Généralités sur les fonctions – Cours 1Bac

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

1er Bac Sciences Expérimentales

Fonction numérique d’une variable réelle

1) Définition générale

Une fonction numérique f est une relation qui associe à chaque nombre réel \(x\) (appartenant à un certain ensemble appelé ensemble de définition) au plus un nombre réel \(y\). On note :

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) \(x \mapsto y = f(x)\)

Antécédent : le nombre \(x\)
Image : le nombre \(y = f(x)\)
Un antécédent peut avoir plusieurs images ? Non (fonction). Une image peut avoir plusieurs antécédents ? Oui (exemple : \(x^2 = 4\) donne \(x=2\) ou \(x=-2\)).

📌 Exemple : Soit \(f(x) = 2x – 3\). • L’image de \(5\) est \(f(5) = 2 \times 5 – 3 = 10 – 3 = 7\). • L’antécédent de \(-5\) : on résout \(2x – 3 = -5\) → \(2x = -2\) → \(x = -1\). Donc l’antécédent de \(-5\) est \(-1\).

2) Ensemble de définition \(D_f\)

L’ensemble de définition \(D_f\) est l’ensemble de tous les nombres réels \(x\) pour lesquels \(f(x)\) existe (est calculable). Règles générales :

Pour un polynôme : \(D_f = \mathbb{R}\) (toujours défini).
Pour une fraction \(\frac{N(x)}{D(x)}\) : il faut \(D(x) \neq 0\).
Pour une racine carrée \(\sqrt{R(x)}\) : il faut \(R(x) \ge 0\).
Pour une fonction trigonométrique comme \(\tan x\) : \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\).

📌 Exemples : • \(f(x) = \sqrt{3 – x}\) → condition : \(3 – x \ge 0\) → \(x \le 3\) → \(D_f = ]-\infty; 3]\). • \(f(x) = \dfrac{-2x-4}{x^2-4}\) → condition : \(x^2 – 4 \neq 0\) → \(x \neq 2\) et \(x \neq -2\) → \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\} = ]-\infty;-2[ \cup ]-2;2[ \cup ]2;+\infty[\). • \(f(x) = \sqrt{x^2 – 5x}\) → condition : \(x^2 – 5x \ge 0\) → \(x(x-5) \ge 0\) → \(D_f = ]-\infty;0] \cup [5;+\infty[\).

Parité d’une fonction

1) Fonction paire

Définition : \(f\) est paire si et seulement si :

\(\forall x \in D_f,\ -x \in D_f\) et \(f(-x) = f(x)\)

Interprétation géométrique : Dans un repère orthonormé, la courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (l’axe (Oy)). Conséquence pratique : On peut étudier la fonction uniquement sur \(\mathbb{R}^+\) (ou \(\mathbb{R}^-\)) et compléter par symétrie.

2) Fonction impaire

Définition : \(f\) est impaire si et seulement si :

\(\forall x \in D_f,\ -x \in D_f\) et \(f(-x) = -f(x)\)

Interprétation géométrique : La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine O du repère (rotation de 180° autour de O).

📌 Exemples : • Fonction paire : \(f(x) = 3x^2 + 1\). Vérification : \(f(-x) = 3(-x)^2 + 1 = 3x^2 + 1 = f(x)\). • Fonction impaire : \(f(x) = 3x^3\). Vérification : \(f(-x) = 3(-x)^3 = -3x^3 = -f(x)\). • Ni paire ni impaire : \(f(x) = x^2 + x\). (Vérifier que \(f(-x) \neq f(x)\) et \(f(-x) \neq -f(x)\))

III

Sens de variation et extremums

1) Définitions de la monotonie

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

Croissante sur \(I\) : \(\forall a,b \in I,\ a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b)\). Interprétation : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente ou reste égal.
Strictement croissante : \(a < b \Rightarrow f(a) < f(b)\).
Décroissante sur \(I\) : \(\forall a,b \in I,\ a \le b \Rightarrow f(a) \ge f(b)\). Interprétation : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue ou reste égal.
Strictement décroissante : \(a < b \Rightarrow f(a) > f(b)\).
Constante sur \(I\) : \(\forall a,b \in I,\ f(a) = f(b)\).
Monotone sur \(I\) : \(f\) est soit croissante, soit décroissante sur \(I\).

