Calcul Littéral et Identités Remarquables – exercices corrigés
Exercice 1:
Réduire les expressions suivantes :
$A=(x+3)-(x+5)-(x-7) $
$B=-\left(x^{2}-x\right)-(x-1)-\left(1-x^{2}\right)$
$C=x^{2}-\left(3 x^{2}-5 x^{2}\right)+\left(x^{2}-8 x^{2}\right)-2 x^{2}$
$D=-4 x+x^{2}-\left(6+5 x^{2}\right)+3 x-\left(10-8 x^{2}\right)+2 x$
$E=-\left(4+3 x-2 x^{2}\right)-\left(4 x-x^{2}\right)-\left(x^{2}-x\right)$
$F=2 x^{3}+4-\left(-6 x^{2}+x\right)-\left(-2 x+9 x^{3}\right)-\left(3 x^{2}-9 x\right)$
$ A=(x+3)-(x+5)-(x-7) $
$ A=x+3-x-5-x+7 $
$ A=x-x-x+3-5+7 $
$ A=-x+5$
$ B=-\left(x^{2}-x\right)-(x-1)-\left(1-x^{2}\right) $
$ B=-x^{2}+x-x+1-1+x^{2} $
$B=-x^{2}+x^{2}+x-x+1-1 $
$ B=0$
$ C=x^{2}-\left(3 x^{2}-5 x^{2}\right)+\left(x^{2}-8 x^{2}\right)-2 x^{2} $
$ C=x^{2}-\left(-2 x^{2}\right)+\left(-7 x^{2}\right)-2 x^{2} $
$C=x^{2}+2 x^{2}-7 x^{2}-2 x^{2} $
$ C=x^{2}(1+2-7-2) $
$ C=-6 x^{2} $
$ D=-4 x+x^{2}-\left(6+5 x^{2}\right)+3 x-\left(10-8 x^{2}\right)+2 x $
$ D=-4 x+x^{2}-6-5 x^{2}+3 x-10+8 x^{2}+2 x $
$ D=+x^{2}-5 x^{2}+8 x^{2}-4 x+3 x+2 x-6-10 $
$ D=x^{2}(1-5+8)+x(-4+3+2)-6-10 $
$ D=4 x^{2}+x-16 $
$ E=-\left(4+3 x-2 x^{2}\right)-\left(4 x-x^{2}\right)-\left(x^{2}-x\right) $
$ E=-4-3 x+2 x^{2}-4 x+x^{2}-x^{2}+x $
$ E=+2 x^{2}+x^{2}-x^{2}-3 x-4 x+x-4 $
$ E=x^{2}(2+1-1)+x(-3-4+1)-4 $
$ E=2 x^{2}-6 x-4 $
$ F=2 x^{3}+4-\left(-6 x^{2}+x\right)-\left(-2 x+9 x^{3}\right)-\left(3 x^{2}-9 x\right) $
$ F=2 x^{3}+4+6 x^{2}-x+2 x-9 x^{3}-3 x^{2}+9 x $
$ F=2 x^{3}-9 x^{3}+6 x^{2}-3 x^{2}-x+2 x+9 x+4 $
$ F=x^{3}(2-9)+x^{2}(6-3)+x(-1+2+9)+4 $
$ F=-7 x^{3}+3 x^{2}+10 x+4 $
$ G=\frac{1}{4} x^{2}-\left(\frac{3}{2} x+\frac{1}{2} x^{2}\right)-\left(\frac{4}{5}-\frac{5}{4} x\right) $
$ G=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{3}{2} x-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{4}{5}+\frac{5}{4} x $
$ G=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{2} x+\frac{5}{4} x-\frac{4}{5} $
$ G=x^{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)+x\left(-\frac{3}{2}+\frac{5}{4}\right)-\frac{4}{5} $
$ G=x^{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{2}{4}\right)+x\left(-\frac{6}{4}+\frac{5}{4}\right)-\frac{4}{5} $
$ G=-\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{4} x-\frac{4}{5}$
Exercice 2:
Réduire chacune des expressions littérales suivantes :
