Arithmétique dans IN exercices corrigés
📋Exercice : Questions de cours (Arithmétique dans ℕ)
Donner la définition de l’ensemble \(\mathbb{N}\). Qu’est-ce que \(\mathbb{N}^*\) ?
Définir un nombre pair et un nombre impair. Donner deux exemples pour chaque catégorie.
Définir les notions de multiple et de diviseur. Donner un exemple.
Énoncer les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9. Donner un exemple pour chaque critère.
Qu’est-ce qu’un nombre premier ? Donner la liste des nombres premiers inférieurs à 30.
Énoncer le théorème fondamental de la décomposition en facteurs premiers. Donner un exemple.
Définir le PGCD et le PPCM de deux nombres. Comment les calcule-t-on à partir de la décomposition en facteurs premiers ?
Qu’appelle-t-on nombres premiers entre eux ? Donner un exemple.
Expliquer le principe de l’algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD. Donner un exemple détaillé.
Quelles sont les règles des opérations sur les nombres pairs et impairs (addition, soustraction, multiplication) ? Remplir un tableau récapitulatif.
L’ensemble des nombres entiers naturels est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls. Il est noté \(\mathbb{N}\).
Les nombres entiers naturels non nuls forment un sous-ensemble noté \(\mathbb{N}^*\).
Un nombre entier naturel a est :
- Pair s’il existe un entier naturel \(k\) tel que : \(a = 2k\).
- Impair s’il existe un entier naturel \(k\) tel que : \(a = 2k + 1\).
Soient \(a\) et \(b\) deux éléments de \(\mathbb{N}\).
- a est un multiple de b s’il existe un entier naturel \(n\) tel que : \(a = b \times n\).
- b est un diviseur de a s’il existe un entier naturel \(n\) tel que : \(a = b \times n\).
Remarque : Les notions de multiple et de diviseur sont duales.
| Diviseur | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Chiffre des unités : 0, 2, 4, 6 ou 8 | 1628 est divisible par 2 |
| 3 | Somme des chiffres divisible par 3 | 4725 (4+7+2+5=18) divisible par 3 |
| 4 | Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 | 1628 (28 divisible par 4) |
| 5 | Chiffre des unités : 0 ou 5 | 4725 est divisible par 5 |
| 9 | Somme des chiffres divisible par 9 | 4725 (18) divisible par 9 |
Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Remarque : Le nombre 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur.
Théorème : Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire de manière unique (à l’ordre près) comme un produit de nombres premiers.
- PGCD(a;b) : Plus Grand Commun Diviseur. C’est le plus grand nombre entier qui divise à la fois a et b.
- PPCM(a;b) : Plus Petit Commun Multiple. C’est le plus petit nombre entier (non nul) multiple de a et b.
Calcul par décomposition :
- PGCD : produit des facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.
- PPCM : produit de tous les facteurs premiers avec le plus grand exposant.
Deux nombres \(a\) et \(b\) sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
L’algorithme d’Euclide calcule le PGCD par des divisions euclidiennes successives. Le PGCD est le dernier reste non nul.
\(1053 = 325 \times 3 + 78\)
\(325 = 78 \times 4 + 13\)
\(78 = 13 \times 6 + 0\)
Donc \(PGCD(1053; 325) = 13\).
| a | b | a + b | a – b | a × b |
|---|---|---|---|---|
| pair | pair | pair | pair | pair |
| pair | impair | impair | impair | pair |
| impair | pair | impair | impair | pair |
| impair | impair | pair | pair | impair |
📝Exercice 1 : Parité des nombres
Soit \( n \) un nombre entier naturel.
Déterminer la parité des nombres suivants :
\( A = n(n+1) \)
\( B = (2n+1)^{2021} + (4n)^{2020} \)
\( C = 3n^3 – n \)
Vérifier que :
puis montrer que \( n^2 + 5n + 7 \) est impair.
\( A = n(n+1) \)
Parmi deux entiers consécutifs \( n \) et \( n+1 \), l’un est pair et l’autre est impair.
Le produit d’un nombre pair par un nombre impair est pair.
\( B = (2n+1)^{2021} + (4n)^{2020} \)
- \( 2n+1 \) est impair (car \( 2n \) est pair).
- Une puissance d’un nombre impair est impaire.
Donc \( (2n+1)^{2021} \) est impair. - \( 4n = 2 \times (2n) \) est pair.