2) Taux d’accroissement (ou taux de variation)

Soient \(x\) et \(y\) deux réels distincts de \(I\). Le taux d’accroissement de \(f\) entre \(x\) et \(y\) est :

\(T = \dfrac{f(x) – f(y)}{x – y}\)

Propriétés :

Si \(T \ge 0\) pour tous \(x,y \in I\) → \(f\) est croissante sur \(I\).
Si \(T \le 0\) pour tous \(x,y \in I\) → \(f\) est décroissante sur \(I\).
Si \(T = 0\) pour tous \(x,y \in I\) → \(f\) est constante sur \(I\).

3) Extremums d’une fonction

Définition : Soit \(a \in D_f\).

\(f(a)\) est un maximum absolu sur \(D_f\) si \(\forall x \in D_f,\ f(x) \le f(a)\).
\(f(a)\) est un minimum absolu sur \(D_f\) si \(\forall x \in D_f,\ f(x) \ge f(a)\).
On parle d’extremum local si la propriété n’est vraie que sur un voisinage de \(a\).

📌 Exemple : Soit \(f(x) = x^2 – 4x + 1\). • Calcul du taux : \(T = \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} = \dfrac{(x^2-4x+1)-(y^2-4y+1)}{x-y} = \dfrac{(x-y)(x+y-4)}{x-y} = x + y – 4\). • Sur \([2;+\infty[\) : \(x \ge 2\) et \(y \ge 2\) ⇒ \(x+y-4 \ge 0\) ⇒ \(T \ge 0\) ⇒ \(f\) croissante. • Sur \(]-\infty;2]\) : \(x \le 2\) et \(y \le 2\) ⇒ \(x+y-4 \le 0\) ⇒ \(T \le 0\) ⇒ \(f\) décroissante. • En \(x=2\), \(f(2) = 4 – 8 + 1 = -3\). La fonction décroît jusqu’à \(-3\) puis croît ⇒ \(-3\) est le minimum absolu atteint en \(x=2\).

Fonctions majorée, minorée, bornée

Définitions : Soit \(f\) une fonction définie sur \(I \subset D_f\) et \(M, m \in \mathbb{R}\).

Majorée par \(M\) : \(\forall x \in I,\ f(x) \le M\). \(M\) est un majorant.
Minorée par \(m\) : \(\forall x \in I,\ f(x) \ge m\). \(m\) est un minorant.
Bornée : \(f\) est à la fois majorée et minorée. Équivalence : \(\exists A \in \mathbb{R}^+,\ \forall x \in I,\ |f(x)| \le A\).

📌 Exemple : Soit \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\) définie sur \(\mathbb{R}\). • \(x^2+1 \ge 1\) ⇒ \(0 < \dfrac{1}{x^2+1} \le 1\). • Donc \(f(x) \le 1\) : \(f\) est majorée par 1 (1 est le maximum atteint en \(x=0\)). • \(f(x) \ge 0\) : \(f\) est minorée par 0 (0 n’est pas atteint mais c’est un minorant). • \(f\) est bornée car \(0 \le f(x) \le 1\) ⇔ \(|f(x)| \le 1\).

Fonctions périodiques

Définition : Soit \(T > 0\). \(f\) est dite \(T\)-périodique (ou périodique de période \(T\)) sur \(D_f\) si :

Pour tout \(x \in D_f\), on a \(x+T \in D_f\) (et aussi \(x-T \in D_f\)).
Pour tout \(x \in D_f\), on a \(f(x+T) = f(x)\).

Interprétation géométrique : La courbe se répète identique à elle-même par translation horizontale de vecteur \(T \vec{i}\). Conséquence pratique : On peut étudier la fonction sur une période (par exemple \([0;T[\)) puis reproduire le motif.

