Théorème de Pythagore direct

Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Si \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\), alors : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

📌 Formules dérivées :

Si \(ABC\) est rectangle en \(A\) :
\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
\(AB^2 = BC^2 – AC^2\)
\(AC^2 = BC^2 – AB^2\)

📌 Exemple : Soit \(EFG\) un triangle rectangle en \(E\) tel que \(EF = 5\) et \(EG = 3\). Calculer \(FG\).

Étape 1 : Identifier le triangle rectangle et l’hypoténuse.
\(EFG\) est rectangle en \(E\), donc l’hypoténuse est \(FG\).

Étape 2 : Appliquer le théorème de Pythagore.
\(FG^2 = EF^2 + EG^2\)

Étape 3 : Remplacer par les valeurs numériques.
\(FG^2 = 5^2 + 3^2\)
\(FG^2 = 25 + 9\)
\(FG^2 = 34\)

Étape 4 : En déduire \(FG\) (longueur positive).
\(FG = \sqrt{34}\)

Résultat : \(FG = \sqrt{34}\) unités.

📌 Application : Soit \(ABC\) un triangle isocèle et rectangle en \(A\), avec \(AB = 4\) cm. \(M\) est le milieu de \([BC]\).

1) Figure : (schéma ci-dessous)

2) Calcul de \(BC\) :
\(ABC\) est rectangle en \(A\) et isocèle, donc \(AB = AC = 4\).
D’après Pythagore : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\)
\(BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\) cm.

3) Calcul de \(AM\) :
\(M\) est le milieu de \([BC]\), donc \(BM = \frac{BC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).
Dans le triangle rectangle \(AMB\) (rectangle en \(M\)) :
\(AB^2 = AM^2 + BM^2\)
\(4^2 = AM^2 + (2\sqrt{2})^2\)
\(16 = AM^2 + 8\)
\(AM^2 = 8\)
\(AM = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) cm.

Théorème réciproque de Pythagore

Théorème réciproque : Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors \(ABC\) est rectangle en \(A\)

📌 Exemple : Soit \(EFG\) un triangle tel que \(EG = 6\), \(FG = 8\) et \(EF = 10\). Montrer que \(EFG\) est rectangle en \(G\).

Étape 1 : Identifier le plus grand côté.
\(EF = 10\) est le plus grand côté.

Étape 2 : Calculer les carrés des côtés.
\(EG^2 = 6^2 = 36\)
\(FG^2 = 8^2 = 64\)
\(EF^2 = 10^2 = 100\)

Étape 3 : Vérifier la relation de Pythagore.
\(EG^2 + FG^2 = 36 + 64 = 100 = EF^2\)

Étape 4 : Conclure.
D’après le théorème réciproque de Pythagore, le triangle \(EFG\) est rectangle en \(G\).

📌 Application : Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 2\sqrt{2}\) cm, \(AC = \sqrt{3}\) cm et \(BC = \sqrt{5}\) cm. Montrer que \(ABC\) est rectangle.

Étape 1 : Identifier le plus grand côté.
\(AB = 2\sqrt{2} \approx 2,83\) est le plus grand côté.

Étape 2 : Calculer les carrés des côtés.
\(AB^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8\)
\(AC^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\)
\(BC^2 = (\sqrt{5})^2 = 5\)

Étape 3 : Vérifier la relation de Pythagore.
\(AC^2 + BC^2 = 3 + 5 = 8 = AB^2\)

Étape 4 : Conclure.
D’après le théorème réciproque de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(C\).

Relations métriques dans un triangle rectangle

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et \(H\) le projeté orthogonal du point \(A\) sur \((BC)\).
(H est le pied de la hauteur issue de A sur l’hypoténuse).

📌 Exemple d’application :

Dans un triangle rectangle ABC en A avec H pied de la hauteur issue de A sur BC :
Si \(BH = 4\) et \(CH = 9\), alors \(AH^2 = BH \times CH = 4 \times 9 = 36\), donc \(AH = 6\).
Et \(AB^2 = BH \times BC = 4 \times 13 = 52\), donc \(AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\).
Et \(AC^2 = CH \times BC = 9 \times 13 = 117\), donc \(AC = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}\).

Tableau récapitulatif