Vecteurs et translation 2AC exercices corrigés
📐Exercice 1 :
🔍Vecteurs et translation
On considère la figure ci-dessous :
Compléter le tableau suivant par \(’Oui’\) ou \(’Non’\) :
| Vecteurs | Ont la même longueur | Ont la même direction | Ont le même sens | Sont égaux | Sont opposés |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) | ………… | ………… | ………… | ………… | ………… |
| \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{GH}\) | ………… | ………… | ………… | ………… | ………… |
| \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{MN}\) | ………… | ………… | ………… | ………… | ………… |
| \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{OP}\) | ………… | ………… | ………… | ………… | ………… |
| \(\overrightarrow{OP}\) et \(\overrightarrow{MN}\) | ………… | ………… | ………… | ………… | ………… |
✅Tableau des réponses :
| Vecteurs | Ont la même longueur | Ont la même direction | Ont le même sens | Sont égaux | Sont opposés |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) | Oui | Oui | Oui | Oui | Non |
| \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{GH}\) | Oui | Oui | Non | Non | Oui |
| \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{MN}\) | Oui | Non | Oui | Non | Non |
| \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{OP}\) | Non | Oui | Oui | Non | Non |
| \(\overrightarrow{OP}\) et \(\overrightarrow{MN}\) | Non | Non | Oui | Non | Non |
📐Exercice 2 :
🔍Construction de points à l’aide de vecteurs
1) Construire le point \(K\) tel que : \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{MN}\) :
2) Construire le point \(T\) tel que : \(\overrightarrow{TB} = \overrightarrow{RH}\) :
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📐Exercice 3 :
\(A\) et \(B\) sont deux points distincts.
a) Placer le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
b) Compléter les égalités suivantes :
\(\overrightarrow{AB} =\)…………\(\overrightarrow{BM}\)
\(\overrightarrow{BM} =\)…………\(\overrightarrow{AM}\)
\(\overrightarrow{AM} =\)…………\(\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{MB} =\)…………\(\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{BA} =\)…………\(\overrightarrow{BM}\)
\(\overrightarrow{AM} =\)…………\(\overrightarrow{BM}\)
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📐Exercice 4 :
Considérons la figure suivante :
Répondre sans démonstrations :
1) Déterminer les vecteurs qui sont égaux au vecteur \(\overrightarrow{EF}\).
2) Quel est le vecteur d’origine \(I\) et qui est égal au vecteur \(\overrightarrow{GD}\).
3) Déterminer les vecteurs qui sont égaux au vecteur \(\overrightarrow{BD}\).
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📐Exercice 5 :
🔍Relation de Chasles
À l’aide de la relation de Chasles, écrire sous forme d’un seul vecteur… si c’est possible :
…………
…………
…………
…………
…………
…………
…………
…………
Rappel – Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C, on a \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
Propriété : \(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\) et \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\).
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📐Exercice 6 :
🔍Compléter les égalités vectorielles
Compléter les égalités vectorielles :
…………
…………
…………
…………
…………
…………
…………
…………
…………
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📐Exercice 7 :
🔍Parallélogrammes et vecteurs
Considérons la figure suivante telle que :
FCDE et ABCD sont deux parallélogrammes.
Montrer que FBAE est un parallélogramme.
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📐Exercice 8 :
🔍Construction et propriétés vectorielles
Soit ABC un triangle.
1)
a- Construire le point N tel que \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BC}\).
b- Construire le point P tel que \(\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{BC}\).
2) Montrer que A est le milieu de [PN].
3)
a- Construire M le symétrique de P par rapport à B.
b- Montrer que \(\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AC}\).
c- Montrer que \(\overrightarrow{BM} \overrightarrow{AC}\).
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📐Exercice 9 :
🔍Translation dans une grille
Considérons la figure suivante :
1) Quelles sont les images des points H et E par la translation du vecteur \(\overrightarrow{FE}\) ?
Image de H :
…………
Image de E :
…………
2) Quelle est l’image de B par la translation du vecteur \(\overrightarrow{BC}\) ?
Image de B :
…………
3) Quelle est l’image de D par la translation qui transforme le point H en F ?
Image de D :
…………
Rappel – Translation :
- L’image d’un point X par la translation de vecteur \(\overrightarrow{UV}\) est le point X’ tel que \(\overrightarrow{XX’} = \overrightarrow{UV}\).
- Dans une grille régulière, il suffit de compter les déplacements horizontaux et verticaux.
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📐Exercice 10 :
Soit ABC un triangle équilatéral.
1)
a- Construire E l’image de A par la translation qui transforme B en C.
b- Construire F l’image de C par la translation du vecteur \(\overrightarrow{BC}\).
2) Montrer que AEFC est un parallélogramme.
3) Déterminer la nature précise du quadrilatère AEFC.
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📐Exercice 11 :
Soient E, F, G, H et I des points, tels que :
\(\overrightarrow{EG} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{FI}\)
Montrer que G est le milieu de \([HI]\).
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📐Exercice 12 :
Soit EFG un triangle.
1) Construire les points M, N tels que :
\(\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{EG} – \overrightarrow{EF}\)
\(\overrightarrow{EN} = \overrightarrow{EF} – \overrightarrow{EG}\)
2) Montrer que E est le milieu de \([MN]\).
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📐Exercice 13 :
Soit ABC un triangle, et soit G son centre de gravité, et soit E un autre point quelconque du plan,
et soit M le milieu de \([BC]\).
1) Montrer que : \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}\).
2) En déduire que :
a- \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\)
b- \(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} = 3\overrightarrow{EG}\)
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📐Exercice 14 :
Soit ABCD un rectangle de centre O.
1) Simplifier : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{DC}\).
2) Construire E l’image de D par la translation qui transforme O en A.
3) Montrer que OAED est un losange.
4) Montrer que B est l’image de A par la translation qui transforme E en O.
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📐Exercice 15 :
Soit ABC un triangle.
1) Construire le point D tel que : \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\).
2) Construire E l’image de D par la translation qui transforme C en B.
3) En déduire que B est le milieu de \([DE]\).
4) Simplifier : (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} – \overrightarrow{EA}\).
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