Calcul vectoriel dans le plan exercices corrigés
📋 Exercice : Questions de cours
Quelles sont les caractéristiques d’un vecteur \(\vec{u} = \vec{AB}\) ? Donner la définition de chacune d’elles.
À quelle condition dit-on que deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont égaux ? Écrire la notation correspondante.
Définir deux vecteurs opposés. Quelle relation lie \(\vec{AB}\) et \(\vec{BA}\) ?
Énoncer la relation de Chasles pour trois points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan. Illustrer par une égalité vectorielle.
Donner la caractérisation vectorielle d’un parallélogramme \(ABCD\). Écrire deux égalités équivalentes.
Définir la colinéarité de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Donner la condition sur le réel \(k\).
Quelle est la condition vectorielle pour que trois points \(A\), \(B\) et \(C\) soient alignés ?
À quelle condition deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ? Exprimer cela à l’aide de vecteurs colinéaires.
Soit \(I\) le milieu du segment \([AB]\). Énoncer les propriétés vectorielles équivalentes caractérisant ce milieu.
Pour tout point \(M\) du plan et \(I\) milieu de \([AB]\), écrire la relation vectorielle faisant intervenir \(\vec{MA}\), \(\vec{MB}\) et \(\vec{MI}\). Expliquer son utilité.
Un vecteur \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}\) non nul est caractérisé par trois éléments :
- Sa direction : la droite \((AB)\)
- Son sens : de \(A\) vers \(B\)
- Sa norme : \(\|\overrightarrow{u}\| = AB\) (longueur du segment \([AB]\))
Définition : Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Définition : \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont opposés s’ils ont la même direction, la même norme, mais des sens contraires.
Propriété : Pour trois points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan :
Propriété : \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si :
Définition : Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que :
Propriété : Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Propriété : Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Les propriétés suivantes sont équivalentes :
• \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\)
• Pour tout point \(M\) : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\)
Pour tout point \(M\) du plan et \(I\) milieu de \([AB]\) :
📊 Exercice 1 : Simplification de vecteurs
Simplifier le vecteur \(\overrightarrow{U} = \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\).
Simplifier le vecteur \(\overrightarrow{V} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{FA}\).
Étape 1 : Transformer les soustractions en additions en utilisant \(\overrightarrow{XY} = -\overrightarrow{YX}\).
Étape 2 : Remplacer dans l’expression de \(\overrightarrow{U}\).
Étape 3 : Appliquer la relation de Chasles.
Étape 4 : Conclure.
Étape 1 : Regrouper les vecteurs qui se suivent pour appliquer la relation de Chasles.
Étape 2 : Réécrire \(\overrightarrow{V}\) avec ces regroupements.
Étape 3 : Appliquer à nouveau la relation de Chasles.
Étape 4 : Réorganiser les termes restants.
Étape 5 : Conclure.
📐 Exercice 2 : Construction vectorielle dans un parallélogramme
\(ABCD\) un parallélogramme, on considère les points \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) tels que :
\(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{DC}\) ; \(\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AD}\)
Construire les points \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) sur la figure.
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📐 Exercice 3 : Parallélogrammes et milieu
\(ABCD\) et \(AFBD\) sont deux parallélogrammes.
Réaliser une figure.
Démontrer que \(B\) est le milieu du segment \([CF]\).
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📐 Exercice 4 : Représentation de vecteurs
Représenter les vecteurs \(2\vec{u}\), \(-\vec{v}\) et \(2\vec{u} – \vec{v}\).
2) Soit trois points \(A\), \(B\) et \(C\).
a) Représenter le vecteur \(\overrightarrow{AC} + 2\overrightarrow{BC}\).
b) Représenter le vecteur \(\overrightarrow{BC} – 3\overrightarrow{AC}\).
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📐 Exercice 5 : Construction de points
Soit deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et un point \(O\).
