Association des conducteurs ohmiques -Cours

ASSOCIATION DES CONDUCTEURS OHMIQUES

Loi d’Ohm – Résistance équivalente – Diviseur de tension

Le conducteur ohmique

1 – La résistance

Le conducteur ohmique est un dipôle passif caractérisé par une grandeur physique appelée la résistance, notée R.
L’unité de la résistance dans le Système International est l’ohm, notée Ω.

2 – Loi d’Ohm

La tension aux bornes d’un conducteur ohmique est proportionnelle à l’intensité du courant I qui le traverse.

\(U = R \cdot I\)
U : tension en volts (V) | R : résistance en ohms (Ω) | I : intensité en ampères (A)

Remarque : La caractéristique \(U = f(I)\) d’un conducteur ohmique est linéaire. Le coefficient directeur de la droite est la résistance R.

La conductance G d’un conducteur ohmique est l’inverse de sa résistance R. L’unité de G est le siemens (S).

\(G = \frac{1}{R}\) ⇔ \(G = \frac{I}{U}\)

3 – Résistance d’un fil métallique

La résistance d’un fil métallique dépend de sa longueur L, de sa section S et de la nature du matériau (résistivité ρ).

\(R = \rho \cdot \frac{L}{S}\)

L longueur du fil en mètres (m)

ρ résistivité en ohms·mètres (Ω·m)

S section du fil en m² (m²)

Association des conducteurs ohmiques

Association en série

Deux conducteurs ohmiques de résistances R1 et R2 associés en série sont équivalents à un conducteur ohmique de résistance R.

Loi d’additivité des tensions : \(U = U_1 + U_2\)

Loi d’Ohm : \(U = R I\), \(U_1 = R_1 I\), \(U_2 = R_2 I\)

D’où : \(R I = R_1 I + R_2 I\) ⇒ \(R = R_1 + R_2\)

Généralisation (n résistances en série) : \(R = R_1 + R_2 + \dots + R_n\)

Association en dérivation (parallèle)

Deux conducteurs ohmiques de résistances R1 et R2 associés en dérivation sont équivalents à un conducteur ohmique de résistance R.

Loi des nœuds : \(I = I_1 + I_2\) | Tensions : \(U = U_1 = U_2\)

Loi d’Ohm : \(I = \frac{U}{R}\), \(I_1 = \frac{U}{R_1}\), \(I_2 = \frac{U}{R_2}\)

Donc : \(\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}\) ⇒

\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)

Généralisation (n résistances en dérivation) :
\(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}\)

III

Diviseur de tension

1 – Montage potentiométrique

Pour obtenir une tension variable à partir d’un générateur continu, on réalise un montage diviseur de tension (ou montage potentiométrique) à l’aide d’un rhéostat.

Rhéostat : résistance variable à trois bornes A, B et C. \(R_{AB}\) est la résistance totale ; si on déplace le curseur C de A vers B, la résistance utilisée est \(R_{CB}\).

2 – Tension de sortie \(U_{CB}\)

Loi d’Ohm :

\(U_{CB} = R_{CB} \cdot I\)

\(U_{AB} = R_{AB} \cdot I\)

\(\Rightarrow \frac{U_{CB}}{U_{AB}} = \frac{R_{CB}}{R_{AB}}\)

\(U_{CB} = \frac{R_{CB}}{R_{AB}} \cdot U_{AB}\)

Exemple : Si \(R_{CB} = \frac{R_{AB}}{4}\), alors \(U_{CB} = \frac{U_{AB}}{4}\).

Exercice d’application

On donne : \(R_1 = 20\ \Omega\) ; \(R_2 = 40\ \Omega\) ; \(R_3 = 140\ \Omega\)

Calculer la valeur de R la résistance équivalente de l’association des conducteurs ohmiques R1, R2 et R3.

Étape 1 R1 et R2 sont montés en série, la résistance équivalente est :

\(R’ = R_1 + R_2 = 20 + 40 = 60\ \Omega\)

Étape 2 R’ et R3 sont associées en dérivation, la résistance équivalente est :

\(R = \frac{R’ \cdot R_3}{R’ + R_3} = \frac{60 \times 140}{60 + 140} = 42\ \Omega\)

Résistance équivalente : \(R = 42\ \Omega\)

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