Calcul vectoriel dans le plan exercices corrigés
Exercice 1:
On considére les vecteurs :
$\vec{U}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A B}$
$\vec{V}=\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{F A}$
Simplifier les vecteurs: $\vec{U}$ et $\vec{V}$
$\vec{U}=\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}$
$\vec{U}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B B}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A B}$
$\vec{V}=\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{F A}=\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{E D}+\overrightarrow{D F}$
$\vec{V}=\overrightarrow{B F}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{B B}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E F}$
Exercice 2:
A partir du parallélogramme ABCD , construire les points $E, F, G$ et $H$ tels que :
$\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{B C} \quad ; \quad \overrightarrow{C F}=\overrightarrow{D C} \quad ; \quad \overrightarrow{B G}=\overrightarrow{A B}$
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Exercice 3:
$A B C D$ et $A F B D$ sont deux parallélogrammes.
$1)$ Réaliser une figure.
$2)$ Démontrer que $B$ est le milieu du segment $[C F]$.
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Exercice 4:
$1)$ Soit deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Représenter les vecteurs suivants: $2 \vec{u}$ ; $-\vec{v}$ et $2 \vec{u}-\vec{v}$.
$2)$ Soit trois points $A, B$ et $C$.
$a)$ Représenter le vecteur $\overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{B C}$.
$b)$ Représenter le vecteur $\overrightarrow{B C}-3 \overrightarrow{A C}$.
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Exercice 5:
$1)$ Soit deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et un point $O$ .
Construire $A$ tel que $\overrightarrow{O A}=3 \vec{u}-\vec{v}$.
$2)$ Soit trois points $A, B, C$ du plan.
Construire le point $M$ tel que $\overrightarrow{A M}=-\overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{A C}$.
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Exercice 6:
Soient les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$
Simplifier l’écriture des vecteurs suivants :
$\overrightarrow{W_{1}}=2(\vec{u}+\vec{v})-4\left(\frac{1}{2} \vec{u}-\vec{v}\right) \quad$
$\overrightarrow{W_{2}}=\frac{1}{3}(3 \vec{u}-9 \vec{v})+\frac{1}{2}(2 \vec{u}+6 \vec{v})-2 \vec{u}$
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Exercice 7:
On donne deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, tel que : $-4 \vec{u}+3 \vec{v}=\overrightarrow{0}$.
Démontrer que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
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Exercice 8:
$ABCD$ est un parallélogramme du plan
$1)$ Construire les points $E$ et $F$ tel que : $\overrightarrow{A E}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{D F}=-2 \overrightarrow{D A}$
$2)$ Montrer que $\overrightarrow{C E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}$ et $\overrightarrow{F E}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A D}$
$3)$ En déduire que $\mathbf{E}$; $\mathbf{F}$ et $\mathbf{C}$ sont alignés
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Exercice 9:
$ABC$ est un triangle du plan $(P)$
$1)$ Construire les points $E$ et $F$ tel que : $\overrightarrow{A E}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A F}=\frac{4}{3} \overrightarrow{A C}$
$2)$ Montrer que $\overrightarrow{E C}=-\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{B F}=-\overrightarrow{A B}+\frac{4}{3} \overrightarrow{A C}$
$3)$ En déduire que les droites $(EC)$ et $(BF)$ sont parallèle
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Exercice 10:
Soient $A B C D$ un parallélogramme, et M ; $E$ et $F$ des points du plan tels que :
$\overrightarrow{C M}=\frac{1}{4} \overrightarrow{C A} \quad $ et $ \quad \overrightarrow{C E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C D} \quad$ et $ \quad\overrightarrow{C F}=\frac{2}{3} \overrightarrow{C D}$
$1)$ Construire les points $M ; E$ et $F$
$2)$ Montrer que $\overrightarrow{B M}=\frac{1}{4} \overrightarrow{C D}-\frac{3}{4} \overrightarrow{C B}$ et $\overrightarrow{\boldsymbol{B E}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{\boldsymbol{C D}}-\overrightarrow{\boldsymbol{C B}}$
$3)$ En déduire que les points $M ; E$ et $B$ sont alignés
$4)$ Montrer que $E$ est le milieu de segment $[C F]$
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Exercice 11:
$ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$
$1)$ Construire les points $M$ et $N$ tel que $\overrightarrow{A M}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}$ et $\overrightarrow{A N}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}$
$2)$ Montrer que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles
$3)$ Soit $J$ le milieu de segment $[ M N ]$
$a)$ Montrer que $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N}=3 \overrightarrow{A I}$
$b)$ En déduire que $A ; I$ et $J$ sont alignés
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Exercice 12:
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$
$1)$ Construire les points $M$ et $N$ tel que : $\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ et $\overrightarrow{O N}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}$
$2)$ Montrer que $O$ est le milieu de $[MN]$
$3)$ Montrer que les droites $(AD)$ et $(MN)$ sont parallèles
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