Devoirs Corrigés N1 semestre 1 Maths 1ere Bac Sx

Devoirs Corrigés N1 semestre 1 Maths 1ere Bac Sx

Devoir Surveillé N°1-1

⏳ Semestre 1
Matière : Mathématiques
Niveau : 1ère Bac Sciences Expérimentales
Durée : 2 heures
Barème : 20 points

Exercice 1

8 pts
  1. Écrire les deux propositions suivantes en utilisant les quantificateurs et les connecteurs logiques :
    1. \( P_1 \) : « Il n’existe aucun nombre entier relatif solution de l’équation \( x^2 + x – 1 = 0 \) » (1 pt)
    2. \( P_2 \) : « Tous les nombres réels strictement supérieurs à 1 sont solutions de l’inéquation \( x^2 + x – 1 \ge 0 \) » (1 pt)
  2. Donner la négation des deux propositions suivantes, puis déterminer la valeur de vérité de chacune d’elles en justifiant votre réponse :
    1. \( (P) \) : « \( (\forall p \in \mathbb{N}^*) (\forall q \in \mathbb{N}^*)\; ; \; (p > q \Rightarrow pq > 1) \) » (1.5 pts)
    2. \( (Q) \) : « \( (\exists x \in \mathbb{R})\; ; \; (x^2 \le 4x – 5) \) » (1.5 pts)
  3. En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), le nombre \( 8^n – 1 \) est divisible par 7. (1.5 pts)
  4. On considère la fonction numérique \( f \) définie par : \( f(x) = 5 + 4x – x^2 \).
    1. Montrer que la fonction \( f \) est majorée par le nombre 9. (0.5 pt)
    2. En utilisant le raisonnement par l’absurde, montrer que la fonction \( f \) n’est pas minorée. (1 pt)

Exercice 2

12 pts

On considère les deux fonctions numériques \( f \) et \( g \) définies par :

\( f(x) = \sqrt{x – 1} \)     et     \( g(x) = \frac{1}{x – 1} \)

Soient \( (C_f) \) et \( (C_g) \) leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

    1. Déterminer \( D_f \) et \( D_g \), les ensembles de définition respectifs des fonctions \( f \) et \( g \). (1 pt)
    2. Calculer \( f(2) \) et \( g(2) \). (1 pt)
  2. Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions \( f \) et \( g \). (1 pt)
  3. Construire \( (C_f) \) et \( (C_g) \) dans le même repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \). (2 pts)
  4. Comparer graphiquement les deux fonctions \( f \) et \( g \) sur l’intervalle \( ]1, +\infty[ \). (1 pt)
  5. Déterminer \( D_{g \circ f} \), l’ensemble de définition de la fonction composée \( g \circ f \), si elle existe. (1 pt)
  6. Déterminer graphiquement les images des deux intervalles \( [1, 2] \) et \( [2, +\infty[ \) par la fonction \( f \). (2 pts)
  7. En déduire les variations de la fonction \( g \circ f \) sur chacun des deux intervalles \( [1, 2] \) et \( ]2, +\infty[ \). (2 pts)
  8. Écrire \( (g \circ f)(x) \) en fonction de \( x \) pour tout \( x \in D_{g \circ f} \). (1 pt)

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Devoir Surveillé N°1-2

⏳ Semestre 1
Matière : Mathématiques
Niveau : 1ère Bac Sciences Expérimentales
Durée : 2 heures
Barème : 20 points

NB: Il sera tenu compte de la rédaction des réponses.

