Quadrilatères particuliers -Cours
QUADRILATÈRES PARTICULIERS
Rectangle, Losange et Carré
Le rectangle
1-1. Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Autrement dit : Si ABCD est un rectangle, alors \(\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90°\).
1-2. Propriétés des diagonales
Propriété directe
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont même longueur.
Autrement dit : Si ABCD est un rectangle, alors : AC = BD.
Propriété réciproque
Si les diagonales d’un parallélogramme ont même longueur, alors c’est un rectangle.
Autrement dit : Si ABCD est un parallélogramme tel que AC = BD, alors c’est un rectangle.
Remarque importante
Toutes les propriétés du parallélogramme s’appliquent au rectangle.
1-3. Axes et centre de symétrie
Les axes de symétrie d’un rectangle sont les médiatrices de ses côtés.
Le centre de symétrie d’un rectangle est le point d’intersection de ses diagonales (son centre).
Le losange
2-1. Définition
Le losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
Exemple : Soit ABCD un losange.
On a : AB = BC ; BC = CD ; CD = DA ; DA = AB
Remarque importante
Toutes les propriétés du parallélogramme s’appliquent au losange.
2-2. Propriétés des diagonales
Propriété directe
Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Autrement dit : Si ABCD est un losange, alors : (AC) ⊥ (BD).
Propriété réciproque
Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires, alors c’est un losange.
Autrement dit : Si ABCD est un parallélogramme tel que (AC) ⊥ (BD), alors c’est un losange.
2-3. Axes et centre de symétrie
Les axes de symétrie d’un losange sont ses diagonales.
Le centre de symétrie d’un losange est le point d’intersection de ses diagonales (son centre).
Le carré
3-1. Définition
Le carré est un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur.
Exemple : Soit ABCD un carré.
On a : AB = BC = CD = DA et \(\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90°\).
Remarques importantes
Toutes les propriétés du parallélogramme s’appliquent au carré.
Le carré est à la fois un rectangle et un losange.
3-2. Propriétés des diagonales
Propriété directe
Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont la même longueur.
Autrement dit : Si ABCD est un carré, alors : AC = BD et (AC) ⊥ (BD).
Propriété réciproque
Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires et ont même longueur, alors c’est un carré.
Autrement dit : Si ABCD est un parallélogramme tel que AC = BD et (AC) ⊥ (BD), alors c’est un carré.
3-3. Axes et centre de symétrie
Les axes de symétrie d’un carré sont ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.
Le centre de symétrie d’un carré est le point d’intersection de ses diagonales (son centre).
Tableau de synthèse
| Propriétés | Rectangle | Losange | Carré |
|---|---|---|---|
| Angles | 4 angles droits | Angles opposés égaux | 4 angles droits |
| Côtés | Côtés opposés parallèles et égaux | 4 côtés égaux | 4 côtés égaux |
| Diagonales | Égales | Perpendiculaires | Égales et perpendiculaires |
| Axes de symétrie | Médiatrices des côtés | Diagonales | Diagonales et médiatrices |
| Centre de symétrie | Centre (intersection des diagonales) | Centre (intersection des diagonales) | Centre (intersection des diagonales) |
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