$A=-(-2 x+2)+3 x+9$
$B=-6 x-(-7 x+8)+2$
$C=-(5 x-1)+2-3 x$
$ D=-5-7 x+(2 x+2) $
$ E=-(8 x+8)-9 x-6 $
$ F=(-4 x-9)+3 x+8$
$G=-(5 x-8)-6-7 x$
$H=6 x-(-10 x-4)-8$
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Exercice 3:
Utiliser les formules $«k(a+b)=ka+k b$ » et $«k(a – b) = ka – kb»$ pour développer les expressions suivantes:
$ 3 (a + 6 ) = $
$ 3 ( x + 4 ) = $
$a ( a + 6 ) = $
$ b ( 7 – b ) = $
$ 7 ( x^{2} – 5 ) = $
$ 5 ( a^{2} – 3 ) = $
$ -2 ( x – 4 ) = $
$ -6 ( 2 – 3 x ) = $
$ -x ( 3x – x^{2} ) =$
$x^{2} ( -4x + 5 ) = $
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Exercice 4:
Développer et réduire les expressions suivantes :
$A=(-7 x+7)(-x-1)$
$B=(-8 x+6)(4 x+10)$
$C=(7 x-7)(10 x+8)$
$ D=(-7 x-1)(-3 x+6) $
$ E=(-x-2)(-4 x-7) $
$ F=(6 x-4)(8 x-5)$
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Exercice 5:
$1)$ Souligner le facteur commun dans chaque expression:
$A=\underline{3} x+\underline{3} y $
$B=-3 a+3 b $
$C=7 x+12 x $
$E=-6(3 x-2)-(3 x-2)(x-4) $
$E=(x+2)(x+1)+(x+2)(7 x-5) $
$F=(2 x+1)^{2}+(2 x+1)(x+3) $
$G=(x+1)(2 x-3)+(x+1)(5 x+1) $
$H=(3 x-4)(2-x)-(3 x-4)^{2} $
$I=(6 x+4)(2+3 x)+(2+3 x)(7-x) $
$J=(3+x)(5 x+2)+(x+3)^{2}$
$2)$ Factoriser chaque expression en utilisant la règle $« ka + kb = k(a + b) »$ :
$A=4 x+4 y$
$B=$ $6 \times 9+6 \times 3$
$C=\quad 8 a+8 b$
$D=\quad 5 \times 3+3 \times 14$
$E= 2+2 x$
$F= 7 a+7$
$G=4 x^{2}+4 x$
$H=6 y+6 y^{2}$
$I= 3 x^{2}+5 x$
$J= 2 a b+b^{2}$
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Exercice 6:
Factoriser les expressions suivantes comme dans l’exemple :
$\mathbf{Z}=(\underline{\mathbf{x}+\mathbf{1}})(\mathbf{x}-\mathbf{2})+5(\underline{\mathbf{x}+\mathbf{1}})$
$\mathbf{Z}=(\mathbf{x}+\mathbf{1})[(\mathbf{x}-\mathbf{2})+5]$
$\mathbf{Z}=(\mathbf{x}+\mathbf{1})(\mathbf{x}+3)$
$A=(x-3)(2 x+1)+7(2 x+1)$
$B=(x+1)(x+2)-5(x+2)$
$C=(3-x)(4 x+1)-8(4 x+1)$
$D=5(1+2 x)-(x+1)(1+2 x)$
$E=-6(3 x-2)-(3 x-2)(x-4)$
$F=(x+1)(3-x)+(x+1)(2+5 x)$
$G=(x+2)(x+1)+(x+2)(7 x-5)$
$H=(x+1)^{2}+(x+1)(3 x+1)$
$I=(2 x+1)^{2}+(2 x+1)(x+3)$
$J=(x-3)^{2}-(x-3)(4 x+1)$
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Exercice 7:
Transformer l’expression soulignée, pour faire apparaître le facteur commun, puis factoriser :
$\mathbf{Z}=(x-1)(x-2)+(\underline{2 x-2})(x+7)$
$\mathbf{Z}=(\underline{x-1})(x-2)+2(\underline{x-1})(x+7)$
