Calcul Littéral et Identités Remarquables – exercices corrigés
Exercice 1:
Réduire les expressions suivantes :
$A=(x+3)-(x+5)-(x-7) $
$B=-\left(x^{2}-x\right)-(x-1)-\left(1-x^{2}\right)$
$C=x^{2}-\left(3 x^{2}-5 x^{2}\right)+\left(x^{2}-8 x^{2}\right)-2 x^{2}$
$D=-4 x+x^{2}-\left(6+5 x^{2}\right)+3 x-\left(10-8 x^{2}\right)+2 x$
$E=-\left(4+3 x-2 x^{2}\right)-\left(4 x-x^{2}\right)-\left(x^{2}-x\right)$
$F=2 x^{3}+4-\left(-6 x^{2}+x\right)-\left(-2 x+9 x^{3}\right)-\left(3 x^{2}-9 x\right)$
$ A=(x+3)-(x+5)-(x-7) $
$ A=x+3-x-5-x+7 $
$ A=x-x-x+3-5+7 $
$ A=-x+5$
$ B=-\left(x^{2}-x\right)-(x-1)-\left(1-x^{2}\right) $
$ B=-x^{2}+x-x+1-1+x^{2} $
$B=-x^{2}+x^{2}+x-x+1-1 $
$ B=0$
$ C=x^{2}-\left(3 x^{2}-5 x^{2}\right)+\left(x^{2}-8 x^{2}\right)-2 x^{2} $
$ C=x^{2}-\left(-2 x^{2}\right)+\left(-7 x^{2}\right)-2 x^{2} $
$C=x^{2}+2 x^{2}-7 x^{2}-2 x^{2} $
$ C=x^{2}(1+2-7-2) $
$ C=-6 x^{2} $
$ D=-4 x+x^{2}-\left(6+5 x^{2}\right)+3 x-\left(10-8 x^{2}\right)+2 x $
$ D=-4 x+x^{2}-6-5 x^{2}+3 x-10+8 x^{2}+2 x $
$ D=+x^{2}-5 x^{2}+8 x^{2}-4 x+3 x+2 x-6-10 $
$ D=x^{2}(1-5+8)+x(-4+3+2)-6-10 $
$ D=4 x^{2}+x-16 $
$ E=-\left(4+3 x-2 x^{2}\right)-\left(4 x-x^{2}\right)-\left(x^{2}-x\right) $
$ E=-4-3 x+2 x^{2}-4 x+x^{2}-x^{2}+x $
$ E=+2 x^{2}+x^{2}-x^{2}-3 x-4 x+x-4 $
$ E=x^{2}(2+1-1)+x(-3-4+1)-4 $
$ E=2 x^{2}-6 x-4 $
$ F=2 x^{3}+4-\left(-6 x^{2}+x\right)-\left(-2 x+9 x^{3}\right)-\left(3 x^{2}-9 x\right) $
$ F=2 x^{3}+4+6 x^{2}-x+2 x-9 x^{3}-3 x^{2}+9 x $
$ F=2 x^{3}-9 x^{3}+6 x^{2}-3 x^{2}-x+2 x+9 x+4 $
$ F=x^{3}(2-9)+x^{2}(6-3)+x(-1+2+9)+4 $
& F=-7 x^{3}+3 x^{2}+10 x+4 $
$ G=\frac{1}{4} x^{2}-\left(\frac{3}{2} x+\frac{1}{2} x^{2}\right)-\left(\frac{4}{5}-\frac{5}{4} x\right) $
$ G=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{3}{2} x-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{4}{5}+\frac{5}{4} x $
$ G=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{2} x+\frac{5}{4} x-\frac{4}{5} $
$ G=x^{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)+x\left(-\frac{3}{2}+\frac{5}{4}\right)-\frac{4}{5} $