📌 Exemples détaillés : • \(\sin x\) et \(\cos x\) sont \(2\pi\)-périodiques. Vérification : \(\sin(x+2\pi) = \sin x\). • \(\tan x\) est \(\pi\)-périodique : \(\tan(x+\pi) = \tan x\). • Montrons que \(f(x) = \cos(2x)\) est \(\pi\)-périodique : \(f(x+\pi) = \cos(2(x+\pi)) = \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x) = f(x)\). • Montrons que \(g(x) = \sin(2\pi x)\) est de période \(1\) : \(g(x+1) = \sin(2\pi(x+1)) = \sin(2\pi x + 2\pi) = \sin(2\pi x) = g(x)\).

Comparaison de deux fonctions

1) Égalité de deux fonctions

Définition : \(f = g\) sur \(D\) si et seulement si :

\(D_f = D_g = D\)
\(\forall x \in D,\ f(x) = g(x)\)

Interprétation géométrique : Les courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) sont confondues sur \(D\).

2) Comparaison (inégalités)

Définition : Soient \(f\) et \(g\) définies sur \(D\).

\(f \le g\) sur \(D\) ⇔ \(\forall x \in D,\ f(x) \le g(x)\). Interprétation : \((C_f)\) est au dessous de \((C_g)\) sur \(D\).
\(f \ge g\) sur \(D\) ⇔ \(\forall x \in D,\ f(x) \ge g(x)\). Interprétation : \((C_f)\) est au dessus de \((C_g)\) sur \(D\).
\(f\) est positive sur \(D\) ⇔ \(f(x) \ge 0\) (courbe au-dessus de l’axe des abscisses).
\(f\) est négative sur \(D\) ⇔ \(f(x) \le 0\) (courbe en dessous de l’axe des abscisses).

Méthode pratique : Pour comparer \(f\) et \(g\), on étudie le signe de la différence \(f(x) – g(x)\).

📌 Exemple : Soit \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=x\) sur \(\mathbb{R}\). \(f(x)-g(x) = x^2 – x = x(x-1)\). Étude du signe : \(x(x-1) \ge 0\) sur \(]-\infty;0] \cup [1;+\infty[\). • Sur \(]-\infty;0] \cup [1;+\infty[\) : \(f(x)-g(x) \ge 0\) ⇒ \(f \ge g\) ⇒ \((C_f)\) au-dessus de \((C_g)\). • Sur \([0;1]\) : \(f(x)-g(x) \le 0\) ⇒ \(f \le g\) ⇒ \((C_f)\) en dessous de \((C_g)\). • En \(x=0\) et \(x=1\) : \(f(x)=g(x)\) ⇒ les courbes se coupent.

VII

Image d’un intervalle par une fonction

Définition : L’image de l’intervalle \(I\) par la fonction \(f\) est l’ensemble :

\(f(I) = \{ f(x) \mid x \in I \}\)

Propriétés (selon la monotonie) :

Si \(f\) est croissante sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [f(a); f(b)]\).
Si \(f\) est décroissante sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [f(b); f(a)]\).
Si \(f\) change de monotonie sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [m; M]\) où \(m\) est le minimum et \(M\) le maximum de \(f\) sur \([a;b]\).
Pour les intervalles ouverts ou semi-ouverts, il faut adapter (bornes ouvertes si les extremums ne sont pas atteints).

📌 Exemple : Soit \(f(x) = x^2\) sur \([-2;3]\). • \(f\) est décroissante sur \([-2;0]\) et croissante sur \([0;3]\). • Minimum : \(f(0) = 0\). Maximum : \(f(-2) = 4\) et \(f(3) = 9\) ⇒ maximum = \(9\). • Donc \(f([-2;3]) = [0;9]\). Remarque : Sur \([-2;0]\), \(f([-2;0]) = [f(0); f(-2)] = [0;4]\). Sur \([0;3]\), \(f([0;3]) = [f(0); f(3)] = [0;9]\). La réunion donne bien \([0;9]\).

VIII

Composée de deux fonctions

1) Définition de la composée \(g \circ f\)

Soient \(f\) une fonction définie sur \(D_f\) et \(g\) une fonction définie sur \(D_g\). Si \(f(x) \in D_g\) pour tout \(x\) d’une partie de \(D_f\), alors on peut définir la fonction composée \(g \circ f\) (lire « g rond f ») par :

\((g \circ f)(x) = g(f(x))\)

Domaine de définition :

\(D_{g \circ f} = \{ x \in D_f \mid f(x) \in D_g \}\)

Remarque importante : En général, \(g \circ f \neq f \circ g\). L’ordre compte !

