Théorème de Pythagore exercices corrigés 3AC
📋Exercice : Questions de cours (Théorème de Pythagore)
Énoncer le théorème de Pythagore direct. Dans quel type de triangle l’applique-t-on ?
Que représente l’hypoténuse dans un triangle rectangle ? Où se situe-t-elle par rapport à l’angle droit ?
Écrire la formule du théorème de Pythagore pour un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). Donner les trois formules dérivées.
À quoi sert le théorème de Pythagore direct ? Dans quel type de problème l’utilise-t-on ?
Énoncer le théorème réciproque de Pythagore. Quelle est sa condition et quelle est sa conclusion ?
À quoi sert le théorème réciproque de Pythagore ? Dans quel type de problème l’utilise-t-on ?
Définir le projeté orthogonal d’un point sur une droite. Dans le triangle rectangle, comment s’appelle le pied de la hauteur issue de l’angle droit ?
Écrire les quatre relations métriques dans un triangle rectangle \(ABC\) en \(A\) avec \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\) sur \((BC)\).
Donner un exemple complet d’application du théorème de Pythagore direct pour calculer une longueur manquante.
Écrire le tableau récapitulatif du théorème de Pythagore (direct, réciproque et relations métriques) avec les conditions, formules et exemples.
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.
L’hypoténuse est le plus grand côté d’un triangle rectangle. Elle est située en face de l’angle droit.
Pour un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) :
- \(AB^2 = BC^2 – AC^2\)
- \(AC^2 = BC^2 – AB^2\)
Le théorème de Pythagore direct sert à calculer une longueur manquante dans un triangle rectangle lorsque l’on connaît les deux autres longueurs.
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Le théorème réciproque de Pythagore sert à montrer qu’un triangle est rectangle lorsque l’on connaît les longueurs de ses trois côtés.
Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point d’intersection de cette droite avec la perpendiculaire passant par ce point.
Dans un triangle rectangle, le pied de la hauteur issue de l’angle droit sur l’hypoténuse est appelé le projeté orthogonal du sommet de l’angle droit sur l’hypoténuse.
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\) sur \((BC)\).
Exemple : Soit \(EFG\) un triangle rectangle en \(E\) avec \(EF = 5\) et \(EG = 3\). Calculer \(FG\).
| Théorème | Condition | Formule | Exemple |
|---|---|---|---|
| Pythagore direct | Triangle rectangle en A | \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) | \(5^2 = 3^2 + 4^2\) |
| Réciproque de Pythagore | \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) | Triangle rectangle en A | \(10^2 = 6^2 + 8^2\) |
| Produit des côtés | \(ABC\) rectangle en A, H ∈ BC | \(AB \times AC = AH \times BC\) | \(3 \times 4 = 2,4 \times 5\) |
| Projeté de AB | \(ABC\) rectangle en A, H ∈ BC | \(AB^2 = BH \times BC\) | \(3^2 = 1,8 \times 5\) |
📐Exercice 1 : Théorème de Pythagore direct
\(DEF\) est un triangle rectangle en \(D\) tel que :
Calculer \(EF\).
On sait que ………. est un triangle rectangle en ……….
D’après le théorème de Pythagore :
1. \(\quad \ldots\ldots^{2} = \ldots\ldots^{2} + \ldots\ldots^{2}\)
2. \(\quad \ldots\ldots^{2} = \ldots\ldots^{2} + \ldots\ldots^{2}\)
3. \(\quad \ldots\ldots^{2} = \ldots + \ldots\)
\(\quad \ldots\ldots^{2} = \ldots\)
4. \(\quad \ldots\ldots = \sqrt{\ldots\ldots} = \ldots\ldots\text{ cm}\)
Rappel :
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est le plus grand côté du triangle.
Données :
• \(DEF\) est un triangle rectangle en \(D\)
• \(DE = 15\text{ cm}\) et \(DF = 8\text{ cm}\)
• On cherche \(EF\) (l’hypoténuse).
On sait que \(DEF\) est un triangle rectangle en \(D\).
D’après le théorème de Pythagore :
1. \(\quad EF^2 = DE^2 + DF^2\)
2. \(\quad EF^2 = 15^2 + 8^2\)
3. \(\quad EF^2 = 225 + 64\)
\(\quad EF^2 = 289\)
4. \(\quad EF = \sqrt{289} = 17\text{ cm}\)
📐Exercice 2 : Théorème de Pythagore direct
\(DEF\) est un triangle rectangle en \(D\) tel que :
Calculer \(DF\).
On sait que ………. est un triangle rectangle en ……….
D’après le théorème de Pythagore :
1. \(\quad \ldots\ldots^{2} + \ldots\ldots^{2} = \ldots\ldots^{2}\)
2. \(\quad \ldots\ldots^{2} + \ldots\ldots^{2} = \ldots\ldots^{2}\)
3. \(\quad \ldots + \ldots\ldots^{2} = \ldots\)
4. \(\quad \ldots\ldots^{2} = \ldots – \ldots\)
\(\quad \ldots\ldots^{2} = \ldots\)
5. \(\quad \ldots\ldots = \sqrt{\ldots\ldots} = \ldots\ldots\text{ cm}\)
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📐Exercice 3 : Théorème de Pythagore direct
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que :
Calculer la longueur \(BC\).
