Généralités sur les fonctions – exercices corrigés 1Bac
📋 Exercice : Questions de cours (Généralités sur les fonctions)
Donner la définition d’une fonction numérique d’une variable réelle. Qu’appelle-t-on image et antécédent ?
Qu’est-ce que l’ensemble de définition \(D_f\) d’une fonction \(f\) ? Donner les règles générales pour déterminer \(D_f\) pour : un polynôme, une fraction, une racine carrée.
Définir une fonction paire et une fonction impaire. Quelle est l’interprétation géométrique de chacune ? Donner un exemple pour chaque cas.
Définir le taux d’accroissement (ou taux de variation) d’une fonction \(f\) entre deux points \(x\) et \(y\). Comment utilise-t-on le taux d’accroissement pour déterminer la monotonie d’une fonction ?
Qu’est-ce qu’un extremum d’une fonction ? Donner la définition d’un maximum absolu et d’un minimum absolu.
Définir une fonction majorée, une fonction minorée et une fonction bornée. Donner un exemple pour chaque cas.
Définir une fonction périodique de période \(T\). Donner un exemple de fonction \(2\pi\)-périodique et un exemple de fonction \(\pi\)-périodique.
Définir la composée de deux fonctions \(g \circ f\). Donner son domaine de définition. Que peut-on dire de la monotonie de \(g \circ f\) en fonction de la monotonie de \(f\) et \(g\) ?
Étudier la parité et la monotonie de la fonction \(f(x) = ax^3\) (avec \(a \neq 0\)) selon le signe de \(a\).
Déterminer l’ensemble de définition et la monotonie de la fonction \(f(x) = \sqrt{x + a}\) (avec \(a \in \mathbb{R}\)).
Fonction numérique : Une fonction numérique \(f\) est une relation qui associe à chaque nombre réel \(x\) (appartenant à un certain ensemble appelé ensemble de définition) au plus un nombre réel \(y\). On note : \(f : x \mapsto y = f(x)\).
Image : Le nombre \(y = f(x)\) est l’image de \(x\) par \(f\).
Antécédent : Le nombre \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\) si \(f(x) = y\).
Remarque : Un antécédent ne peut pas avoir plusieurs images (c’est la définition d’une fonction), mais une image peut avoir plusieurs antécédents.
L’ensemble de définition \(D_f\) est l’ensemble de tous les nombres réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe (est calculable).
Règles générales :
- Polynôme : \(D_f = \mathbb{R}\)
- Fraction \(\frac{N(x)}{D(x)}\) : il faut \(D(x) \neq 0\)
- Racine carrée \(\sqrt{R(x)}\) : il faut \(R(x) \ge 0\)
• \(f(x) = \sqrt{3-x}\) → \(D_f = ]-\infty; 3]\)
• \(f(x) = \dfrac{-2x-4}{x^2-4}\) → \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\)
• \(f(x) = \sqrt{x^2-5x}\) → \(D_f = ]-\infty;0] \cup [5;+\infty[\)
Fonction paire : \(f\) est paire si \(\forall x \in D_f\), \(-x \in D_f\) et \(f(-x) = f(x)\).
Interprétation géométrique : La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (Oy).
Fonction impaire : \(f\) est impaire si \(\forall x \in D_f\), \(-x \in D_f\) et \(f(-x) = -f(x)\).
Interprétation géométrique : La courbe est symétrique par rapport à l’origine O du repère.
• Fonction paire : \(f(x) = 3x^2 + 1\)
• Fonction impaire : \(f(x) = 3x^3\)
• Ni paire ni impaire : \(f(x) = x^2 + x\)
Le taux d’accroissement (ou taux de variation) de \(f\) entre deux points distincts \(x\) et \(y\) est :
Utilisation pour la monotonie :
- Si \(T \ge 0\) pour tous \(x, y \in I\) → \(f\) est croissante sur \(I\).
- Si \(T \le 0\) pour tous \(x, y \in I\) → \(f\) est décroissante sur \(I\).
- Si \(T = 0\) pour tous \(x, y \in I\) → \(f\) est constante sur \(I\).
Soit \(a \in D_f\).
Maximum absolu : \(f(a)\) est un maximum absolu sur \(D_f\) si \(\forall x \in D_f\), \(f(x) \le f(a)\).
Minimum absolu : \(f(a)\) est un minimum absolu sur \(D_f\) si \(\forall x \in D_f\), \(f(x) \ge f(a)\).
Extremum local : La propriété n’est vraie que sur un voisinage de \(a\).