$ G=x^{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{2}{4}\right)+x\left(-\frac{6}{4}+\frac{5}{4}\right)-\frac{4}{5} $
$ G=-\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{4} x-\frac{4}{5}$
Exercice 2:
Réduire chacune des expressions littérales suivantes :
$A=-(-2 x+2)+3 x+9$
$B=-6 x-(-7 x+8)+2$
$C=-(5 x-1)+2-3 x$
$ D=-5-7 x+(2 x+2) $
$ E=-(8 x+8)-9 x-6 $
$ F=(-4 x-9)+3 x+8$
$G=-(5 x-8)-6-7 x$
$H=6 x-(-10 x-4)-8$
$A=-(-2 x+2)+3 x+9$
$A=2 x-2+3 x+9$
$A=2 x+3 x-2+9$
$A=(2+3) x+7$
$A=5 x+7$
$B=-6 x-(-7 x+8)+2$
$B=-6 x+7 x-8+2$
$B=(-6+7) x-6$
$B=x-6$
$C=-(5 x-1)+2-3 x$
$C=-5 x+1+2-3 x$
$C=-5 x-3 x+1+2$
$C=(-5-3) x+3$
$C=-8 x+3$
$D=-5-7 x+(2 x+2)$
$D=-7 x-5+2 x+2$
$D=-7 x+2 x-5+2$
$D=(-7+2) x-3$
$D=-5 x-3$
$E=-(8 x+8)-9 x-6$
$E=-8 x-8-9 x-6$
$E=-8 x-9 x-8-6$
$E=(-8-9) x-14$
$E=-17 x-14$
$F=(-4 x-9)+3 x+8$
$F=-4 x-9+3 x+8$
$F=-4 x+3 x-9+8$
$F=(-4+3) x-1$
$F=-x-1$
$G=-(5 x-8)-6-7 x$
$G=-5 x+8-6-7 x$
$G=-5 x-7 x+8-6$
$G=(-5-7) x+2$
$G=-12 x+2$
$H=6 x-(-10 x-4)-8$
$H=6 x+10 x+4-8$
$H=(6+10) x-4$
$H=16 x-4$
Exercice 3:
Utiliser les formules «k(a+b)=ka $+k b$ » et «k(a – b) = ka – kb» pour développer les expressions suivantes:
$ 3 (a + 6 ) = $
$ 3 ( x + 4 ) = $
$a ( a + 6 ) = $
$ b ( 7 – b ) = $
$ 7 ( x^{2} – 5 ) = $
$ 5 ( a^{2} – 3 ) = $
$ -2 ( x – 4 ) = $
$ -6 ( 2 – 3 x ) = $
$ -x ( 3x – x^{2} ) =$
$x^{2} ( -4x + 5 ) = $
$ 3 (a + 6 ) =3a+18 $
$ 3 ( x + 4 ) = 3x+12$
$a ( a + 6 ) = a^{2}+6a$
$ b ( 7 – b ) = 7b- b^{2}$
$ 7 ( x^{2} – 5 ) =7 x^{2}-35 $
$ 5 ( a^{2} – 3 ) = 5 a^{2}-15$
$ -2 ( x – 4 ) = -2x+8$
$ -6 ( 2 – 3 x ) = -12+18x$
$ -x ( 3x – x^{2} ) =-3 x^{2}+ x^{3}$
$x^{2} ( -4x + 5 ) = -4 x^{3}+5 x^{2}$
Exercice 4:
Développer et réduire les expressions suivantes :
$A=(-7 x+7)(-x-1)$
$B=(-8 x+6)(4 x+10)$
$C=(7 x-7)(10 x+8)$
$ D=(-7 x-1)(-3 x+6) $
$ E=(-x-2)(-4 x-7) $
$ F=(6 x-4)(8 x-5)$
$A=(-7 x+7)(-x-1)$
$A=7 x^{2}+7 x+(-7 x)+(-7)$
$A=7 x^{2}-7$
$B=(-8 x+6)(4 x+10)$
$B=-32 x^{2}+(-80 x)+24 x+60$
$B=-32 x^{2}-56 x+60$
$C=(7 x-7)(10 x+8)$
$C=70 x^{2}+56 x+(-70 x)+(-56)$
$C=70 x^{2}-14 x-56$
$ D=(-7 x-1)(-3 x+6)$
$D=21 x^{2}+(-42 x)+3 x+(-6)$
$D=21 x^{2}-39 x-6$
$E=(-x-2)(-4 x-7)$
$E=4 x^{2}+7 x+8 x+14$