Construire le point \(A\) tel que \(\overrightarrow{OA} = 3\vec{u} – \vec{v}\).
Soit trois points \(A\), \(B\), \(C\) du plan.
Construire le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\).
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📐 Exercice 6 : Simplification d’écritures vectorielles
Soient les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Simplifier le vecteur \(\overrightarrow{W_1} = 2(\vec{u} + \vec{v}) – 4\left(\dfrac{1}{2}\vec{u} – \vec{v}\right)\).
Simplifier le vecteur \(\overrightarrow{W_2} = \dfrac{1}{3}(3\vec{u} – 9\vec{v}) + \dfrac{1}{2}(2\vec{u} + 6\vec{v}) – 2\vec{u}\).
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📐 Exercice 7 : Colinéarité de deux vecteurs
On donne deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), tels que :
\(-4\vec{u} + 3\vec{v} = \overrightarrow{0}\)
Démontrer que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
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📐 Exercice 8 : Alignement de points dans un parallélogramme
\(ABCD\) est un parallélogramme du plan.
Construire les points \(E\) et \(F\).
Montrer que \(\overrightarrow{CE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{FE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} – 3\overrightarrow{AD}\).
En déduire que \(E\), \(F\) et \(C\) sont alignés.
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📐 Exercice 9 : Droites parallèles et vecteurs
\(ABC\) est un triangle du plan \((P)\).
Construire les points \(E\) et \(F\).
Montrer que \(\overrightarrow{EC} = -\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}\).
En déduire que les droites \((EC)\) et \((BF)\) sont parallèles.
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📐 Exercice 10 : Alignement et milieu dans un parallélogramme
Soient \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M\), \(E\) et \(F\) des points du plan tels que :
\(\overrightarrow{CM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\) ; \(\overrightarrow{CE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}\) ; \(\overrightarrow{CF} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}\)
Construire les points \(M\), \(E\) et \(F\).
Montrer que \(\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{CD} – \dfrac{3}{4}\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{BE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD} – \overrightarrow{CB}\).
En déduire que les points \(M\), \(E\) et \(B\) sont alignés.
Montrer que \(E\) est le milieu du segment \([CF]\).
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📐 Exercice 11 : Parallélisme et alignement
\(ABC\) est un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\).
Construire les points \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\).
Montrer que les droites \((BC)\) et \((MN)\) sont parallèles.
Soit \(J\) le milieu du segment \([MN]\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AI}\).
b) En déduire que \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
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📐 Exercice 12 : Milieu et parallélisme
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\).
Construire les points \(M\) et \(N\) tels que : \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\) et \(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\).
Montrer que \(O\) est le milieu de \([MN]\).
Montrer que les droites \((AD)\) et \((MN)\) sont parallèles.
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📐 Exercice 13 : Vecteurs et alignement
\(ABC\) est un triangle dans le plan.
On considère les points \(D\) et \(E\) tels que : \(3\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{AB}\).
Construire la figure.
a) Montrer que : \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) et déterminer \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
b) En déduire que les points \(A\), \(D\) et \(E\) sont alignés.
Montrer que \(\|\overrightarrow{AD}\| \leq \dfrac{1}{3}\left(\|\overrightarrow{CE}\| + \|\overrightarrow{AC}\|\right)\).
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📐 Exercice 14 : Parallélogramme et alignement
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(E\), \(F\) et \(G\) des points tels que : \(D\) est le milieu de \([EC]\), \(\overrightarrow{BG} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AF} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{AD}\).
Construire les points \(E\), \(F\) et \(G\).
Montrer que \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB} – \dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}\).
Écrire \(\overrightarrow{EG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
En déduire que \(F\) est le milieu de \([EG]\).
Soit \(H\) un point tel que \(\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\).
a) Construire le point \(H\) .
b) Montrer que \(\overrightarrow{EH} – 3\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{0}\).
c) En déduire que \(E\), \(F\) et \(H\) sont alignés.
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