Triangles -Cours 1AC
Triangles
I- Inégalité triangulaire
Règle :
Quels que soient les points A, B et C, on a :
Propriété :
Dans un triangle, la somme des longueurs de deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté.
Exemple :
\[ AC < AB + BC \]
\[ AB < AC + BC \]
\[ BC < AC + AB \]
Conséquence :
Pour savoir s’il est possible de construire un triangle, il suffit de vérifier que la plus grande longueur est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Cas d’égalité :
Si A, B et C sont trois points tels que \( AB + BC = AC \), alors :
- Le point B appartient au segment [AC]
- Les points A, B et C sont alignés
Remarque :
B n’est pas nécessairement le milieu de [AC]
II – Somme des angles d’un triangle
Règle :
Dans un triangle, la somme des mesures des angles fait : \[180^\circ\]
Exemple 1 :
Exemple 2 :
Calcul de l’angle BAC :
On sait que la somme des mesures des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\)
Donc :
\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ \]
D’où :
\[ \angle BAC = 180^\circ – \angle ABC – \angle BCA \]
\[ \angle BAC = 180^\circ – 80^\circ – 55^\circ \]
\[ \angle BAC = 45^\circ \]
III – Construction de triangles
On peut construire un triangle lorsque l’on connaît :
- La longueur d’un côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents
- Les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces côtés
- Les longueurs des trois côtés (si la somme des deux plus petites longueurs est supérieure à la troisième)
Exemple 1 :
\( ABC \) est un triangle tel que \( AB = 3,5 \, \text{cm} \), \( \angle BAC = 32^\circ \) et \( \angle ABC = 56^\circ \) :
Méthode de construction : Tracer AB = 3,5cm, puis construire les angles en A et B.
Exemple 2 :
\( ABC \) est un triangle tel que \( AB = 3 \, \text{cm} \), \( AC = 2,5 \, \text{cm} \) et \( \angle BAC = 40^\circ \) :
Méthode de construction : Tracer AB = 3cm, construire l’angle de 40° en A, puis reporter AC = 2,5cm.
Exemple 3 :
\( ABC \) est un triangle tel que \( AB = 4 \, \text{cm} \), \( BC = 2 \, \text{cm} \) et \( AC = 3 \, \text{cm} \) :
Vérification : \( 3 + 2 > 4 \) donc le triangle \( ABC \) est constructible
Méthode de construction : Tracer un côté (par exemple AB = 4cm), puis tracer des arcs de cercle pour trouver le point C.
IV – Triangles particuliers :
1. Le triangle rectangle
Définition
Le triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
L’hypoténuse
Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est le plus grand des trois côtés du triangle.
ABC rectangle en A
⇒ [BC] est l’hypoténuse
Propriété 1
Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires (leur somme vaut 90°).
Exemple :
Puisque le triangle ABC est rectangle en A :
\[ \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ \]
Si \( \angle ACB = 43^\circ \), alors :
\[ \angle ABC = 90^\circ – 43^\circ = 47^\circ \]
Application
Exercice : Dans un triangle DEF rectangle en D, l’angle \( \angle DFE = 35^\circ \). Calculer \( \angle DEF \).
Solution :
\[ \angle DEF = 90^\circ – \angle DFE = 90^\circ – 35^\circ = 55^\circ \]
Propriété :
Si un triangle possède deux angles complémentaires alors il est rectangle.
Exemple :
On a : \( \angle ABC + \angle ACB = 50,92^\circ + 39,08^\circ = 90^\circ \)
Donc : \( \angle ABC \) et \( \angle ACB \) sont complémentaires
D’où : ABC est un triangle rectangle en A
2. Le triangle isocèle
Définition
Le triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés égaux.
Exemple :
ABC est un triangle isocèle en A
Donc \( AB = AC \)
[BC] est appelé la base du triangle isocèle
Propriété
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
Exemple :
ABC triangle isocèle en A
Donc \( \angle ABC = \angle ACB \)
Propriété
Si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle.
Exemple :
On a : \( \angle MNP = \angle MPN = 68,2^\circ \)
Donc : le triangle MNP est isocèle en M
3 – Le triangle équilatéral
Définition
Le triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés égaux.
Exemple :
ABC est un triangle équilatéral
Donc : \( AB = AC = BC \)
Propriété 1
Si un triangle est équilatéral alors chaque angle mesure \( 60^\circ \).
Exemple :
Pour un triangle équilatéral ABC :
\[ \angle BAC = \angle ABC = \angle ACB = 60^\circ \]
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