$E=4 x^{2}+15 x+14$
$ F=(6 x-4)(8 x-5) $
$ F=48 x^{2}+(-30 x)+(-32 x)+20$
$F=48 x^{2}-62 x+20$
Exercice 5:
$1)$ Souligner le facteur commun dans chaque expression:
$A=\underline{3} x+\underline{3} y $
$B=-3 a+3 b $
$C=7 x+12 x $
$E=-6(3 x-2)-(3 x-2)(x-4) $
$E=(x+2)(x+1)+(x+2)(7 x-5) $
$F=(2 x+1)^{2}+(2 x+1)(x+3) $
$G=(x+1)(2 x-3)+(x+1)(5 x+1) $
$H=(3 x-4)(2-x)-(3 x-4)^{2} $
$I=(6 x+4)(2+3 x)+(2+3 x)(7-x) $
$J=(3+x)(5 x+2)+(x+3)^{2}$
$2)$ Factoriser chaque expression en utilisant la règle $« ka + kb = k(a + b) »$ :
$A=4 x+4 y$
$B=$ $6 \times 9+6 \times 3$
$C=\quad 8 a+8 b$
$D=\quad 5 \times 3+3 \times 14$
$E= 2+2 x$
$F= 7 a+7$
$G=4 x^{2}+4 x$
$H=6 y+6 y^{2}$
$I= 3 x^{2}+5 x$
$J= 2 a b+b^{2}$
$1)$
$A=\underline{3} x+\underline{3} \underline{y} $
$B=-\underline{3} a+\underline{3} b $
$C=7 \underline{x}+12 \underline{x} $
$D=-6\underline{(3 x-2)}-\underline{(3 x-2)}(x-4) $
$E=\underline{(x+2)}(x+1)+\underline{(x+2)}(7 x-5)$
$F=\underline{(2 x+1)^{2}}+\underline{(2 x+1)}(x+3) $
$G=\underline{(x+1)}(2 x-3)+\underline{(x+1)}(5 x+1)$
$H=\underline{(3 x-4)}(2-x)-\underline{(3 x-4)^{2}} $
$I=(6 x+4) \underline{(2+3 x)}+\underline{(2+3 x)}(7-x) $
$J=\underline{(x+3)}(5 x+2)+\underline{(x+3)^{2}}$
$2)$
$ A=\quad 4 x+4 y \quad= 4(x+y) $
$ B=6 \times 9+6 \times 3 \quad=\quad 6(9+3) $
$ C=\quad 8 a+8 b \quad=\quad 8(a+b) $
$ D=5 \times 3+3 \times 14 \quad=\quad 3(5+14) $
$ E=\quad 2+2 x \quad =2(1+x) $
$ F=\quad 7 a+7 \quad=\quad 7(a+1) $
$ G=4 x^{2}+4 x \quad=\quad 4 x(x+1) $
$ H=\quad 6 y+6 y^{2} \quad=\quad 6 y(1+y)$
$ I=\quad 3 x^{2}+5 x \quad=\quad x(3 x+5) $
$ J=\quad 2 a b+b^{2} \quad=\quad b(2 a+b)$
Exercice 6:
Factoriser les expressions suivantes comme dans l’exemple :
$\mathbf{Z}=(\underline{\mathbf{x}+\mathbf{1}})(\mathbf{x}-\mathbf{2})+5(\underline{\mathbf{x}+\mathbf{1}})$
$\mathbf{Z}=(\mathbf{x}+\mathbf{1})[(\mathbf{x}-\mathbf{2})+5]$
$\mathbf{Z}=(\mathbf{x}+\mathbf{1})(\mathbf{x}+3)$
$A=(x-3)(2 x+1)+7(2 x+1)$
$B=(x+1)(x+2)-5(x+2)$
$C=(3-x)(4 x+1)-8(4 x+1)$
$D=5(1+2 x)-(x+1)(1+2 x)$
$E=-6(3 x-2)-(3 x-2)(x-4)$
$F=(x+1)(3-x)+(x+1)(2+5 x)$
