Exercice 1 : Ensemble de définition (3 points)

Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\) des fonctions suivantes :

1) \(f(x) = \sqrt{2x – 6}\)   (1 pt)
2) \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2 – 9}\)   (1 pt)
3) \(f(x) = \sqrt{x^2 – 4x + 3}\)   (1 pt)

Exercice 2 : Parité d’une fonction (3 points)

Étudier la parité des fonctions suivantes :

1) \(f(x) = x^4 – 2x^2 + 1\)   (1,5 pt)
2) \(g(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}\)   (1,5 pt)

Exercice 3 : Variations et extremums (4 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 – 4x + 5\).

1) Calculer le taux de variation de \(f\) entre deux réels \(a\) et \(b\) (\(a \neq b\)). (1 pt)

2) Étudier le sens de variation de \(f\) sur \(]-\infty; 2]\) et sur \([2; +\infty[\). (2 pts)

3) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

4) Déterminer la valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

Exercice 4 : Comparaison de deux fonctions (4 points)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :

\(f(x) = x^2 – 2x + 2\) et \(g(x) = -x^2 + 2x\)

1) Calculer \(f(x) – g(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). (1 pt)

2) Étudier le signe de \(f(x) – g(x)\) sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)

3) En déduire la position relative des courbes \(C_f\) et \(C_g\). (1 pt)

Exercice 5 : Composée de deux fonctions (3 points)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par :

\(f(x) = 2x – 1\) et \(g(x) = \sqrt{x}\)

1) Déterminer \(D_f\) et \(D_g\). (1 pt)

2) Déterminer \(D_{g \circ f}\) et donner l’expression de \((g \circ f)(x)\). (2 pts)

Exercice 6 : Problème de synthèse (3 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \sqrt{x^2 – 2x + 2}\).

1) Montrer que \(f\) peut s’écrire comme une composée de deux fonctions. (1 pt)

2) Déterminer les variations de \(f\) sur \(]-\infty; 1]\) et \([1; +\infty[\). (2 pts)