Égalité de deux vecteurs – Somme de deux vecteurs

• Sa direction : la droite \((AB)\)
• Son sens : de \(A\) vers \(B\)
• Sa norme : \(\|\vec{u}\| = AB\)

Représentation du vecteur \(\vec{AB}\)

Propriété : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont égaux si et seulement s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On écrit alors : \(\vec{u} = \vec{v}\).

Deux vecteurs égaux : même direction, même sens, même norme

Opposés : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont opposés si et seulement s’ils ont la même direction, la même norme, mais des sens contraires. On écrit : \(\vec{u} = -\vec{v}\).

Vecteurs opposés

📌 Exemple : \(\vec{AB} = -\vec{BA}\)

Propriété : \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si : \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\)   ou encore   \(\vec{AB} = \vec{DC}\)

Parallélogramme ABCD : \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\)

Relation de Chasles : Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) On dit alors que : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\).

Relation de Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)

La colinéarité de deux vecteurs – Alignement de trois points

Définition : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que : \(\vec{u} = k\vec{v}\)   ou   \(\vec{v} = k\vec{u}\)

Vecteurs colinéaires : \(\vec{u} = k\vec{v}\)

Propriété : Trois points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires. C’est-à-dire : \(\vec{AB} = k\vec{AC}\)   ou   \(\vec{AC} = k\vec{AB}\)

Points A, B et C alignés : \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) colinéaires

Propriété : Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires : \(\vec{AB} = k\vec{CD}\)   ou   \(\vec{CD} = k\vec{AB}\)

Droites parallèles (AB) et (CD) : \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) colinéaires

Propriétés du milieu d’un segment

• \(I\) est le milieu de \([AB]\)
• \(\vec{AB} = 2\vec{AI}\)
• \(\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}\)
• Pour tout point \(M\) du plan : \(\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}\)

I milieu de [AB] : \(\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}\)

📌 Exemple : Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors pour tout point \(M\) : \(\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}\). Cette propriété est très utile pour simplifier des expressions vectorielles.