$G=(x+2)(x+1)+(x+2)(7 x-5)$
$H=(x+1)^{2}+(x+1)(3 x+1)$
$I=(2 x+1)^{2}+(2 x+1)(x+3)$
$J=(x-3)^{2}-(x-3)(4 x+1)$
$A=(x-3)(2 x+1)+7(2 x+1)$
$A=(2 x+1)[(x-3)+7]$
$A=(2 x+1)(x+4)$
$B=(x+1)(x+2)-5(x+2)$
$B=(x+2)[(x+1)-5]$
$B=(x+2)(x-4)$
$C=(3-x)(4 x+1)-8(4 x+1)$
$C=(4 x+1)[(3-x)-8]$
$C=(4 x+1)(-x-5)$
$D=5(1+2 x)-(x+1)(1+2 x)$
$D=(1+2 x)[5-(x+1)]$
$D=(1+2 x)(4-x)$
$E=-6(3 x-2)-(3 x-2)(x-4)$
$E=(3 x-2)[-6-(x-4)]$
$E=(3 x-2)[-6-x+4]$
$E=(3 x-2)(-2-x)$
$F=(x+1)(3-x)+(x+1)(2+5 x)$
$F=(x+1)[(3-x)+(2+5 x)]$
$F=(x+1)[3-x+2+5 x]$
$F=(x+1)[5+4x]$
$G=(x+2)(x+1)+(x+2)(7 x-5)$
$G=(x+2)[(x+1)+(7 x-5)]$
$G=(x+2)[x+1+7 x-5]$
$G=(x+2)[8x-4]$
$H=(x+1)^{2}+(x+1)(3 x+1)$
$H=(x+1)[(x+1)+(3 x+1)]$
$H=(x+1)[x+1+3 x+1]$
$H=(x+1)(4 x+2)$
$I=(2 x+1)^{2}+(2 x+1)(x+3)$
$I=(2 x+1)[(2 x+1)+(x+3)]$
$I=(2 x+1)[2 x+1+x+3]$
$I=(2 x+1)(3 x+4)$
$J=(x-3)^{2}-(x-3)(4 x+1)$
$J=(x-3)[(x-3)-(4 x+1)]$
$J=(x-3)[x-3-4 x-1]$
$J=(x-3)(-3 x-4)$
Exercice 7:
Transformer l’expression soulignée, pour faire apparaître le facteur commun, puis factoriser :
$\mathbf{Z}=(x-1)(x-2)+(\underline{2 x-2})(x+7)$ \\
$\mathbf{Z}=(\underline{x-1})(x-2)+2(\underline{x-1})(x+7)$
$\mathbf{Z}=(x-1)[(x-2)+2(x+7)]$
$\mathbf{Z}=(x-1)(x-2+2 x+14)$
$\mathbf{Z}=(x-1)(3 x+12)$
$A=(x+1)(x+2)+(\underline{2 x+2})(3 x-4)$
$B=(x-1)(2 x+1)+(\underline{6 x+3})(3-x)$
$C=(\underline{10 x-5})(x+2)+(1-x)(2 x-1)$
$D=(\underline{4 x+4})(1-2 x)+(x+1)^{2}$
$E=(2 x+1)^{2}-(x+3)(\underline{10 x+5})$
$A=(x+1)(x+2)+(\underline{2 x+2})(3 x-4)$
$A=(x+1)(x+2)+2(x+1)(3 x-4)$
$A=(x+1)[(x+2)+2(3 x-4)]$
$A=(x+1)[x+2+6 x-8]$
$A=(x+1)(7 x-6)$
$B=(x-1)(2 x+1)+(\underline{6 x+3})(3-x)$
$B=(x-1)(2 x+1)+6(2 x+1)(3-x)$
$B=(2 x+1)[(x-1)+6(3-x)]$
$B=(2 x+1)[x-1+18-6 x]$
$B=(2 x+1)(17-5 x)$
$C=(\underline{10 x-5})(x+2)+(1-x)(2 x-1)$
$C=5(2 x-1)(x+2)+(1-x)(2 x-1)$
$C=(2 x-1)[5(x+2)+(1-x)]$
$C=(2 x-1)[5 x+10+1-x]$
$C=(2 x-1)(4 x+11)$
$D=(\underline{4 x+4})(1-2 x)+(x+1)^{2}$
$D=4(x+1)(1-2 x)+(x+1)^{2}$
$D=(x+1)[4(1-2 x)+(x+1)]$
$D=(x+1)[4-8 x+x+1]$
$D=(x+1)(5-7 x)$
$E=(2 x+1)^{2}-(x+3)(\underline{10 x+5})$
$E=(2 x+1)^{2}-(x+3) \times 5(2 x+1)$
$E=(2 x+1)[(2 x+1)-(x+3) \times 5]$