$\mathbf{Z}=(x-1)[(x-2)+2(x+7)]$
$\mathbf{Z}=(x-1)(x-2+2 x+14)$
$\mathbf{Z}=(x-1)(3 x+12)$
$A=(x+1)(x+2)+(\underline{2 x+2})(3 x-4)$
$B=(x-1)(2 x+1)+(\underline{6 x+3})(3-x)$
$C=(\underline{10 x-5})(x+2)+(1-x)(2 x-1)$
$D=(\underline{4 x+4})(1-2 x)+(x+1)^{2}$
$E=(2 x+1)^{2}-(x+3)(\underline{10 x+5})$
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Exercice 8:
$1)$Développer en utilisant l’identité remarquable: $(\mathbf{a}+\mathbf{b})^{\mathbf{2}}=\mathbf{a}^{\mathbf{2}}+\mathbf{2 a b}+\mathbf{b}^{\mathbf{2}}$
$\mathrm{~A}=(3+x)^{2}$
$\mathrm{~B}=(x+5)^{2}$
$\mathrm{C}=(2 x+1)^{2}$
$\mathrm{D}=(1+3 x)^{2}$
$\mathrm{E}=(3 x+2)^{2}$
$\mathrm{~F}=(5 x+3)^{2}$
$\mathrm{H}=(3+4 x)^{2}$
$\mathrm{G}=\left(x^{2}+1\right)^{2}$
$2)$ Développer en utilisant l’identité remarquable : $( \mathbf{a}-\mathbf{b})^{\mathbf{2}}=\mathbf{a}^{\mathbf{2}} \mathbf{- 2 a b}+\mathbf{b}^{\mathbf{2}}$
$\mathrm{~A}=(x-2)^{2}$
$\mathrm{~B}=(1-3 x)^{2}$
$\mathrm{C}=(3-x)^{2}$
$\mathrm{D}=(2 x-1)^{2}$
$\mathrm{E}=(3-5 x)^{2}$
$\mathrm{~F}=(3 x-2)^{2}$
$\mathrm{G}=(4 x-3)^{2}$
$\mathrm{H}=\left(4-3 x^{2}\right)^{2}$
$3)$ Développer en utilisant l’identité remarquable: $\mathbf{( a + b})(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}^{\mathbf{2}} \mathbf{-} \mathbf{b}^{\mathbf{2}}$
$\mathrm{A}=(x+2)(x-2)$
$\mathrm{B}=(x+3)(x-3)$
$\mathrm{C}=(3 x-1)(3 x+1)$
$\mathrm{D}=(2 x+1)(2 x-1)$
$\mathrm{E}=(5+3 x)(5-3 x)$
$\mathrm{F}=(3 x-2)(3 x+2)$
$\mathrm{G}=(3+4 x)(3-4 x)$
$\mathrm{H}=\left(4 x^{2}+3\right)\left(4 x^{2}-3\right)$
$1)$
$ \mathrm{A}=(3+x)^{2} $
$ \mathrm{~A}=3^{2}+2 \times 3 \times x+x^{2} $
$ \mathrm{~A}=9+6 x+x^{2}$
$ B=(x+5)^{2} $
$ B=x^{2}+2 \times x \times 5+5^{2} $
$ B=x^{2}+10 x+25$
$ \mathrm{C}=(2 x+1)^{2} $
$ \mathrm{C}=(2 x)^{2}+2 \times 2 x \times 1+1^{2} $
$ \mathrm{C}=4 x^{2}+4 x+1$
$ D=(1+3 x)^{2} $
$ D=1^{2}+2 \times 1 \times 3 x+(3 x)^{2} $
$ D=1+6 x+9 x^{2}$
$ \mathrm{E}=(3 x+2)^{2} $
$ \mathrm{E}=(3 x)^{2}+2 \times 3 x \times 2+2^{2} $
$ \mathrm{E}=9 x^{2}+12 x+4$
$ \mathrm{F}=(5 x+3)^{2} $
$ \mathrm{~F}=(5 x)^{2}+2 \times 5 x \times 3+3^{2} $
$ \mathrm{~F}=25 x^{2}+30 x+9$
$ \mathrm{G}=\left(x^{2}+1\right)^{2} $
$ \mathrm{G}=\left(x^{2}\right)^{2}+2 \times x^{2} \times 1+1^{2} $
$\mathrm{G}=x^{4}+2 x^{2}+1$
$ H=(3+4 x)^{2} $
$ H=3^{2}+2 \times 3 \times 4 x+(4 x)^{2} $
