Arithmétique dans IN -Cours
CHAPITRE : ARITHMÉTIQUE DANS ℕ
Tronc Commun Sciences
L’ensemble des nombres entiers naturels \(\mathbb{N}\)
1) Définition
L’ensemble des nombres entiers naturels est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nuls. Il est noté \(\mathbb{N}\) et s’écrit :
\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}\)
Les nombres entiers naturels non nuls forment un sous-ensemble noté \(\mathbb{N}^*\) :
\(\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, \dots\}\)
📌 Exemples d’appartenance :
- \(7 \in \mathbb{N}\) → 7 est un nombre entier naturel
- \(-8 \notin \mathbb{N}\) → -8 n’est pas un nombre entier naturel
- \(0 \in \mathbb{N}\) → 0 est un nombre entier naturel (il est nul)
- \(5 \in \mathbb{N}^*\) → 5 est un entier naturel non nul
Nombres pairs et impairs
1) Définitions
Un nombre entier naturel a est :
- Pair s’il existe un entier naturel \(k\) tel que : \(a = 2k\)
- Impair s’il existe un entier naturel \(k\) tel que : \(a = 2k + 1\)
Autrement dit, un nombre pair est divisible par 2, tandis qu’un nombre impair ne l’est pas.
📌 Exemple détaillé :
Nombres pairs : 0, 2, 4, 6, 8, 10, …
0 = 2×0 ; 2 = 2×1 ; 4 = 2×2 ; 6 = 2×3 ; …
Nombres impairs : 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
1 = 2×0+1 ; 3 = 2×1+1 ; 5 = 2×2+1 ; 7 = 2×3+1 ; …
2) Propriétés des opérations sur les pairs et impairs
Les résultats des opérations sur les nombres pairs et impairs suivent des règles précises :
| a | b | a + b | a – b | a × b |
|---|---|---|---|---|
| pair | pair | pair | pair | pair |
| pair | impair | impair | impair | pair |
| impair | pair | impair | impair | pair |
| impair | impair | pair | pair | impair |
📌 Exemple : 4 (pair) + 7 (impair) = 11 (impair) ; 3 (impair) × 5 (impair) = 15 (impair).
Diviseurs et multiples d’un nombre
1) Définitions
Soient \(a\) et \(b\) deux éléments de \(\mathbb{N}\).
- a est un multiple de b s’il existe un entier naturel \(n\) tel que : \(a = b \times n\)
- b est un diviseur de a s’il existe un entier naturel \(n\) tel que : \(a = b \times n\)
Les notions de multiple et de diviseur sont donc dualités : si \(a\) est multiple de \(b\), alors \(b\) est diviseur de \(a\).
📌 Exemple détaillé :
On a : \(145 = 5 \times 29\)
• 145 est un multiple de 5 (et aussi de 29)
• 5 et 29 sont des diviseurs de 145
Remarques importantes :
• Le nombre 0 est un multiple de tous les nombres entiers naturels.
• Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels.
Critères de divisibilité
Les critères de divisibilité permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre, sans effectuer la division.
📌 Tableau des critères :
| Diviseur | Critère |
|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | La somme de ses chiffres est divisible par 3 |
| 4 | Le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 |
| 5 | Le chiffre des unités est : 0 ou 5 |
| 9 | La somme de ses chiffres est divisible par 9 |
📌 Exemples d’application :
- \(4725\) est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
- \(4725\) est divisible par 3 et par 9 car \(4+7+2+5=18\), et 18 est divisible par 3 et par 9.
- \(1628\) est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8.
- \(1628\) est divisible par 4 car les deux derniers chiffres (28) forment un nombre divisible par 4.
Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers
1) Définition d’un nombre premier
Un nombre premier est un entier naturel supérieur ou égal à 2 qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
📌 Exemple :
Les nombres premiers inférieurs à 30 sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Remarque : Le nombre 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur (lui-même).