Exercice 1 : Notions de logique

7 pts
  1. On considère les propositions \((P)\) et \((Q)\) suivantes : \((P) : (\exists x \in \mathbb{R}) \; (x^2 + x – 2 = 0)\) \((Q) : (\forall x \in \mathbb{R}) \; (x^2 + x – 2 = 0 \Rightarrow x = 1)\)
    1. Déterminer la valeur de vérité de \((P)\) en justifiant votre réponse. (1 pt)
    2. Donner la négation de \((Q)\) puis en déduire que \((Q)\) est fausse. (1.5 pt)
  2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((E) : x^2 – |x – 1| – 1 = 0\). (1 pt)
  3. Montrer par l’absurde que : \((\forall x \in \mathbb{R}) : \dfrac{x^2 + 3}{x^2 + 4} \neq 1\). (1 pt)
  4. Soit \(x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}\) ; montrer que \(\left(x \neq 3 \Rightarrow \dfrac{3x – 7}{x – 1} \neq 1\right)\). (1 pt)
  5. Montrer par récurrence que : \((\forall n \in \mathbb{N}) : 1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} + 4^n = \dfrac{4^{n+1} – 1}{3}\). (1.5 pt)

Exercice 2 : Propriétés des fonctions

2 pts

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 1 + 3\cos(\pi x)\).

  1. Montrer que \(f\) est périodique de période 2 sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
  2. Montrer que \(f\) est bornée sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

Exercice 3 : Lecture graphique

4 pts

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(]0 ; +\infty[\) par leurs courbes représentatives \((C_f)\) et \((C_g)\).

  1. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). (0.5 pt)
  2. Déterminer graphiquement l’image de l’intervalle : \(f([2 ; 4])\). (0.5 pt)
  3. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x) > 0\). (0.75 pt)
    1. Résoudre graphiquement l’équation \(f(x) = 0\). (0.5 pt)
    2. Déduire l’ensemble de définition de la fonction \(h\) définie par : \(h(x) = \dfrac{1}{f(x)}\). (1 pt)
  5. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x) < g(x)\). (0.75 pt)

Exercice 4 : Étude de fonctions & Composée

7 pts

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par : \(f(x) = \sqrt{x + 3}\) et \(g(x) = \dfrac{1}{3}x^3\).

  1. Déterminer \(D_f\) et \(D_g\). (1 pt)
  2. Dresser le tableau de variations de \(f\) puis celui de \(g\). (1 pt)
  3. Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). (1 pt)
  4. Déterminer graphiquement \(f([-3 ; +\infty[)\). (0.5 pt)
  5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation \(f(x) = g(x)\). (0.5 pt)
    1. Déterminer \(D_{g \circ f}\), l’ensemble de définition de la fonction composée \(g \circ f\). (1 pt)
    2. Donner l’expression de \((g \circ f)(x)\) pour \(x \in D_{g \circ f}\). (1 pt)
    3. Étudier le sens de variations de la fonction \(g \circ f\) sur \([-3 ; +\infty[\). (1 pt)

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Devoir Surveillé N°1-3

⏳ Semestre 1

Matière : Mathématiques
Niveau : 1ère Bac Sciences Expérimentales
Durée : 2 heures
Barème : 20 points

Exercice 1 : Notions de logique

7 pts

  1. Donner la négation des deux propositions suivantes : (2 pts)
    \((P_1) : (\forall x \in \mathbb{R})\, (\exists y \in \mathbb{R}^+)\; y^2 < x\) (1 pt)
    \((P_2) : x^2 + y = y^2 + x \Rightarrow (x = y \text{ ou } x + y = 1)\) (1 pt)
  2. Montrer que la proposition \((P_2)\) est vraie. (1.5 pts)
  3. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : (1.5 pts)
    \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n + 1) = (n + 1)^2\)
  4. En utilisant le raisonnement par disjonction des cas, montrer que : (2 pts)
    \((\forall x \in \mathbb{R}) : \sqrt{4x^2 + 3} \ge 2x\)
 

Exercice 2 : Généralités sur les fonctions

6 pts

On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 – x + 1}\)

  1. Déterminer \(D_f\), le domaine de définition de la fonction \(f\). (1.5 pts)
  2. Montrer que la fonction \(f\) admet un maximum absolu en \(1\). (2 pts)
    1. Montrer que : \((\forall x \in D_f) : f(x) = -f(1 – x) + \dfrac{1}{x^2 – x + 1}\) (1.5 pts)
    2. En déduire que : \((\forall x \in D_f) : f(x) > -1\) (1 pt)
 

Exercice 3 : Étude et représentations graphiques

7 pts

On considère les fonctions \(f(x) = x^2 – x\) et \(g(x) = \sqrt{x}\), ainsi que la droite \((\Delta) : y = -2x + 2\).