$ H=9+24 x+16 x^{2}$
$2)$
$ \mathrm{A}=(x-2)^{2} $
$ \mathrm{~A}=x^{2}-2 \times x \times 2+2^{2} $
$ \mathrm{~A}=x^{2}-4 x+4$
$B=(1-3 x)^{2} $
$ B=1^{2}-2 \times 1 \times 3 x+(3 x)^{2} $
$ B=1-6 x+9 x^{2}$
$ C=(3-x)^{2} $
$C=3^{2}-2 \times 3 \times x+x^{2} $
$ C=9-6 x+x^{2}$
$ D=(2 x-1)^{2} $
$ D=(2 x)^{2}-2 \times 2 x \times 1+1^{2} $
$ D=4 x^{2}-4 x+1$
$ E=(3-5 x)^{2} $
$E=3^{2}-2 \times 3 \times 5 x+(5 x)^{2} $
$ E=9-30 x+25 x^{2}$
$ \mathrm{F}=(3 x-2)^{2} $
$ \mathrm{~F}=(3 x)^{2}-2 \times 3 x \times 2+2^{2} $
$ \mathrm{~F}=9 x^{2}-12 x+4$
$ \mathrm{G}=(4 x-3)^{2} $
$ \mathrm{G}=(4 x)^{2}-2 \times 4 x \times 3+3^{2} $
$ \mathrm{G}=16 x^{2}-24 x+9$
$ H=\left(4-3 x^{2}\right)^{2} $
$ H=4^{2}-2 \times 4 \times 3 x^{2}+\left(3 x^{2}\right)^{2} $
$ H=16-24 x^{2}+9 x^{4}$
$3)$
$ \mathrm{A}=(x+2)(x-2) $
$ \mathrm{A}=x^{2}-2^{2} $
$ \mathrm{~A}=x^{2}-4$
$ \mathrm{B}=(x+3)(x-3) $
$ \mathrm{B}=x^{2}-3^{2} $
$ \mathrm{~B}=x^{2}-9$
$ C=(3 x-1)(3 x+1) $
$ C=(3 x)^{2}-1^{2} $
$ C=9 x^{2}-1$
$ D=(2 x+1)(2 x-1) $
$ D=(2 x)^{2}-1^{2} $
$ D=4 x^{2}-1$
$ E=(5+3 x)(5-3 x) $
$ E=5^{2}-(3 x)^{2} $
$ E=25-9 x^{2}$
$ \mathrm{F}=(3 x-2)(3 x+2)$
$ \mathrm{F}=(3 x)^{2}-2^{2} $
$\mathrm{~F}=9 x^{2}-4$
$ \mathrm{G}=(3+4 x)(3-4 x) $
$\mathrm{G}=3^{2}-(4 x)^{2} $
$ \mathrm{G}=9-16 x^{2}$
$ H=\left(4 x^{2}+3\right)\left(4 x^{2}-3\right) $
$ H=\left(4 x^{2}\right)^{2}-3^{2} $
$ H=16 x^{4}-9$
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Exercice 9:
$1)$Factoriser en utilisant l’identité remarquable: $\mathbf{a}^{\mathbf{2}}+\mathbf{2 a b}+\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})^{\mathbf{2}}$
$A=x^{2}+10 x+25$
$B=x^{2}+6 x+9$
$C=36+12 x+x^{2}$
$D=4 x^{2}+12 x+9$
$E=16 x^{2}+40 x+25$
$2)$Factoriser en utilisant l’identité remarquable: $\mathbf{a}^{\mathbf{2}}-\mathbf{2 a b}+\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=(\mathbf{a}-\mathbf{b})^{\mathbf{2}}$
$A=x^{2}-2 x+1$
$B=4 x^{2}-20 x+25$
$C=9-6 x+x^{2}$
$D=36 x^{2}-12 x+1$
$E=100-40 x+4 x^{2}$
$3)$ Factoriser en utilisant l’identité remarquable : $\mathbf{a}^{2}-\mathbf{b}^{2}=(a+b)(a-b)$
$A=x^{2}-4$
$B=9-x^{2}$
$C=x^{2}-16$
$E=25-x^{2}$
$F=4 x^{2}-9$
$G=16-9 x^{2}$
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Exercice 10:
On donne : $D = (2x – 3)(5 – x) + (2x – 3)^{2}$
$1)$ Développer et réduire $D$.