Soit \(f\) définie sur \(I \subset D_f\) et \(M, m \in \mathbb{R}\).
- Majorée par \(M\) : \(\forall x \in I,\ f(x) \le M\). \(M\) est un majorant.
- Minorée par \(m\) : \(\forall x \in I,\ f(x) \ge m\). \(m\) est un minorant.
- Bornée : \(f\) est à la fois majorée et minorée. Équivalence : \(\exists A \in \mathbb{R}^+,\ \forall x \in I,\ |f(x)| \le A\).
Soit \(T > 0\). \(f\) est dite \(T\)-périodique si :
- Pour tout \(x \in D_f\), \(x+T \in D_f\) (et \(x-T \in D_f\)).
- Pour tout \(x \in D_f\), \(f(x+T) = f(x)\).
Interprétation géométrique : La courbe se répète par translation horizontale de vecteur \(T \vec{i}\).
• \(\sin x\) et \(\cos x\) sont \(2\pi\)-périodiques.
• \(\tan x\) est \(\pi\)-périodique.
• \(f(x) = \cos(2x)\) est \(\pi\)-périodique.
La fonction composée \(g \circ f\) (lire « g rond f ») est définie par :
Domaine de définition :
Monotonie de la composée :
- Si \(f\) et \(g\) ont le même sens de variation → \(g \circ f\) est croissante.
- Si \(f\) et \(g\) ont des sens de variation contraires → \(g \circ f\) est décroissante.
Soit \(f(x) = ax^3\) avec \(a \neq 0\).
Parité : \(f(-x) = a(-x)^3 = -ax^3 = -f(x)\). Donc \(f\) est impaire. La courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Monotonie :
- Si \(a > 0\) : \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Si \(a < 0\) : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(f(x) = \sqrt{x+a}\).
Ensemble de définition : Il faut \(x + a \ge 0\), soit \(x \ge -a\).
Monotonie : La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0;+\infty[\). La translation \(x \mapsto x+a\) est croissante. La composée de deux fonctions croissantes est croissante.
• \(f(x) = \sqrt{x-3}\) → \(D_f = [3;+\infty[\), croissante sur \([3;+\infty[\).
• \(f(x) = \sqrt{x+2}\) → \(D_f = [-2;+\infty[\), croissante sur \([-2;+\infty[\).
📝 Exercice 1 : Ensemble de définition d’une fonction
Déterminer l’ensemble de définition \( D_f \) des fonctions suivantes :
\( f(x) = 3x^2 – x + 1 \)
\( f(x) = \dfrac{x^3}{2x – 4} \)
\( f(x) = \dfrac{2x^4}{x^2 – 4} \)
\( f(x) = \dfrac{7x – 1}{x^3 – 2x} \)
\( f(x) = \sqrt{-3x + 6} \)
\( f(x) = \dfrac{x – 5}{2x^2 – 5x – 3} \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 – 3x + 2} \)
\( f(x) = \sqrt{\dfrac{-3x + 9}{x + 1}} \)
\( f(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{-2x^2 + x + 3}} \)
\( f(x) = \dfrac{|x – 5|}{x^2 + 1} \)
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{|x|}}{x} \)
\( f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x – 1} \)
📝
Corrigé : Ensemble de définition d’une fonction
\( f \) est un polynôme, donc défini pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
Condition : \( 2x – 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \).
Condition : \( x^2 – 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq 2 \) et \( x \neq -2 \).
Condition : \( x^3 – 2x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 – 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \) et \( x \neq \sqrt{2} \) et \( x \neq -\sqrt{2} \).
Condition : \( -3x + 6 \ge 0 \Rightarrow -3x \ge -6 \Rightarrow x \le 2 \).
Condition : \( 2x^2 – 5x – 3 \neq 0 \). Calcul du discriminant :
Condition : \( x^2 – 3x + 2 \ge 0 \). Factorisons :
Tableau de signe : \( (x-1)(x-2) \ge 0 \) sur \( ]-\infty; 1] \cup [2; +\infty[ \).
Conditions : \( \dfrac{-3x + 9}{x + 1} \ge 0 \) et \( x + 1 \neq 0 \).
\( -3x + 9 = -3(x – 3) \). Étudions le signe du quotient.
Condition : \( -2x^2 + x + 3 > 0 \) (strictement positif car dénominateur).
Le dénominateur \( x^2 + 1 > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \). La valeur absolue est toujours définie.
Conditions : \( |x| \ge 0 \) (toujours vrai) et \( x \neq 0 \).
