x + y \leq 12\) \(2 \times 3 \leq x \times y \leq 5 \times 7 \Rightarrow 6 \leq xy \leq 35\)

Les intervalles

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\) :

Définitions : • Centre de l’intervalle : \(c = \dfrac{a + b}{2}\) • Rayon de l’intervalle : \(r = \dfrac{b – a}{2}\) • Amplitude : \(b – a\)

📌 Exemple : Soit \(I = [-5, 3]\). Amplitude : \(3 – (-5) = 8\) Centre : \(\dfrac{3 + (-5)}{2} = -1\) Rayon : \(\dfrac{3 – (-5)}{2} = 4\)

Soit \(a\) un nombre réel :

Notations : \(\mathbb{R}^+ = [0, +\infty[\)    \(\mathbb{R}^+_* = ]0, +\infty[\) \(\mathbb{R}^- = ]-\infty, 0]\)    \(\mathbb{R}^-_* = ]-\infty, 0[\) \(\mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[\)

Définition : Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles. • \(I \cap J\) : ensemble des éléments appartenant à \(I\) et à \(J\). • \(I \cup J\) : ensemble des éléments appartenant à \(I\) ou à \(J\).

📌 Exemples : Exemple 1 : \(I = [-2, 5[\) et \(J = [-3, 3[\) • \(I \cap J = [-2, 3[\) • \(I \cup J = [-3, 5[\) Exemple 2 : \(I = [1, 4[\) et \(J = [-2, 0[\) • \(I \cap J = \emptyset\) • \(I \cup J = [-2, 0[ \cup [1, 4[\)

Valeur absolue

Soit \(x\) un nombre réel et \(M\) le point d’abscisse \(x\) sur un axe gradué. La valeur absolue de \(x\) est la distance \(OM\), notée \(|x|\).

Si \(x \geq 0\), alors \(|x| = x\)   et   Si \(x < 0\), alors \(|x| = -x\)

📌 Exemples : \(|-3| = 3\) \(|2 – \sqrt{3}| = 2 – \sqrt{3}\) (car \(2 > \sqrt{3}\)) \(|3 – \sqrt{11}| = \sqrt{11} – 3\) (car \(3 < \sqrt{11}\))

Soient \(x\) et \(y\) deux nombres réels :

1. \(|x| \geq 0\) 2. \(|-x| = |x|\) 3. \(\sqrt{x^2} = |x|\) 4. \(|x|^2 = |x^2| = x^2\) 5. \(|x \times y| = |x| \times |y|\) 6. \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\) (pour \(y \neq 0\))

Soient \(x\) et \(r\) deux réels avec \(r \geq 0\) :

1. \(|x| \leq r \iff -r \leq x \leq r\) 2. \(|x| < r \iff -r < x < r\) 3. \(|x| \geq r \iff x \geq r\) ou \(x \leq -r\) 4. \(|x| > r \iff x > r\) ou \(x < -r\)

📌 Exemples : \(|x| \leq 3 \iff -3 \leq x \leq 3 \iff x \in [-3, 3]\) \(|x – 1| \leq 2 \iff -2 \leq x – 1 \leq 2 \iff -1 \leq x \leq 3 \iff x \in [-1, 3]\) \(|x + 2| > 1 \iff x + 2 > 1\) ou \(x + 2 < -1 \iff x > -1\) ou \(x < -3\)

Approximation

Définition : Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(r \in \mathbb{R}^+_*\). Tout réel \(a\) vérifiant \(|x – a| \leq r\) est appelé valeur approchée de \(x\) à \(r\) près.

📌 Exemple : \(|\sqrt{3} – 1,73| \leq 0,003\). Donc \(1,73\) est une valeur approchée de \(\sqrt{3}\) à \(3 \times 10^{-3}\) près.

Définition : Si \(a \leq x \leq b\) : • \(a\) est une valeur approchée de \(x\) à \((b – a)\) près par défaut • \(b\) est une valeur approchée de \(x\) à \((b – a)\) près par excès

📌 Exemple : \(2,6457 \leq \sqrt{7} \leq 2,6458\) • \(2,6457\) est une valeur approchée de \(\sqrt{7}\) à \(10^{-4}\) près par défaut • \(2,6458\) est une valeur approchée de \(\sqrt{7}\) à \(10^{-4}\) près par excès

Définition : Soit \(x\) tel que \(p \times 10^{-n} \leq x \leq (p + 1) \times 10^{-n}\) : • \(p \times 10^{-n}\) est l’approximation de \(x\) à \(10^{-n}\) près par défaut • \((p + 1) \times 10^{-n}\) est l’approximation de \(x\) à \(10^{-n}\) près par excès

📌 Exemple : \(3,14 \leq \pi \leq 3,15\) • \(314 \times 10^{-2}\) est une approximation de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par défaut • \(315 \times 10^{-2}\) est une approximation de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près par excès