2) Monotonie de la composée

Propriété fondamentale : Soient \(f : I \to J\) et \(g : J \to \mathbb{R}\) (avec \(f(I) \subset J\)).

Si \(f\) et \(g\) ont le même sens de variation (toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes) sur \(I\) et \(J\), alors \(g \circ f\) est croissante sur \(I\).
Si \(f\) et \(g\) ont des sens de variation contraires (l’une croissante, l’autre décroissante), alors \(g \circ f\) est décroissante sur \(I\).

Justification intuitive : Si \(x_1 < x_2\), alors \(f(x_1) < f(x_2)\) (si \(f\) croît). Ensuite, si \(g\) croît, alors \(g(f(x_1)) < g(f(x_2))\) ; si \(g\) décroît, alors \(g(f(x_1)) > g(f(x_2))\).

📌 Exemple : Soit \(h(x) = \sqrt{x^2+1}\). On peut écrire \(h = g \circ f\) avec \(f(x)=x^2+1\) et \(g(x)=\sqrt{x}\). • \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\) et croissante sur \([0;+\infty[\). • \(g\) est croissante sur \([1;+\infty[\) (car \(f(x) \ge 1\)). • Sur \(]-\infty;0]\) : \(f\) décroît, \(g\) croît ⇒ sens contraires ⇒ \(h\) est décroissante. • Sur \([0;+\infty[\) : \(f\) croît, \(g\) croît ⇒ même sens ⇒ \(h\) est croissante. • On retrouve bien le comportement de la fonction \(|x|\) (car \(\sqrt{x^2}=|x|\)).

Fonctions \(x \mapsto ax^3\) et \(x \mapsto \sqrt{x+a}\)

1) Fonction cube : \(f(x) = ax^3\) (a ≠ 0)

Parité : \(f(-x) = a(-x)^3 = -ax^3 = -f(x)\) ⇒ \(f\) est impaire. La courbe est symétrique par rapport à l’origine. Monotonie :

Si \(a > 0\) : \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) (car la fonction cube est croissante et multiplier par un positif conserve l’ordre).
Si \(a < 0\) : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) (multiplier par un négatif inverse l’ordre).

2) Fonction racine carrée translatée : \(f(x) = \sqrt{x+a}\)

Domaine de définition : \(x+a \ge 0\) ⇒ \(x \ge -a\) ⇒ \(D_f = [-a; +\infty[\). Monotonie : La fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0;+\infty[\). La translation \(x \mapsto x+a\) est aussi croissante. La composée de deux fonctions croissantes est croissante. Donc \(f\) est strictement croissante sur \([-a;+\infty[\).

📌 Exemples : • \(f(x) = 2x^3\) : \(a=2>0\) ⇒ croissante sur \(\mathbb{R}\). • \(f(x) = -4x^3\) : \(a=-4<0\) ⇒ décroissante sur \(\mathbb{R}\). • \(f(x) = \sqrt{x-3}\) : \(D_f = [3;+\infty[\), croissante sur \([3;+\infty[\). • \(f(x) = \sqrt{x+2}\) : \(D_f = [-2;+\infty[\), croissante sur \([-2;+\infty[\).

📌 Synthèse du chapitre

Ce cours détaillé couvre l’intégralité des généralités sur les fonctions au programme de la première bac sciences expérimentales : • Définitions de base : image, antécédent, ensemble de définition. • Étude qualitative : parité, monotonie (taux d’accroissement), extremums, majoration/minoration, périodicité. • Relations entre fonctions : égalité, comparaison, image d’un intervalle. • Opérations avancées : composition de fonctions (domaine et monotonie). • Fonctions de référence : cube (\(ax^3\)) et racine carrée translatée (\(\sqrt{x+a}\)). La maîtrise de ces concepts est indispensable pour aborder l’étude des fonctions et la résolution graphique d’équations et d’inéquations.

Généralités sur les fonctions – Cours 1Bac