Calculer la longueur \(BC\).
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📐Exercice 4 : Théorème de Pythagore direct
\(LMN\) est un triangle rectangle en \(L\) tel que :
Calculer la longueur \(LN\).
Calculer la longueur \(LN\).
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📐Exercice 5 : Réciproque du théorème de Pythagore
\(DEF\) est un triangle tel que :
Ce triangle est-il rectangle ?
1. Le grand côté est \([ \ldots\ldots ]\)
\(\quad \ldots\ldots^{2} = \ldots\ldots^{2} = \ldots\)
2. \(\quad \ldots\ldots^{2} + \ldots\ldots^{2} = \ldots\ldots^{2} + \ldots\ldots^{2}\)
\(\qquad\qquad\quad = \ldots + \ldots\)
\(\qquad\qquad\quad = \ldots\)
3. Ainsi : \(\quad \ldots\ldots^{2} = \ldots\ldots^{2} + \ldots\ldots^{2}\)
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(DEF\) est rectangle en \(F\).
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📐Exercice 6 : Réciproque du théorème de Pythagore
\(ABC\) est un triangle tel que :
Démontrer que \(ABC\) est un triangle rectangle.
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📐Exercice 7 : Réciproque du théorème de Pythagore
\(DEF\) est un triangle tel que :
Ce triangle est-il rectangle ?
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📐Exercice 8 : Théorème de Pythagore avec la hauteur
Figure : Triangle ABC avec la hauteur (AH)
\((AH)\) est la hauteur du triangle \(ABC\) issue de \(A\).
Calculer la longueur \(AH\).
En déduire la longueur \(AC\).
Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
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📐Exercice 9 : Losange et théorème de Pythagore
\(ABCD\) est un losange de centre \(O\) avec \(AC = 20\text{ cm}\) et \(BD = 48\text{ cm}\).
Faire une figure à main levée.
Calculer \(AB\).
Calculer le périmètre de ce losange.
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📐Exercice 10 : Pavé droit et théorème de Pythagore
\(ABCDEFGH\) est un pavé droit de longueur \(4\text{ cm}\), de largeur \(3\text{ cm}\) et de hauteur \(12\text{ cm}\).
Calculer la longueur \(EG\).
Calculer la diagonale \(AG\).
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📐Exercice 11 : Aire d’un triangle avec la hauteur
\((OC)\) est la hauteur du triangle \(BCD\) issue de \(C\).
Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle \(BCD\).
Calculer la longueur \(OB\).
Calculer la longueur \(OC\).
Calculer la longueur \(OD\).
En utilisant les résultats du 1., calculer l’aire du triangle \(BCD\).
On rappelle la formule : Aire = \((b \times h) / 2\)
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📐Exercice 12 : Aire d’un triangle rectangle avec la hauteur
\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\).
\((AH)\) est la hauteur issue du sommet de l’angle droit.
Exprimer l’aire de ce triangle en fonction de \(AB\) et \(AC\).
Exprimer l’aire de ce triangle en fonction de \(AH\) et \(BC\).
En déduire une égalité faisant intervenir \(AB\), \(AC\), \(BC\) et \(AH\).
Calculer la hauteur \(AH\) pour le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) :
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📐Exercice 13 : Rectangle et théorème de Pythagore
\(ABCD\) est un rectangle de côtés \(AB = 12\text{ cm}\) et \(AD = 9\text{ cm}\).
Sur le côté \([BC]\) on place le point \(E\) tel que \(AE = 13\text{ cm}\).
Sur le côté \([DC]\) on place le point \(F\) tel que \(DF = 5\text{ cm}\).
Calculer la longueur \(AF\).
Calculer la longueur \(BE\).
Calculer les longueurs \(CE\) et \(CF\), puis la longueur \(EF\).
Le triangle \(AFE\) est-il rectangle ?
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📐Exercice 14 : Construction, réciproque de Pythagore et aire
Construire le triangle \(ABC\) tel que \(CB = 169\text{ mm}\), \(AB = 65\text{ mm}\) et \(AC = 156\text{ mm}\).
Démontrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
Tracer la hauteur \(AH\) du triangle \(ABC\).
→ En utilisant une autre expression qu’en 3) de l’aire de \(ABC\), calculer simplement \(AH\).
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📐Exercice 15 : Théorème de Pythagore
On considère la figure ci-dessous :
Démontrer que : \( AB^2 + AC^2 = DB^2 + DC^2 \)
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📐Exercice 16: Triangle rectangle et hauteur
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
Montrer que : \( AB \times AC = AH \times BC \)
Montrer que : \( AB^2 = BH \times BC \) et \( AC^2 = CH \times BC \)
Montrer que : \( AH^2 = BH \times CH \)
Montrer que : \( BH^2 + CH^2 + 2AH^2 = BC^2 \)
Montrer que : \( \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2} \)
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Théorème de Pythagore exercices corrigés 3AC