$2)$ Factoriser $D$.
$3)$ Résoudre l’équation : $(2x – 3)(x + 2) = 0$
$1)$ $D=(2 x-3)(5-x)+(2 x-3)^{2}$
$D=(2 x \times 5-3 \times 5-2 x \times x+3 \times x)+\left((2 x)^{2}-2 x 2 x \times 3+3^{2}\right)$
$D=10 x-15-2 x^{2}+3 x+4 x^{2}-12 x+9$
$D=(4-2) x^{2}+(10+3-12) x-15+9$
$D=2 x^{2}+x-6$
$2)$ $D=(2 x-3)(5-x)+(2 x-3)^{2}$
$D=(2 x-3)[(5-x)+(2 x-3)]$
$D=(2 x-3)(5-x+2 x-3)$
$D=(2 x-3)((2-1) x+5-3)$
$D=(2 x-3)(x+2)$
$3)$ Résoudre l’équation: $(2 x-3)(x+2)=0$
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul
$2 x-3=0$ Ou $x+2=0$
$2 x=3$ Ou $x=-2$
$x=\frac{3}{2}$ Ou $x=-2$
L’équation a deux solutions :$-2$ et $\frac{3}{2}$.
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Exercice 11:
Soit $D = ( 2x + 3)^{2} + ( 2x + 3 ) ( 7x – 2 )$.
$1)$ Développer et réduire $D$.
$2)$ Factoriser $D$.
$3)$ Calculer $D$ pour $x = -4$.
$4)$ Résoudre l’équation $( 2x + 3 ) ( 9x + 1 ) = 0$.
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Exercice 12:
On considère l’expression : $E = (3x + 2)^{2} – (5 – 2x)(3x + 2)$.
$1 )$ Développer et réduire l’expression $E$.
$2)$ Factoriser $E$.
$3)$ Calculer la valeur de $E$ pour $x = -2$.
$4)$ Résoudre l’équation $(3x + 2) (5x – 3) = 0$ .
$5)$ Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
$1)$ Développer et réduire l’expression $E$.
$E=(3 x+2)^{2}-(5-2 x)(3 x+2)$
$E=\left((3 x)^{2}+2 \times 3 x \times 2+2^{2}\right)-(5 \times 3 x-2 x \times 3 x+5 \times 2-2 x \times 2)$
$E=\left(9 x^{2}+12 x+4\right)-\left(15 x-6 x^{2}+10-4 x\right)$
$E=9 x^{2}+12 x+4-15 x+6 x^{2}-10+4 x$
$E=(9+6) x^{2}+(12-15+4) x+4-10$
$E=15 x^{2}+x-6$
$2)$Factoriser $E$.
$E=(3 x+2)^{2}-(5-2 x)(3 x+2)=(3 x+2)[(3 x+2)-(5-2 x)]=(3 x+2)(3 x+2-5+2 x)=(3 x+2)(5 x-3)$
$3)$ Calculer la valeur de E pour $x=-2$.
Prenons la forme développée de l’expression :
$E=15 \times(-2)^{2}+(-2)-6=15 \times 4-2-6=60-2-6=52$
Vérifions nos calculs précédents en effectuant le calcul à partir de la forme factorisée :
$E=(3 \times(-2)+2)(5 \times(-2)-3)=(-6+2)(-10-3)=(-4) \times(-13)=52$
$4)$ Résoudre l’équation $(3 x+2)(5 x-3)=0$.
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
$3 x+2=0$ Ou $5 x-3=0$
$3 x=-2$ Ou $5 x=3$
$x=-\frac{2}{3}$ Ou $x=\frac{3}{5}=0,6$
$5)$ L’équation a deux solutions $-\frac{2}{3}$ et $0,6$ . Seule cette deuxième valeur est décimale.
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Calcul Littéral et Identités Remarquables – exercices corrigés