Conditions : \( x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \) et \( x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \).
📊 Exercice 2 : Lecture graphique d’une fonction
Soit \( f \) une fonction définie par son graphe ci-dessous :
📈 Courbe représentative de la fonction \( f \)
Déterminer graphiquement :
L’ensemble de définition de la fonction \( f \).
Les images de \( -5 \), \( -4 \), \( -3 \), \( 3 \) et \( 4 \) par la fonction \( f \).
Les antécédents de \( 2 \) par la fonction \( f \).
L’ensemble de définition est l’ensemble de tous les \( x \) pour lesquels la fonction est définie. Graphiquement, ce sont toutes les abscisses des points de la courbe.
D’après le graphe, la fonction est définie pour \( x \) allant de \( -5 \) à \( 7 \).
Pour déterminer l’image d’un nombre, on lit son ordonnée sur le graphe.
Pour trouver les antécédents de \( 2 \), on cherche les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée est égale à \( 2 \).
- \( f(-5) = 2 \) → \( -5 \) est un antécédent de \( 2 \).
- \( f(-2) = 2 \) → \( -2 \) est un antécédent de \( 2 \).
- \( f(2) = 2 \) → \( 2 \) est un antécédent de \( 2 \).
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📝 Exercice 3 : Ensemble de définition et parité d’une fonction
Déterminer l’ensemble de définition puis étudier la parité (paire, impaire ou ni paire ni impaire) des fonctions suivantes :
\( f(x) = x^2 + 2 \)
\( g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 + 1} \)
\( h(x) = \dfrac{x}{x^2 – 4} \)
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📝 Exercice 4 : Symétrie d’une fonction avec valeur absolue
Soit la fonction définie par :
\[ f(x) = \frac{|x| + 1}{2|x| – 3} \]
et \( (C_f) \) la courbe de \( f \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
Montrer que la courbe \( (C_f) \) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
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📝 Exercice 5 : Taux de variation et monotonie d’une fonction
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = x^2 – 4x + 1 \)
Calculer le taux de variation de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
Étudier le sens de variation de \( f \) sur l’intervalle \( [2; +\infty[ \).
Étudier le sens de variation de \( f \) sur l’intervalle \( ]-\infty; 2] \).
Dresser le tableau de variation de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
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📝 Exercice 6 : Recherche d’extremums (minimum et maximum)
Montrer les propositions suivantes :
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( f(x) = x^2 – 4x + 1 \)
Montrer que \( -3 \) est le minimum de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
Soit \( g \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par : \( g(x) = \dfrac{x^2}{1 + x^4} \)
Montrer que \( g \) admet un maximum en \( 1 \) sur \( \mathbb{R} \).
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📝Exercice 7 : Minorant, majorant, fonction bornée
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
\[ f(x) = \frac{2x^2 + 7x + 7}{x^2 + 3x + 3} \]
Déterminer \( D_f \) (l’ensemble de définition de \( f \)).
Démontrer que \( f \) est minorée par \( 1 \).
Démontrer que \( f \) est majorée par \( \dfrac{7}{3} \). Conclure.
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📝Exercice 8 : Majorant, minorant, valeurs maximale et minimale
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
\[ f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1} \]
Déterminer \( D_f \) (l’ensemble de définition de \( f \)).
Démontrer que \( f \) est majorée par \( 3 \).
Est-ce que \( 3 \) est une valeur maximale de \( f \) ? Justifier.
Démontrer que \( f \) est minorée par \( 2 \).
Est-ce que \( 2 \) est une valeur minimale de \( f \) ? Justifier.
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📊Exercice 9 : Lecture graphique d’une fonction
On considère la représentation graphique de la fonction \( f \) ci-dessous :
📈 Courbe représentative de la fonction \( f \)
Sur quel intervalle la fonction \( f \) est-elle définie ?
Donner les variations de la fonction.
Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints.
Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.
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📊Exercice 10 : Lecture d’un tableau de variations
\( f \) une fonction dont le tableau de variations :
Déterminer \( D_f \) (l’ensemble de définition de \( f \)).
Déterminer les extremums de \( f \) sur \( D_f \).
Déterminer \( f([-3; 1]) \) et \( f([1; 5]) \).
Déterminer \( f([-4; -3]) \) et \( f([-4; 5]) \).
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📊Exercice 11 : Lecture graphique – Images, variations, équations et inéquations
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies sur \( ]0; +\infty[ \) par leurs représentations graphiques ci-dessous :
📈 Courbes représentatives de \( f \)
Déterminer \( f(1) \), \( f(2) \), \( f(4) \), \( g(5) \), \( g(1) \).
