Ordre et opérations – Cours

Ordre et opérations – Cours

Exercices corrigés
Évaluation corrigé

ORDRE ET OPÉRATIONS

I

Comparaison de deux nombres réels

Propriété fondamentale

Propriété : Soient a et b deux nombres réels :

  • Si \( a – b < 0 \) alors \( a < b \)
  • Si \( a – b > 0 \) alors \( a > b \)
  • Si \( a – b = 0 \) alors \( a = b \)

Exemple :

Comparer \( \frac{3}{5} \) et \( \frac{6}{7} \)

Calcul : \( \frac{3}{5} – \frac{6}{7} = \frac{21}{35} – \frac{30}{35} = -\frac{9}{35} \)

Puisque \( \frac{3}{5} – \frac{6}{7} < 0 \), on a \( \frac{3}{5} < \frac{6}{7} \)

II

Ordre et opérations

1. Ordre et addition / soustraction

Propriété : Soient a, b et c trois nombres réels :

  • Si \( a < b \) alors \( a + c < b + c \)
  • Si \( a < b \) alors \( a – c < b – c \)

Exemple 1 :

Comparer \( 3 + \sqrt{7} \) et \( 8 + \sqrt{7} \)

Raisonnement : Puisque \( 3 < 8 \), on a \( 3 + \sqrt{7} < 8 + \sqrt{7} \)

Exemple 2 :

Si \( x > 3 \), comparer \( x – 5 \) et \( -2 \)

Raisonnement : \( x > 3 \) ⇒ \( x – 5 > 3 – 5 \) ⇒ \( x – 5 > -2 \)

 

Propriété : Soient a, b et c trois nombres réels :

  • Si \( a < b \)  et \( c < d \)alors \( a + c < b + d \)

2. Ordre et multiplication

Propriété : Soient a, b et c trois nombres réels :

  • Si \( a < b \) et \( c > 0 \) alors \( a \times c < b \times c \)
  • Si \( a < b \) et \( c < 0 \) alors \( a \times c > b \times c \)

Exemple :

Soit \( x \) un nombre réel tel que \( x < 3 \). Comparer \( -4x \) et \( -12 \)

Raisonnement : \( x < 3 \) et \( -4 < 0 \) ⇒ \( -4 \times x > -4 \times 3 \) ⇒ \( -4x > -12 \)

 

Propriété : Soient a, b et c trois nombres réels :

  • Si \( a < b \)  et \( c < d \)alors \( a × c < b × d \)

3. Ordre et inverse

Propriété : Soient a et b deux nombres réels non nuls :

Si \( a < b \) alors \( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} \) (pour a et b de même signe)

Exemple :

On a \( 2 < 8 \) donc \( \frac{1}{2} > \frac{1}{8} \)

On a \( -10 < -5 \) donc \( \frac{1}{-10} > \frac{1}{-5} \) (car \( -\frac{1}{10} > -\frac{1}{5} \))

4. Ordre et carré

Propriété :

  • Pour a et b positifs : Si \( a < b \) alors \( a^2 < b^2 \)
  • Pour a et b négatifs : Si \( a < b \) alors \( a^2 > b^2 \)

Exemple :

Comparer \( 3\sqrt{5} \) et \( \sqrt{41} \)

Calcul : \( (3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45 \) et \( (\sqrt{41})^2 = 41 \)

Puisque \( 45 > 41 \) et les nombres sont positifs, on a \( 3\sqrt{5} > \sqrt{41} \)

5. Ordre et racine carrée

Propriété : Soient a et b deux nombres réels positifs :

Si \( a < b \) alors \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \)

Exemple :

Comparer \( \sqrt{15} \) et \( \sqrt{19} \)

Raisonnement : Puisque \( 15 < 19 \), on a \( \sqrt{15} < \sqrt{19} \)

III

Encadrements et opérations

1. Encadrement et addition

Propriété : Soient a, b, x, y des nombres réels tels que :

Si \( a \leq x \leq b \) et \( c \leq y \leq d \) alors \( a + c \leq x + y \leq b + d \)

Exemple :

Soient \( 3 \leq x \leq 8 \) et \( -4 \leq y \leq 2 \). Encadrer \( x + y \)

Calcul : \( 3 + (-4) \leq x + y \leq 8 + 2 \)

Donc \( -1 \leq x + y \leq 10 \)

2. Encadrement et opposé

Propriété : Soient a, b, x des nombres réels :

Si \( a \leq x \leq b \) alors \( -b \leq -x \leq -a \)

Exemple :

Soit \( 2 \leq x \leq 7 \). Encadrer \( -x \)

Résultat : \( -7 \leq -x \leq -2 \)

3. Encadrement et soustraction

Propriété : Soient a, b, c, d, x, y des nombres réels :

Si \( a \leq x \leq b \) et \( c \leq y \leq d \) alors \( a – d \leq x – y \leq b – c \)

Exemple :

Soient \( 2 \leq x \leq 7 \) et \( -1 \leq y \leq 5 \). Encadrer \( x – y \)

Calcul : \( 2 – 5 \leq x – y \leq 7 – (-1) \)

Donc \( -3 \leq x – y \leq 8 \)

4. Encadrement et multiplication

Propriété : Pour des nombres positifs :

Si \( a \leq x \leq b \) et \( c \leq y \leq d \) alors \( a \times c \leq x \times y \leq b \times d \)

Exemple :

Soient \( 1 \leq x \leq 7 \) et \( 4 \leq y \leq 6 \). Encadrer \( xy \)

Calcul : \( 1 \times 4 \leq xy \leq 7 \times 6 \)

Donc \( 4 \leq xy \leq 42 \)

5. Encadrement et inverse

Propriété : Pour des nombres strictement positifs :

Si \( a \leq x \leq b \) alors \( \frac{1}{b} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{a} \)

Exemple :

Soit \( 5 \leq x \leq 9 \). Encadrer \( \frac{1}{x} \)

Calcul : \( \frac{1}{9} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{5} \)

6. Encadrement et carré / racine

Propriété : Pour des nombres positifs :

  • Si \( a \leq x \leq b \) alors \( a^2 \leq x^2 \leq b^2 \)
  • Si \( a \leq x \leq b \) alors \( \sqrt{a} \leq \sqrt{x} \leq \sqrt{b} \)

Exemple :

Soit \( 16 \leq x \leq 25 \). Encadrer \( \sqrt{x} \)

Calcul : \( \sqrt{16} \leq \sqrt{x} \leq \sqrt{25} \)

Donc \( 4 \leq \sqrt{x} \leq 5 \)

 

Conclusion

Les propriétés de l’ordre et des opérations sur les nombres réels constituent un outil essentiel pour comparer des nombres, manipuler des inégalités et effectuer des encadrements. La maîtrise de ces règles permet de résoudre des problèmes variés en algèbre et en analyse, en particulier lorsqu’il s’agit de démontrer des inégalités ou d’encadrer des expressions.

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