Généralités sur les fonctions – Cours 1Bac

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

1er Bac Sciences Expérimentales

Fonction numérique d’une variable réelle

1) Définition générale

Une fonction numérique f est une relation qui associe à chaque nombre réel \(x\) (appartenant à un certain ensemble appelé ensemble de définition) au plus un nombre réel \(y\). On note :

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
\(x \mapsto y = f(x)\)

Antécédent : le nombre \(x\)
Image : le nombre \(y = f(x)\)
Un antécédent peut avoir plusieurs images ? Non (fonction). Une image peut avoir plusieurs antécédents ? Oui (exemple : \(x^2 = 4\) donne \(x=2\) ou \(x=-2\)).

📌 Exemple :

Soit \(f(x) = 2x – 3\).
• L’image de \(5\) est \(f(5) = 2 \times 5 – 3 = 10 – 3 = 7\).
• L’antécédent de \(-5\) : on résout \(2x – 3 = -5\) → \(2x = -2\) → \(x = -1\). Donc l’antécédent de \(-5\) est \(-1\).

2) Ensemble de définition \(D_f\)

L’ensemble de définition \(D_f\) est l’ensemble de tous les nombres réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe (est calculable).
Règles générales :

Pour un polynôme : \(D_f = \mathbb{R}\) (toujours défini).
Pour une fraction \(\frac{N(x)}{D(x)}\) : il faut \(D(x) \neq 0\).
Pour une racine carrée \(\sqrt{R(x)}\) : il faut \(R(x) \ge 0\).
Pour une fonction trigonométrique comme \(\tan x\) : \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\).

📌 Exemples :

• \(f(x) = \sqrt{3 – x}\) → condition : \(3 – x \ge 0\) → \(x \le 3\) → \(D_f = ]-\infty; 3]\).
• \(f(x) = \dfrac{-2x-4}{x^2-4}\) → condition : \(x^2 – 4 \neq 0\) → \(x \neq 2\) et \(x \neq -2\) → \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\).
• \(f(x) = \sqrt{x^2 – 5x}\) → condition : \(x^2 – 5x \ge 0\) → \(x(x-5) \ge 0\) → \(D_f = ]-\infty;0] \cup [5;+\infty[\).

Parité d’une fonction

1) Fonction paire

Définition : \(f\) est paire si et seulement si :

\(\forall x \in D_f,\ -x \in D_f\) et \(f(-x) = f(x)\)

Interprétation géométrique : Dans un repère orthonormé, la courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (l’axe (Oy)).

2) Fonction impaire

Définition : \(f\) est impaire si et seulement si :

\(\forall x \in D_f,\ -x \in D_f\) et \(f(-x) = -f(x)\)

Interprétation géométrique : La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine O du repère (rotation de 180° autour de O).

📌 Exemples :

• Fonction paire : \(f(x) = 3x^2 + 1\). Vérification : \(f(-x) = 3(-x)^2 + 1 = 3x^2 + 1 = f(x)\).
• Fonction impaire : \(f(x) = 3x^3\). Vérification : \(f(-x) = 3(-x)^3 = -3x^3 = -f(x)\).
• Ni paire ni impaire : \(f(x) = x^2 + x\).

III

Sens de variation et extremums

1) Définitions de la monotonie

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

Croissante sur \(I\) : \(\forall a,b \in I,\ a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b)\).
Strictement croissante : \(a < b \Rightarrow f(a) < f(b)\).
Décroissante sur \(I\) : \(\forall a,b \in I,\ a \le b \Rightarrow f(a) \ge f(b)\).
Strictement décroissante : \(a < b \Rightarrow f(a) > f(b)\).
Constante sur \(I\) : \(\forall a,b \in I,\ f(a) = f(b)\).
Monotone sur \(I\) : \(f\) est soit croissante, soit décroissante sur \(I\).

2) Taux d’accroissement (ou taux de variation)

Soient \(x\) et \(y\) deux réels distincts de \(I\). Le taux d’accroissement de \(f\) entre \(x\) et \(y\) est :

\(T = \dfrac{f(x) – f(y)}{x – y}\)

Si \(T \ge 0\) pour tous \(x,y \in I\) → \(f\) est croissante sur \(I\).
Si \(T \le 0\) pour tous \(x,y \in I\) → \(f\) est décroissante sur \(I\).
Si \(T = 0\) pour tous \(x,y \in I\) → \(f\) est constante sur \(I\).

3) Extremums d’une fonction

\(f(a)\) est un maximum absolu sur \(D_f\) si \(\forall x \in D_f,\ f(x) \le f(a)\).
\(f(a)\) est un minimum absolu sur \(D_f\) si \(\forall x \in D_f,\ f(x) \ge f(a)\).
On parle d’extremum local si la propriété n’est vraie que sur un voisinage de \(a\).

📌 Exemple :

Soit \(f(x) = x^2 – 4x + 1\).
• Taux : \(T = x + y – 4\).
• Sur \([2;+\infty[\) : \(x \ge 2\) et \(y \ge 2\) ⇒ \(T \ge 0\) ⇒ \(f\) croissante.
• Sur \(]-\infty;2]\) : \(T \le 0\) ⇒ \(f\) décroissante.
• En \(x=2\), \(f(2) = -3\) est le minimum absolu.