$E=(2 x+1)[2 x+1-5 x-15]$
$E=(2 x+1)(-3 x-14)$
Exercice 8:
$1)$Développer en utilisant l’identité remarquable: $(\mathbf{a}+\mathbf{b})^{\mathbf{2}}=\mathbf{a}^{\mathbf{2}}+\mathbf{2 a b}+\mathbf{b}^{\mathbf{2}}$
$\mathrm{~A}=(3+x)^{2}$
$\mathrm{~B}=(x+5)^{2}$
$\mathrm{C}=(2 x+1)^{2}$
$\mathrm{D}=(1+3 x)^{2}$
$\mathrm{E}=(3 x+2)^{2}$
$\mathrm{~F}=(5 x+3)^{2}$
$\mathrm{H}=(3+4 x)^{2}$
$\mathrm{G}=\left(x^{2}+1\right)^{2}$
$2)$ Développer en utilisant l’identité remarquable : $( \mathbf{a}-\mathbf{b})^{\mathbf{2}}=\mathbf{a}^{\mathbf{2}} \mathbf{- 2 a b}+\mathbf{b}^{\mathbf{2}}$
$\mathrm{~A}=(x-2)^{2}$
$\mathrm{~B}=(1-3 x)^{2}$
$\mathrm{C}=(3-x)^{2}$
$\mathrm{D}=(2 x-1)^{2}$
$\mathrm{E}=(3-5 x)^{2}$
$\mathrm{~F}=(3 x-2)^{2}$
$\mathrm{G}=(4 x-3)^{2}$
$\mathrm{H}=\left(4-3 x^{2}\right)^{2}$
$3)$ Développer en utilisant l’identité remarquable: $\mathbf{( a + b})(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}^{\mathbf{2}} \mathbf{-} \mathbf{b}^{\mathbf{2}}$
$\mathrm{A}=(x+2)(x-2)$
$\mathrm{B}=(x+3)(x-3)$
$\mathrm{C}=(3 x-1)(3 x+1)$
$\mathrm{D}=(2 x+1)(2 x-1)$
$\mathrm{E}=(5+3 x)(5-3 x)$
$\mathrm{F}=(3 x-2)(3 x+2)$
$\mathrm{G}=(3+4 x)(3-4 x)$
$\mathrm{H}=\left(4 x^{2}+3\right)\left(4 x^{2}-3\right)$
$1)$
$ \mathrm{A}=(3+x)^{2} $
$ \mathrm{~A}=3^{2}+2 \times 3 \times x+x^{2} $
$ \mathrm{~A}=9+6 x+x^{2}$
$ B=(x+5)^{2} $
$ B=x^{2}+2 \times x \times 5+5^{2} $
$ B=x^{2}+10 x+25$
$ \mathrm{C}=(2 x+1)^{2} $
$ \mathrm{C}=(2 x)^{2}+2 \times 2 x \times 1+1^{2} $
$ \mathrm{C}=4 x^{2}+4 x+1$
$ D=(1+3 x)^{2} $
$ D=1^{2}+2 \times 1 \times 3 x+(3 x)^{2} $
$ D=1+6 x+9 x^{2}$
$ \mathrm{E}=(3 x+2)^{2} $
$ \mathrm{E}=(3 x)^{2}+2 \times 3 x \times 2+2^{2} $
$ \mathrm{E}=9 x^{2}+12 x+4$
$ \mathrm{F}=(5 x+3)^{2} $
$ \mathrm{~F}=(5 x)^{2}+2 \times 5 x \times 3+3^{2} $
$ \mathrm{~F}=25 x^{2}+30 x+9$
$ \mathrm{G}=\left(x^{2}+1\right)^{2} $
$ \mathrm{G}=\left(x^{2}\right)^{2}+2 \times x^{2} \times 1+1^{2} $
$\mathrm{G}=x^{4}+2 x^{2}+1$
$ H=(3+4 x)^{2} $
$ H=3^{2}+2 \times 3 \times 4 x+(4 x)^{2} $
$ H=9+24 x+16 x^{2}$
$2)$
$ \mathrm{A}=(x-2)^{2} $