  1. Déterminer \(D_g\) et donner le tableau de variations de la fonction \(g\). (1 pt)
  2. Donner le tableau de variations de la fonction \(f\). (1 pt)
  3. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère. (0.5 pt)
  4. Construire dans le même repère orthonormé les courbes \((C_f)\), \((C_g)\) et la droite \((\Delta)\). (1 pt)
  5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation : \(\sqrt{x} + 2x – 2 = 0\). (0.5 pt)
  6. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) et \((\Delta)\). (1 pt)
  7. Résoudre graphiquement l’inéquation : \(f(x) + 2x \ge 2\). (0.5 pt)
  8. Déterminer les images des intervalles suivants : (1 pt)
    \(I = \left[0 ; \dfrac{1}{4}\right]\) et \(J = \left[\dfrac{1}{4} ; +\infty\right[\) par la fonction \(g\),
    puis les images de \(L = ]-\infty ; 0]\) et \(K = [2 ; +\infty[\) par la fonction \(f\).
  9. Soit la fonction \(h(x) = (f \circ g)(x)\).
    1. Déterminer l’expression de \(h(x)\) et déterminer son ensemble de définition \(D_h\). (0.5 pt)
    2. Déterminer les variations de la fonction \(h\) sur chacun des intervalles \(I\) et \(J\). (0.5 pt)
 

 

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Devoir Surveillé N°1-4

⏳ Semestre 1

Matière : Mathématiques
Niveau : 1ère Bac Sciences Expérimentales
Durée : 2 heures
Barème : 20 points

 
Partie I : Notions de logique et Récurrence

Exercice 1

7 pts

  1. En utilisant le raisonnement par la contraposée, montrer que : pour tous \(x, y \in \mathbb{R}\) :\([x \neq y \text{ et } y \neq 3 – x] \Rightarrow [x^2 – 3x + 5 \neq y^2 – 3y + 5]\)
    (2 pts)
    1. Montrer que : \((\forall y \in \mathbb{R}) : \dfrac{2y}{1+y^2} \le 1\) (1 pt)
    2. On considère la proposition suivante :\((P) : \left[(\forall x \in \mathbb{R})\, (\exists y \in \mathbb{R}) : \dfrac{2xy}{1+y^2} > 1\right]\)a) Écrire la négation de la proposition \((P)\). (1 pt)

      b) Montrer que la proposition \((P)\) est fausse. (1 pt)

    1. Montrer par récurrence que : \((\forall n \in \mathbb{N}^*) : 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) (1.5 pt)
    2. Calculer la somme : \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 10^2\) (0.5 pt)
 

Partie II : Généralités sur les fonctions

Exercice 1

10 pts

On considère les deux fonctions numériques définies par : \(f(x) = \sqrt{x+1}\) et \(g(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 7}{2}\). On note \((C_f)\) et \((C_g)\) leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

    1. Déterminer \(D_f\), l’ensemble de définition de la fonction \(f\), puis dresser son tableau de variations. (1 pt)
    2. Construire la courbe \((C_f)\) dans le repère. (1 pt)
    3. Déterminer graphiquement \(f([-1 ; 0])\) et \(f([0 ; +\infty[)\). (2 × 0.5 pt)
    1. Vérifier que : \(f(3) = g(3)\). (0.5 pt)
    2. Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\). (1 pt)
    3. Construire la courbe \((C_g)\) dans le même repère. (1.5 pt)
  3. Résoudre graphiquement l’inéquation : \(2\sqrt{x+1} + x^2 – 2x – 7 < 0\). (1 pt)
  4. Soit la fonction numérique \(h\) définie sur \([-1 ; +\infty[\) par : \(h(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2\sqrt{x+1} + 3\).
    1. Vérifier que : \((\forall x \in [-1 ; +\infty[) : h(x) = (g \circ f)(x)\). (0.5 pt)
    2. Montrer que \(h\) est croissante sur \([-1 ; 0]\) et décroissante sur \([0 ; +\infty[\). (2 × 0.5 pt)
    3. En déduire que : \((\forall x \in [-1 ; +\infty[) : -\dfrac{1}{2}x + 2\sqrt{x+1} \le 2\). (0.5 pt)
 

Exercice 2

3 pts

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \dfrac{x^2 – 4x + 6}{x^2 – 4x + 8}\).