Fonctions majorée, minorée, bornée

Majorée par \(M\) : \(\forall x \in I,\ f(x) \le M\). \(M\) est un majorant.
Minorée par \(m\) : \(\forall x \in I,\ f(x) \ge m\). \(m\) est un minorant.
Bornée : \(f\) est à la fois majorée et minorée.
Équivalence : \(\exists A \in \mathbb{R}^+,\ \forall x \in I,\ |f(x)| \le A\).

📌 Exemple :

Soit \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
• \(x^2+1 \ge 1\) ⇒ \(0 < \dfrac{1}{x^2+1} \le 1\).
• \(f\) est majorée par 1 et minorée par 0.
• \(f\) est bornée car \(0 \le f(x) \le 1\) ⇔ \(|f(x)| \le 1\).

Fonctions périodiques

Définition : Soit \(T > 0\). \(f\) est dite \(T\)-périodique (ou périodique de période \(T\)) sur \(D_f\) si :

Pour tout \(x \in D_f\), on a \(x+T \in D_f\) (et aussi \(x-T \in D_f\)).
Pour tout \(x \in D_f\), on a \(f(x+T) = f(x)\).

📌 Exemples détaillés :

• \(\sin x\) et \(\cos x\) sont \(2\pi\)-périodiques.
• \(\tan x\) est \(\pi\)-périodique.
• \(f(x) = \cos(2x)\) est \(\pi\)-périodique.
• \(g(x) = \sin(2\pi x)\) est de période \(1\).

Comparaison de deux fonctions

1) Égalité de deux fonctions

\(D_f = D_g = D\)
\(\forall x \in D,\ f(x) = g(x)\)

2) Comparaison (inégalités)

\(f \le g\) sur \(D\) ⇔ \(\forall x \in D,\ f(x) \le g(x)\).
\(f \ge g\) sur \(D\) ⇔ \(\forall x \in D,\ f(x) \ge g(x)\).
\(f\) est positive sur \(D\) ⇔ \(f(x) \ge 0\).
\(f\) est négative sur \(D\) ⇔ \(f(x) \le 0\).

📌 Exemple :

Soit \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=x\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f(x)-g(x) = x^2 – x = x(x-1)\).
• Sur \(]-\infty;0] \cup [1;+\infty[\) : \(f \ge g\).
• Sur \([0;1]\) : \(f \le g\).

VII

Image d’un intervalle par une fonction

\(f(I) = \{ f(x) \mid x \in I \}\)

Si \(f\) est croissante sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [f(a); f(b)]\).
Si \(f\) est décroissante sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [f(b); f(a)]\).
Si \(f\) change de monotonie sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [m; M]\).

📌 Exemple :

Soit \(f(x) = x^2\) sur \([-2;3]\).
• Minimum : \(f(0) = 0\). Maximum : \(f(3) = 9\).
• \(f([-2;3]) = [0;9]\).

VIII

Composée de deux fonctions

1) Définition de la composée \(g \circ f\)

\((g \circ f)(x) = g(f(x))\)

\(D_{g \circ f} = \{ x \in D_f \mid f(x) \in D_g \}\)

2) Monotonie de la composée

Si \(f\) et \(g\) ont le même sens de variation → \(g \circ f\) est croissante.
Si \(f\) et \(g\) ont des sens de variation contraires → \(g \circ f\) est décroissante.

📌 Exemple :

Soit \(h(x) = \sqrt{x^2+1}\) avec \(f(x)=x^2+1\) et \(g(x)=\sqrt{x}\).
• Sur \(]-\infty;0]\) : \(f\) décroît, \(g\) croît → \(h\) est décroissante.
• Sur \([0;+\infty[\) : \(f\) croît, \(g\) croît → \(h\) est croissante.

Fonctions \(x \mapsto ax^3\) et \(x \mapsto \sqrt{x+a}\)

1) Fonction cube : \(f(x) = ax^3\) (a ≠ 0)

Parité : \(f(-x) = -f(x)\) ⇒ \(f\) est impaire.
Monotonie :

Si \(a > 0\) : \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Si \(a < 0\) : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

2) Fonction racine carrée translatée : \(f(x) = \sqrt{x+a}\)

Domaine de définition : \(D_f = [-a; +\infty[\).
Monotonie : \(f\) est strictement croissante sur \([-a;+\infty[\).

📌 Exemples :

• \(f(x) = 2x^3\) : croissante sur \(\mathbb{R}\).
• \(f(x) = -4x^3\) : décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• \(f(x) = \sqrt{x-3}\) : \(D_f = [3;+\infty[\), croissante.
• \(f(x) = \sqrt{x+2}\) : \(D_f = [-2;+\infty[\), croissante.

📌 Synthèse du chapitre

Ce cours détaillé couvre l’intégralité des généralités sur les fonctions au programme de la première bac sciences expérimentales :
• Définitions de base : image, antécédent, ensemble de définition.
• Étude qualitative : parité, monotonie (taux d’accroissement), extremums, majoration/minoration, périodicité.
• Relations entre fonctions : égalité, comparaison, image d’un intervalle.
• Opérations avancées : composition de fonctions (domaine et monotonie).
• Fonctions de référence : cube (\(ax^3\)) et racine carrée translatée (\(\sqrt{x+a}\)).

Généralités sur les fonctions – Cours 1Bac