- Une puissance d’un nombre pair est paire.
Donc \( (4n)^{2020} \) est pair.
La somme d’un nombre impair et d’un nombre pair est impair.
\( C = 3n^3 – n \)
Factorisons \( C \) :
Distinguons deux cas selon la parité de \( n \) :
- Cas 1 : \( n \) est pair → \( C \) est pair (car \( n \) est pair).
- Cas 2 : \( n \) est impair → \( n = 2k+1 \).
Alors \( 3n^2 – 1 = 3(2k+1)^2 – 1 = 3(4k^2+4k+1) – 1 = 12k^2 + 12k + 2 = 2(6k^2+6k+1) \) est pair.
Donc \( C = n \times (\text{pair}) \) est pair.
Vérification de l’égalité :
L’égalité est vérifiée.
Montrons que \( n^2 + 5n + 7 \) est impair :
\( (n+2) \) et \( (n+3) \) sont deux entiers consécutifs. Leur produit est pair (car l’un des deux est pair).
Donc \( (n+2)(n+3) \) est pair.
Ajouter 1 à un nombre pair donne un nombre impair.
📝Exercice 2 : Détermination de la parité
Déterminer la parité des nombres suivants, avec \( n \in \mathbb{N} \) et \( m \in \mathbb{N} \).
\( 375^{2} + 648^{2} \)
\( 2n + 16 \)
\( 10n + 5 \)
\( 18n + 4m + 24 \)
\( 2n^{2} + 7 \)
\( 8n^{2} + 12nm + 3 \)
\( 26n + 10m + 7 \)
\( n^{2} + 11n + 17 \)
\( n^{2} + 7n + 20 \)
\( (n+1)^{2} + 7n^{2} \)
\( n^{2} + 5n \)
\( n^{2} + 8n \)
\( n^{2} + n \)
\( n^{3} – n \)
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📝Exercice 3 : Développement, carré parfait et parité
Soit \( n \in \mathbb{N} \).
Développer le nombre :
En déduire que \( A \) est un carré parfait.
Déterminer la parité du nombre \( A \).
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📝Exercice 4 : Parité et équation dans \(\mathbb{N}\)
Soient \( m \) et \( n \) deux nombres entiers naturels, tels que \( m > n \).
Montrer que \( m-n \) et \( m+n \) ont la même parité.
Résoudre dans \( \mathbb{N} \) l’équation :
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📝Exercice 5 : Divisibilité des carrés de nombres impairs
Soit \( a \) un entier naturel impair.
Montrer que \( a^2 – 1 \) est un multiple de 8.
En déduire que \( a^4 – 1 \) est un multiple de 16.
Soient \( m \) et \( n \) deux entiers naturels impairs. Montrer que \( 8 \) divise \( m^2 + n^2 + 6 \).
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📝Exercice 6 : Factorisation et divisibilité par 111
Soit \( n \in \mathbb{N} \).
Montrer que :
Montrer que \( 10101 \) est divisible par \( 111 \).
Montrer que \( 10^8 + 10^4 + 1 \) est divisible par \( 111 \).
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📝Exercice 7 : Diviseurs d’une expression en fonction de n
Soit \( n \in \mathbb{N} \).
Vérifier que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
Déterminer toutes les valeurs de \( n \in \mathbb{N} \) telles que le nombre \( (n+3) \) divise \( n^2 + 4n + 9 \).
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📝Exercice 8 : Identité remarquable et nombres premiers
Soient \( a \) et \( b \) deux nombres réels.
Vérifier que :
Montrer que \( 1000000001 \) n’est pas premier.
Montrer que \( 213 \) n’est pas premier et que \( 127 \) est premier.
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📝Exercice 9 : Reconnaissance de nombres premiers
Sans calculer, les nombres suivants sont-ils premiers ?
Sans calculer, les nombres suivants sont-ils premiers ?
\( A = 49 \times 11 + 7 \)
\( B = 5 \times 2 \times 7 + 24 \)
\( C = 33 + 11 \times 7 \)
\( 17^2 \) est-il premier ? Même question pour \( 317 \).
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📝Exercice 10 : Décomposition, PGCD, PPCM et fraction irréductible
Soient \( 1008 \) et \( 1608 \) deux nombres entiers naturels.
Décomposer \( 1008 \) et \( 1608 \) en produit de facteurs premiers.