Dresser le tableau de variations de \( f \) et de \( g \).
Déterminer graphiquement : \( f([4;5]) \), \( f([1;2]) \), \( f([4;+\infty[) \), \( g([1;5]) \), \( g([5;+\infty[) \).
Résoudre graphiquement les équations : \( f(x) = 0 \), \( f(x) = 3 \), \( g(x) = f(x) \).
Résoudre graphiquement les inéquations : \( f(x) < 3 \), \( f(x) < g(x) \), \( f(x) \geq g(x) \).
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📝Exercice 12 : Étude d’une fonction polynôme du second degré
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
\[ f(x) = 2x^2 – 4x – 2 \]
Étudier les variations de \( f \), dresser le tableau de variation et tracer la courbe \( (C_f) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
Déterminer l’ensemble de définition \( D_f \).
Écrire \( f(x) \) sous forme canonique.
Déterminer les coordonnées du sommet \( W \) et l’axe de symétrie de la parabole.
Étudier les variations de \( f \) et dresser le tableau de variation.
Tracer la courbe \( (C_f) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
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📝Exercice 13 : Étude d’une fonction polynôme du second degré (a < 0)
Soit \( g \) une fonction numérique définie par :
\[ g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1 \]
Étudier les variations de \( g \), dresser le tableau de variation et tracer la courbe \( (C_g) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
Déterminer l’ensemble de définition \( D_g \).
Écrire \( g(x) \) sous forme canonique.
Déterminer les coordonnées du sommet \( W \) et l’axe de symétrie de la parabole.
Étudier les variations de \( g \) et dresser le tableau de variation.
Tracer la courbe \( (C_g) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
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📝Exercice 14 : Étude d’une fonction homographique
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
\[ f(x) = \frac{2x + 1}{x – 1} \]
Étudier les variations de \( f \), dresser le tableau de variation et tracer la courbe \( (C_f) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
Déterminer l’ensemble de définition \( D_f \).
Écrire \( f(x) \) sous la forme \( a + \frac{b}{x-1} \).
Déterminer les asymptotes de la courbe \( (C_f) \).
Étudier les variations de \( f \) et dresser le tableau de variation.
Tracer la courbe \( (C_f) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
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📝Exercice 15 : Étude d’une fonction homographique
Soit \( g \) une fonction numérique définie par :
\[ g(x) = \frac{-x}{x – 2} \]
Étudier les variations de \( g \), dresser le tableau de variation et tracer la courbe \( (C_g) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
Déterminer l’ensemble de définition \( D_g \).
Écrire \( g(x) \) sous la forme \( a + \frac{b}{x-2} \).
Déterminer les asymptotes de la courbe \( (C_g) \).
Étudier les variations de \( g \) et dresser le tableau de variation.
Tracer la courbe \( (C_g) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
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📝Exercice 16 : Étude de la fonction cube
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
\[ f(x) = \frac{1}{4}x^3 \]
Déterminer \( D_f \) (l’ensemble de définition de \( f \)).
Étudier les variations de \( f \) et dresser le tableau de variation.
Tracer la courbe \( (C_f) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
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📝Exercice 17 : Étude d’une fonction racine carrée
Soit \( f \) une fonction numérique définie par :
\[ f(x) = \sqrt{x + 2} \]
Déterminer \( D_f \) (l’ensemble de définition de \( f \)).
Étudier les variations de \( f \) et dresser le tableau de variation.
Tracer la courbe \( (C_f) \) dans le repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \).
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📝Exercice 18 : Composition de fonctions
Soit les fonctions \( f \) et \( g \) définies par :
\[ f(x) = x^2 – 2x + 3 \qquad \text{et} \qquad g(x) = 2x + 1 \]
Déterminer \( g \circ f \).
Déterminer \( f \circ g \).
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📝Exercice 19 : Composition de fonctions et domaine de définition
Soit les fonctions \( f \) et \( g \) définies par :
\[ f(x) = 3x + 4 \qquad \text{et} \qquad g(x) = \frac{1}{x + 1} \]
Déterminer \( D_{g \circ f} \) (l’ensemble de définition de \( g \circ f \)).
Déterminer \( (g \circ f)(x) \).
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📝Exercice 20 : Composition de fonctions et égalité
Soit les fonctions \( f \) et \( g \) définies par :
\[ g(x) = \frac{x}{x+2} \qquad \text{et} \qquad f(x) = \frac{x+3}{x+1} \]
On pose : \( h(x) = (g \circ f)(x) \).
