Calcul vectoriel dans le plan -évaluations corrigés

Évaluation de Mathématiques

Calcul vectoriel dans le plan

Matière :
Mathématiques

Niveau :
Tronc Commun Sciences

Durée :
45 min

Barème :
20 points

Exercice 1 : Vecteurs et parallélogramme (4 pts)

4 pts

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.

1) Compléter : $\vec{AB} = \vec{…}$ et $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{…}$ (1 pt)

2) Montrer que $\vec{AB} + \vec{AD} = 2\vec{AO}$. (1,5 pts)

3) Montrer que $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$. (1,5 pts)

Exercice 2 : Relation de Chasles (4 pts)

4 pts

Simplifier les expressions vectorielles suivantes en utilisant la relation de Chasles :

1) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$ (1 pt)

2) $\vec{AB} – \vec{AC} + \vec{BC}$ (1,5 pts)

3) $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}$ sachant que $M$ est le milieu de $[AB]$. (1,5 pts)

Exercice 3 : Colinéarité et alignement (4 pts)

4 pts

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan tels que :

$\vec{AB} = 2\vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{AC} = 6\vec{u} + 3\vec{v}$

1) Montrer que $\vec{AC} = 3\vec{AB}$. (2 pts)

2) Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$ et $C$ ? (1 pt)

3) Placer les points $A$, $B$ et $C$ sachant que $AB = 2$ cm. (1 pt)

Exercice 4 : Milieu d’un segment (4 pts)

4 pts

Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$.

1) Montrer que $\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}$. (2 pts)

2) Soit $M$ un point du plan. Simplifier $\vec{MB} + \vec{MC}$. (1 pt)

3) En déduire que $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$ où $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. (1 pt)

Exercice 5 : Problème de synthèse (4 pts)

4 pts

Soit $ABCD$ un quadrilatère. On considère les points $I$, $J$, $K$ et $L$, milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$.

1) Montrer que $\vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. (1,5 pts)

2) Montrer que $\vec{LK} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. (1,5 pts)

3) En déduire la nature du quadrilatère $IJKL$. (1 pt)

🔒 Abonnez-vous pour accéder à la correction détaillée de cette évaluation .

Je m’abonne maintenant

Modèle $N°1$

Exercice 1：$(3pts)$

Soient $A ; B; C; D$ des points du plan $(P)$

$1)$ Construire les points $M$ et $N$ tels que : $\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A C}$ et_ $\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A D}$

$2)$ Comparer les vecteurs $\overrightarrow{B D}$ et $\overrightarrow{M N}$

Exercice 2：$(5pts)$

$A B C D$ est un parallélogramme

$M$ et $N$ et $P$ trois points tels que : $\overrightarrow{A M}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{A P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$

$1)$ Montrer que : $\overrightarrow{M N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{B C}$

$2)$ Montrer que $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A P}$

$3)$ Montrer que $\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A N}$

Exercice 3：$(4pts)$

Soient $A ; B ; C$ et $M$ quatre points du plan.

Soit $\vec{U}=\overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}-3 \overrightarrow{M C}$ et $\vec{V}=2 \overrightarrow{B A}-6 \overrightarrow{B C}$

$1)$ Montrer que : $\vec{U}=2 \overrightarrow{A B}-3 \overrightarrow{A C}$

$2)$ Montrer que $\vec{U}$ et $\vec{V}$ sont colinéaires.

Exercice 4：$(2pts)$

$A B C$ est un triangle, les points $D$ et $E$ sont tels que :
$\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow{C E}=3 \overrightarrow{B A}$

Montrer que le point $C$ est le milieu du segment $[D E]$

Exercice 5：$(6pts)$

$A B C D$ est un parallélogramme

Soient $E$ et $F$ deux points tels que : $\overrightarrow{A F}=4 \overrightarrow{A D}$ et $\overrightarrow{B E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$.

$1)$ Montrer que :

$\overrightarrow{C E}=-\overrightarrow{A D}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$

$\overrightarrow{C F}=3 \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}$.

$2)$ En déduire que les points $E ; C$ et $F$ sont alignés

Calcul vectoriel dans le plan -évaluations corrigés