$ \mathrm{~A}=x^{2}-2 \times x \times 2+2^{2} $
$ \mathrm{~A}=x^{2}-4 x+4$
$B=(1-3 x)^{2} $
$ B=1^{2}-2 \times 1 \times 3 x+(3 x)^{2} $
$ B=1-6 x+9 x^{2}$
$ C=(3-x)^{2} $
$C=3^{2}-2 \times 3 \times x+x^{2} $
$ C=9-6 x+x^{2}$
$ D=(2 x-1)^{2} $
$ D=(2 x)^{2}-2 \times 2 x \times 1+1^{2} $
$ D=4 x^{2}-4 x+1$
$ E=(3-5 x)^{2} $
$E=3^{2}-2 \times 3 \times 5 x+(5 x)^{2} $
$ E=9-30 x+25 x^{2}$
$ \mathrm{F}=(3 x-2)^{2} $
$ \mathrm{~F}=(3 x)^{2}-2 \times 3 x \times 2+2^{2} $
$ \mathrm{~F}=9 x^{2}-12 x+4$
$ \mathrm{G}=(4 x-3)^{2} $
$ \mathrm{G}=(4 x)^{2}-2 \times 4 x \times 3+3^{2} $
$ \mathrm{G}=16 x^{2}-24 x+9$
$ H=\left(4-3 x^{2}\right)^{2} $
$ H=4^{2}-2 \times 4 \times 3 x^{2}+\left(3 x^{2}\right)^{2} $
$ H=16-24 x^{2}+9 x^{4}$
$3)$
$ \mathrm{A}=(x+2)(x-2) $
$ \mathrm{A}=x^{2}-2^{2} $
$ \mathrm{~A}=x^{2}-4$
$ \mathrm{B}=(x+3)(x-3) $
$ \mathrm{B}=x^{2}-3^{2} $
$ \mathrm{~B}=x^{2}-9$
$ C=(3 x-1)(3 x+1) $
$ C=(3 x)^{2}-1^{2} $
$ C=9 x^{2}-1$
$ D=(2 x+1)(2 x-1) $
$ D=(2 x)^{2}-1^{2} $
$ D=4 x^{2}-1$
$ E=(5+3 x)(5-3 x) $
$ E=5^{2}-(3 x)^{2} $
$ E=25-9 x^{2}$
$ \mathrm{F}=(3 x-2)(3 x+2)$
$ \mathrm{F}=(3 x)^{2}-2^{2} $
$\mathrm{~F}=9 x^{2}-4$
$ \mathrm{G}=(3+4 x)(3-4 x) $
$\mathrm{G}=3^{2}-(4 x)^{2} $
$ \mathrm{G}=9-16 x^{2}$
$ H=\left(4 x^{2}+3\right)\left(4 x^{2}-3\right) $
$ H=\left(4 x^{2}\right)^{2}-3^{2} $
$ H=16 x^{4}-9$
Exercice 9:
$1)$Factoriser en utilisant l’identité remarquable: $\mathbf{a}^{\mathbf{2}}+\mathbf{2 a b}+\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})^{\mathbf{2}}$
$A=x^{2}+10 x+25$
$B=x^{2}+6 x+9$
$C=36+12 x+x^{2}$
$D=4 x^{2}+12 x+9$
$E=16 x^{2}+40 x+25$
$2)$Factoriser en utilisant l’identité remarquable: $\mathbf{a}^{\mathbf{2}}-\mathbf{2 a b}+\mathbf{b}^{\mathbf{2}}=(\mathbf{a}-\mathbf{b})^{\mathbf{2}}$
$A=x^{2}-2 x+1$
$B=4 x^{2}-20 x+25$
$C=9-6 x+x^{2}$
$D=36 x^{2}-12 x+1$
$E=100-40 x+4 x^{2}$
$3)$ Factoriser en utilisant l’identité remarquable : $\mathbf{a}^{2}-\mathbf{b}^{2}=(a+b)(a-b)$
$A=x^{2}-4$
$B=9-x^{2}$
$C=x^{2}-16$
$E=25-x^{2}$
$F=4 x^{2}-9$
$G=16-9 x^{2}$
$1)$
$ A=x^{2}+10 x+25 $
$ A=x^{2}+2 \times x \times 5+5^{2} $
$ A=(x+5)^{2}$