  1. Montrer que : \((\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 – 4x + 8 > 0\). (1 pt)
  2. Montrer que la fonction \(f\) est minorée par \(\dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
  3. Le nombre \(\dfrac{1}{2}\) est-il une valeur minimale de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ? Justifier. (1 pt)
 

 

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Devoir Surveillé N°1-5

⏳ Semestre 1

Matière : Mathématiques
Niveau : 1ère Bac Sciences Expérimentales
Durée : 2 heures
Barème : 20 points

 

Exercice 1 : Notions de logique & Récurrence

7 Points

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x^2 – 3x + 2\).

a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(f(x) = 0\). (0.5 pt)

b) Donner la négation de la proposition \((P)\) suivante :
\((P) : (\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2) : \left[ f(a) = f(b) \Rightarrow a = b \right]\). (0.5 pt)

c) Déduire que la proposition \((P)\) est fausse. (0.5 pt)

d) Calculer \(f(1)\) et \(f(-1)\), puis en déduire que la fonction \(f\) n’est ni paire ni impaire. (1 pt)

2.

a) Montrer par l’absurde que : \((\forall x \in \mathbb{R}) : x – \sqrt{x^2+1} < 0\). (1 pt)

b) Montrer par disjonction des cas que : \((\forall x \in \mathbb{R}) : x – \sqrt{x^2+1} < 0\). (1 pt)

3. Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose : \(S_n = 1 + 2 + \dots + (n-1) + n\).

a) Calculer \(S_1\) et \(S_3\). (0.5 pt)

b) Montrer par récurrence que : \((\forall n \in \mathbb{N}^*) : S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}\). (1 pt)

c) En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), l’entier \(n(n+1)\) est pair. (0.5 pt)

d) Calculer \(S_{100}\). (0.5 pt)

 

Exercice 2 : Lecture graphique & Fonctions

5 Points

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(]0 ; +\infty[\) représentées par leurs courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le repère ci-dessous.

1. Déterminer graphiquement : \(f(1)\), \(f(2)\), \(g(5)\) et \(g(1)\). (1 pt)

2. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\), puis celui de la fonction \(g\). (1 pt)

3. Déterminer graphiquement les images des intervalles : \(f([4 ; 5])\) et \(g([5 ; +\infty[)\). (1 pt)

4. Résoudre graphiquement :

a) L’équation \(f(x) = 0\). (0.5 pt)

b) L’équation \(g(x) = f(x)\). (0.5 pt)

5. Résoudre graphiquement :

a) L’inéquation \(f(x) < 3\). (0.5 pt)

b) L’inéquation \(f(x) \ge g(x)\). (0.5 pt)

 

Exercice 3 : Étude analytique & Composée de fonctions

8 Points

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques définies par :
\(f(x) = -x^2 + 2x + 1\)   et   \(g(x) = \sqrt{x – 1}\).

1. Vérifier que les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) se coupent au point \(A(2 ; 1)\). (1 pt)

2. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\), puis de la fonction \(g\). (1 pt)

3. Représenter dans un même repère orthonormé les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\). (2 pts)

4. Déterminer graphiquement \(f([0 ; 1])\) et \(f([1 ; 2])\). (1 pt)

5. Soit la fonction \(h\) définie par : \(h(x) = \sqrt{2x – x^2}\).

a) Déterminer l’ensemble de définition \(D_h\). (1 pt)

b) Vérifier que : \((\forall x \in D_h) : h(x) = (g \circ f)(x)\). (1 pt)

c) Étudier la monotonie de la fonction \(h\) sur les intervalles \([0 ; 1]\) et \([1 ; 2]\). (1 pt)

 

 

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