2) Décomposition en facteurs premiers
Théorème fondamental : Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire de manière unique (à l’ordre près des facteurs) comme un produit de nombres premiers.
📌 Exemple détaillé :
Décomposer 90 en facteurs premiers :
Les facteurs premiers de 90 sont donc 2 (exposant 1) ,3 (exposant 2) et 5 (exposant 1).
L’écriture \(2 \times 3^2 \times 5\) est appelée la décomposition en facteurs premiers de 90.
PGCD et PPCM
1) Définitions
- PGCD(a;b) : Plus Grand Commun Diviseur de a et b. C’est le plus grand nombre entier qui divise à la fois a et b.
- PPCM(a;b) : Plus Petit Commun Multiple de a et b. C’est le plus petit nombre entier (non nul) qui est multiple à la fois de a et de b.
📌 Exemples détaillés :
PGCD(12;15) :
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Diviseurs de 15 : 1, 3, 5, 15
Les diviseurs communs sont 1 et 3 → Le plus grand est 3.
Donc \(PGCD(12;15) = 3\).
PPCM(12;8) :
Multiples de 12 : 0, 12, 24, 36, 48, …
Multiples de 8 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, …
Le plus petit multiple commun (non nul) est 24.
Donc \(PPCM(12;8) = 24\).
2) Calcul du PGCD et PPCM par décomposition en facteurs premiers
- PGCD : produit des facteurs premiers communs avec le plus petit exposant.
- PPCM : produit de tous les facteurs premiers (communs et non communs) avec le plus grand exposant.
📌 Exemple :
Soit \(a = 12 = 2^2 \times 3\) et \(b = 18 = 2 \times 3^2\).
• Facteurs premiers communs : 2 (exposants 2 et 1 → min = 1) et 3 (exposants 1 et 2 → min = 1)
→ \(PGCD(12;18) = 2^1 \times 3^1 = 6\).
• Tous les facteurs : 2 (max des exposants = 2) et 3 (max = 2)
→ \(PPCM(12;18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\).
3) Nombres premiers entre eux
Deux nombres \(a\) et \(b\) sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
📌 Exemple :
\(PGCD(8;15) = 1\) car 8 = 2³ et 15 = 3×5 (aucun facteur commun).
Donc 8 et 15 sont premiers entre eux.
Algorithme d’Euclide
L’algorithme d’Euclide est une méthode efficace pour calculer le PGCD de deux nombres en effectuant des divisions euclidiennes successives. Le PGCD est le dernier reste non nul.
📌 Exemple détaillé : Calcul du PGCD(1053; 325)
On effectue les divisions successives :
\(1053 = 325 \times 3 + 78\)
\(325 = 78 \times 4 + 13\)
\(78 = 13 \times 6 + 0\)
Le dernier reste non nul est 13.
Donc PGCD(1053; 325) = 13.
📌 Deuxième exemple : PGCD(360; 84)
\(360 = 84 \times 4 + 24\)
\(84 = 24 \times 3 + 12\)
\(24 = 12 \times 2 + 0\)
Le dernier reste non nul est 12.
Donc PGCD(360; 84) = 12.
Vérification par décomposition : 360 = 2³×3²×5 ; 84 = 2²×3×7 → PGCD = 2²×3 = 12.
📌 À retenir
- ✅ \(\mathbb{N}\) est l’ensemble des entiers naturels (0, 1, 2, …)
- ✅ Un nombre est pair s’il s’écrit \(2k\), impair s’il s’écrit \(2k+1\)
- ✅ Si \(a = b \times n\), alors \(a\) est multiple de \(b\) et \(b\) diviseur de \(a\)
- ✅ Les critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9) permettent de tester rapidement la divisibilité
- ✅ Un nombre premier n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même
- ✅ Tout nombre se décompose de façon unique en facteurs premiers
- ✅ Le PGCD est le plus grand diviseur commun ; le PPCM est le plus petit multiple commun
- ✅ L’algorithme d’Euclide donne le PGCD par divisions successives
Arithmétique dans IN -Cours