$ \mathrm{B}=x^{2}+6 x+9 $
$ \mathrm{~B}=x^{2}+2 \times x \times 3+3^{2} $
$ \mathrm{~B}=(x+3)^{2}$
$ C=36+12 x+x^{2}$
$ C=6^{2}+2 \times 6 \times x+x^{2} $
$ C=(6+x)^{2}$
$ \mathrm{D}=4 x^{2}+12 x+9 $
$ \mathrm{D}=(2 x)^{2}+2 \times 2 x \times 3+3^{2} $
$ \mathrm{D}=(2 x+3)^{2}$
$ E=16 x^{2}+40 x+25 $
$ B=(4 x)^{2}+2 \times 4 x \times 5+5^{2} $
$ B=(4 x+5)^{2}$
$2)$
$\mathrm{A}=\mathrm{x}^{2}-2 x+1$
$\mathrm{~A}=\mathrm{x}^{2}-2 \times x \times 1+1^{2}$
$\mathrm{~A}=(x-1)^{2}$
$\mathrm{~B}=4 x^{2}-20 \mathrm{x}+25$
$\mathrm{~B}=(2 x)^{2}-2 \times 2 \mathrm{x} \times 5+5^{2}$
$\mathrm{~B}=(2 x-5)^{2}$
$\mathrm{C}=9-6 x+x^{2}$
$\mathrm{C}=3^{2}-2 \times 3 \times x+x^{2}$
$\mathrm{C}=(3-x)^{2}$
$\mathrm{D}=36 x^{2}-12 x+1$
$\mathrm{D}=(6 x)^{2}-2 \times 6 x \times 1+1^{2}$
$\mathrm{D}=(6x-1)^{2}$
$\mathrm{E}=100-40 x+4 x^{2}$
$\mathrm{E}=10^{2}-2 \times 10 \times 2 x+(2 x)^{2}$
$\mathrm{E}=(10-2 x)^{2}$
$3)$
$\mathrm{~A}=x^{2}-4$
$\mathrm{~A}=\mathrm{x}^{2}-2^{2}$
$\mathrm{A}=(x+2)(x-2)$
$\mathrm{~B}=9-x^{2}$
$\mathrm{~B}=3^{2}-x^{2}$
$\mathrm{B}=(3+x)(3-x)$
$\mathrm{C}=x^{2}-16$
$\mathrm{C}=x^{2}-4^{2}$
$\mathrm{C}=(x+4)(x-4)$
$\mathrm{D}=x^{2}-49$
$\mathrm{D}=x^{2}-7^{2}$
$\mathrm{D}=(x+7)(x-7)$
$\mathrm{E}=25-x^{2}$
$\mathrm{E}=5^{2}-x^{2}$
$\mathrm{E}=(5+x)(5-x)$
$F=4 x^{2}-9$
$F=(2 x)^{2}-3^{2}$
$F=(2 x-3)(2x+3x)$
$G=16-9 x^{2}$
$G=4^{2}-(3 x)^{2}$
$G=(4+2 x)(4-2 x)$
Exercice 10:
On donne : $D = (2x – 3)(5 – x) + (2x – 3)^{2}$
$1)$ Développer et réduire $D$.
$2)$ Factoriser $D$.
$3)$ Résoudre l’équation : $(2x – 3)(x + 2) = 0$
$1)$ $D=(2 x-3)(5-x)+(2 x-3)^{2}=(2 x \times 5-3 \times 5-2 x \times x+3 \times x)+\left((2 x)^{2}-2 x 2 x \times 3+3^{2}\right)=10 x-15-2 x^{2}+3 x+4 x^{2}-12 x+9$
$D=(4-2) x^{2}+(10+3-12) x-15+9=2 x^{2}+x-6$
$2)$ $D=(2 x-3)(5-x)+(2 x-3)^{2}=(2 x-3)[(5-x)+(2 x-3)]=(2 x-3)(5-x+2 x-3)=(2 x-3)((2-1) x+5-3)=(2 x-3)(x+2)$
$3)$ Résoudre l’équation: $(2 x-3)(x+2)=0$
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul
$2 x-3=0$ Ou $x+2=0$
$2 x=3$ Ou $x=-2$
$x=\frac{3}{2}$ Ou $x=-2$
L’équation a deux solutions :-2 et \frac{3}{2}.