Déterminer \( D_h \) (l’ensemble de définition de \( h \)).
Déterminer \( h(x) \).
Soit la fonction \( k \) définie par : \( k(x) = \dfrac{x+3}{3x+5} \). Les fonctions \( h \) et \( k \) sont-elles égales ? Justifier.
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📝Exercice 21 : Décomposition et variations par composition
Soit \( f \) la fonction définie sur l’intervalle \( [0; +\infty[ \) par :
\[ f(x) = -5x^2 + 7 \]
Décomposer la fonction \( f \) en fonctions élémentaires et étudier les variations de \( f \).
Décomposer \( f \) en fonctions élémentaires (trouver \( u \) et \( v \) telles que \( f = v \circ u \)).
Étudier les variations de \( f \) sur \( [0; +\infty[ \) en utilisant le théorème de la composée.
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📝Exercice 22 : Décomposition d’une fonction racine carrée
Soit la fonction \( h \) définie sur \( ]-\infty; 1] \) par :
\[ h(x) = \sqrt{1 – x} \]
Décomposer \( h \) en deux fonctions élémentaires (trouver \( f \) et \( g \) telles que \( h = g \circ f \)).
Déterminer les variations de \( h \) sur \( ]-\infty; 1] \).
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📝Exercice 23 : Étude complète de deux fonctions
Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions définies par :
\[ f(x) = x^2 – 4x + 3 \qquad \text{et} \qquad g(x) = \frac{x+2}{x+1} \]
Dresser le tableau de variations de \( f \).
Déterminer la nature de \( (C_f) \).
Déterminer les points d’intersection de \( (C_f) \) avec les axes du repère.
Tracer la courbe \( (C_f) \) dans le repère.
Dresser le tableau de variations de \( g \).
Déterminer la nature de \( (C_g) \).
Déterminer les points d’intersection de \( (C_g) \) avec les axes.
Tracer la courbe \( (C_g) \) dans le repère.
Montrer que \( f \) est minorée par \( -1 \) sur \( \mathbb{R} \).
Déterminer \( D_{g \circ f} \) puis calculer \( (g \circ f)(x) \).
Déterminer \( D_{f \circ g} \) puis calculer \( (f \circ g)(x) \).
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📝Exercice 24
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies par :
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^3 \qquad \text{et} \qquad g(x) = \frac{x + 6}{2x – 2} \]
Dresser le tableau de variations de \( f \) et de \( g \).
Vérifier que \( (C_f) \) et \( (C_g) \) sont sécantes en \( A(2; 4) \), puis tracer \( (C_f) \) et \( (C_g) \).
Déterminer graphiquement \( g([2; +\infty[) \).
Étudier la monotonie de \( f \circ g \) sur \( [2; +\infty[ \).
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📝Exercice 25
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions définies par :
\[ f(x) = -x^2 + 2x + 1 \qquad \text{et} \qquad g(x) = \sqrt{x-1} \]
Vérifier que \( (C_f) \) et \( (C_g) \) sont sécantes au point \( A(2; 1) \).
Représenter les courbes \( (C_f) \) et \( (C_g) \) dans le repère orthonormé.
Déterminer graphiquement \( f([0; 1]) \) et \( f([1; 2]) \).
Déterminer l’ensemble de définition \( D_h \) de \( h(x) = \sqrt{2x – x^2} \).
Vérifier que \( h(x) = (g \circ f)(x) \) pour tout \( x \in D_h \).
Étudier la monotonie de \( h \) sur les intervalles \([0; 1]\) et \([1; 2]\).
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📝Exercice 26 : Étude d’une fonction composée
Soient \( f \), \( g \) et \( h \) les trois fonctions définies par :
\[ f(x) = \frac{6x^2 + 8x + 11}{(x-1)^2} \qquad \text{et} \qquad g(x) = \frac{2x + 3}{x-1} \qquad \text{et} \qquad h(x) = x^2 + 2 \]
Étudier les variations de \( g \) et de \( h \).
Étudier le signe de la fonction \( g \).
Montrer que : \( \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} : f(x) = (h \circ g)(x) \).
Étudier les variations de \( f \) dans les intervalles : \( ]1; +\infty[ \), \( \left[-\frac{3}{2}; 1\right[ \), \( \left]-\infty; -\frac{3}{2}\right] \).
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Généralités sur les fonctions – exercices corrigés 1Bac