Déduire \( \operatorname{PGCD}(1008, 1608) \) et \( \operatorname{PPCM}(1008, 1608) \).
En déduire la forme irréductible de \( \dfrac{1008}{1608} \) et de \( \dfrac{1}{1608} + \dfrac{1}{1008} \).
Déterminer l’entier naturel \( n \) tel que \( n+4 \) divise \( n+17 \).
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📝Exercice 11 : PGCD, PPCM et diviseurs communs
Soient \( a \) et \( b \) deux entiers naturels tels que :
Déterminer tous les diviseurs communs de \( a \) et \( b \).
Sachant que \( a \times b = 972 \), calculer \( a \vee b = \operatorname{PPCM}(a, b) \) et en déduire \( a \) et \( b \).
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📝Exercice 12 : Décomposition, diviseurs, PGCD, PPCM, carré et cube parfaits
Soient les entiers naturels \( a = 2352 \) et \( b = 14850 \).
Décomposer \( a \) et \( b \) en produit de facteurs premiers.
Donner le nombre de diviseurs de chacun des entiers \( a \) et \( b \).
Déterminer \( \operatorname{PGCD}(a, b) \) et \( \operatorname{PPCM}(a, b) \).
Déterminer le plus petit entier \( p \) tel que le nombre \( p \cdot a \) soit un carré parfait.
Déterminer le plus petit entier \( q \) tel que le nombre \( q \cdot b \) soit un cube parfait.
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📝Exercice 13 : Factorisation, parité, PGCD, PPCM et divisibilité
Soit \( n \) un entier naturel. On considère :
Vérifier que : \( A = 2^{n+1} \times 41 \) et \( B = 3^n \times 17 \).
En déduire la parité de \( A \) et \( B \).
Déterminer \( \operatorname{PGCD}(A, B) \) et \( \operatorname{PPCM}(A, B) \), puis déduire que \( A \) et \( B \) sont premiers entre eux.
Montrer que \( \left(A – 2^n\right)\left(B – 3^n\right) \) est divisible par \( 1296 \).
Montrer que \( 3^n \times A – 2^n \times B \) est un multiple de \( 5 \) et de \( 13 \).
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📝Exercice 14 : Factorisation, PGCD, PPCM et fraction irréductible
On pose :
Écrire sous forme d’un produit de nombres premiers les deux entiers \( a \) et \( b \).
Calculer \( \operatorname{PGCD}(a, b) \) et \( \operatorname{PPCM}(a, b) \).
Déterminer le plus petit dénominateur commun puis calculer la somme \( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \) et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
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📝Exercice 15 : Différence de carrés de deux entiers consécutifs
Soit \( n \in \mathbb{N} \).
Développer le produit :
En déduire que \( E \) est un entier impair pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Écrire les entiers suivants comme différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs :
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📝Exercice 17 : Nombres premiers entre eux
Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) :
(Deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.)
Montrer que \( \operatorname{PGCD}(n+1, n+2) = 1 \).
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📝Exercice 18 : Équation diophantienne avec différence de carrés
Résoudre les équations suivantes.
Trouver toutes les solutions de l’équation \( (1) : x^2 – y^2 = 51 \) dans \( \mathbb{N}^2 \).
Déterminer les couples \( (a, b) \) d’entiers naturels tels que :
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🌳Exercice 18 : Plantation d’arbres et PGCD
On veut planter des arbres sur le périmètre d’un jardin de forme triangulaire dont les dimensions sont :
- Il y a un arbre à chaque sommet du triangle.
- La distance entre deux arbres consécutifs est constante.
Quelle est la plus grande distance possible entre deux arbres consécutifs ?
Quel est alors le nombre d’arbres que l’on peut planter ?
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💡Exercice 19 : Lampadaires et PGCD
Une entreprise veut installer des lampadaires sur le périmètre d’une place publique rectangulaire de dimensions :
- Il y a un lampadaire à chaque coin du rectangle.
- La distance entre deux lampadaires consécutifs est constante et est un nombre entier naturel.
Quelle est la plus grande distance possible entre deux lampadaires consécutifs ?
Quel est le nombre de lampadaires nécessaires dans ce cas ?
Quelles sont les distances supérieures à 15 m qui peuvent être choisies entre deux lampadaires consécutifs ? Calculer dans chaque cas le nombre de lampadaires nécessaires.
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