Exercice 11:
Soit $D = ( 2x + 3)^{2} + ( 2x + 3 ) ( 7x – 2 )$.
$1)$ Développer et réduire $D$.
$2)$ Factoriser $D$.
$3)$ Calculer $D$ pour $x = -4$.
$4)$ Résoudre l’équation $( 2x + 3 ) ( 9x + 1 ) = 0$.
$1)$ Développer et réduire $D$.
$D=(2 x+3)^{2}+(2 x+3)(7 x-2)=\left((2 x)^{2}+2 \times 2 x \times 3+3^{2}\right)+(2 x \times 7 x+3 \times 7 x-2 x \times 2-3 \times 2)$
$D=\left(4 x^{2}+12 x+9\right)+\left(14 x^{2}+21 x-4 x-6\right)=(4+14) x^{2}+(12+21-4) x+9-6=18 x^{2}+29 x+3$
$2)$ Factoriser D.
$D=(2 x+3)^{2}+(2 x+3)(7 x-2)=(2 x+3)[(2 x+3)+(7 x-2)]=(2 x+3)((2+7) x+3-2)=(2 x+3)(9 x+1)$
$3)$ Calculer D pour $x=-4$.
Prenons la forme factorisée : $\mathrm{D}=(2 \times(-4)+3)(9 \times(-4)+1)=(-8+3)(-36+1)=(-5) \times(-35)=175$
On peut vérifier les réponses aux questions précédentes en reprenant le calcul à partir de la forme développée :
$D=18 \times(-4)^{2}+29 \times(-4)+3=18 \times 16-116+3=288-116+3=175$
$4)$ Résoudre l’équation $(2 x+3)(9 x+1)=0$.
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
$2 x+3=0$ Ou $9 x+1=0$
$2 x=-3$ Ou $9 x=-1$
$x=-\frac{3}{2}$ Ou $x=-\frac{1}{9}$
L’équation a deux solutions: $-\frac{3}{2}$ et $-\frac{1}{9}$
Exercice 12:
On considère l’expression : $E = (3x + 2)^{2} – (5 – 2x)(3x + 2)$.
$1 )$ Développer et réduire l’expression $E$.
$2)$ Factoriser $E$.
$3)$ Calculer la valeur de $E$ pour $x = -2$.
$4)$ Résoudre l’équation $(3x + 2) (5x – 3) = 0$ .
$5)$ Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
$1)$ Développer et réduire l’expression $E$.}
$E=(3 x+2)^{2}-(5-2 x)(3 x+2)=\left((3 x)^{2}+2 \times 3 x \times 2+2^{2}\right)-(5 \times 3 x-2 x \times 3 x+5 \times 2-2 x \times 2)$
$E=\left(9 x^{2}+12 x+4\right)-\left(15 x-6 x^{2}+10-4 x\right)=9 x^{2}+12 x+4-15 x+6 x^{2}-10+4 x=(9+6) x^{2}+(12-15+4) x+4-10=15 x^{2}+x-6$
$2)$Factoriser $E$.
$E=(3 x+2)^{2}-(5-2 x)(3 x+2)=(3 x+2)[(3 x+2)-(5-2 x)]=(3 x+2)(3 x+2-5+2 x)=(3 x+2)(5 x-3)$
$3)$ Calculer la valeur de Epour $x=-2$.
Prenons la forme développée de l’expression :
$E=15 \times(-2)^{2}+(-2)-6=15 \times 4-2-6=60-2-6=52$
Vérifions nos calculs précédents en effectuant le calcul à partir de la forme factorisée :
$E=(3 \times(-2)+2)(5 \times(-2)-3)=(-6+2)(-10-3)=(-4) \times(-13)=52$
$4)$ Résoudre l’équation $(3 x+2)(5 x-3)=0$.
Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
$3 x+2=0$ Ou $5 x-3=0$
$3 x=-2$ Ou $5 x=3$
$x=-\frac{2}{3}$ Ou $x=\frac{3}{5}=0,6$
$5)$ L’équation a deux solutions $-\frac{2}{3}$ et $0,6$ . Seule cette deuxième valeur est décimale.
Calcul Littéral et Identités Remarquables – exercices corrigés