Inégalité triangulaire et médiatrice 1AC exercices corrigés

Exercice 1:

Dans chaque cas, dire s’il est possible de construire un triangle $A B C$ .

1. $A B = 9 cm, B C = 5 cm, A C = 1 cm$ .

2. $A B = 6, 5 cm, B C = 7 cm, A C = 5 cm$ .

3. $A B = 3, 7 cm, B C = 2, 3 cm, A C = 6 cm$ .

1. $B C + A C = 5 cm + 1 cm = 6 cm$
$A B = 9 cm$
Donc $B C + A C < A B$ . On ne peut pas construire le triangle.

2. $A B + A C = 6, 5 cm + 5 cm = 11, 5 cm$
$B C = 7 cm$
Donc $A B + A C > B C$ . On peut construire le triangle $A B C$ .

3. $A B + B C = 3, 7 cm + 2, 3 cm = 6 cm$
$A C = 6 cm$
Donc $A B + B C = A C$ . Les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

Exercice 2:

1. Tracer un segment $[A B]$ de longueur 8 cm .

2. Lire ce dialogue. Qui a raison? Expliquer.

Correction de l’exercice 2

$A E + B E = 3, 4 cm + 5 cm = 8, 4 cm$
$A B = 8 cm$
Donc $A E + B E > A B$ . On peut donc construire le triangle $A B E$ et placer le point $E$ à deux endroits différents. Sofiane a raison.

Exercice 3:

Ali souhaite construire un enclos triangulaire dont un côté mesure $8 m$ . Pour cela, il achète $15 m$ de fil de fer. Que peut-on en penser?

Correction de l’exercice 3

La somme des longueurs des deux autres côtés du triangle sera égale à $7 m$ . Or $7 m < 8 m$ , donc Léo ne pourra pas construire cet enclos triangulaire. Il doit acheter davantage de fil.

Exercice 4:

Tracer un triangle ABC tel que

$A B = 11 c m$ $E G = 8 c m$ et $F G = 6 c m$

Tracer les médiatrices des côtés du triangle.

Correction de l’exercice 4

Exercice 5:

$A B C$ est un triangle
$(d 1)$ est la médiatrice de $[A B]$
$(d 2)$ est la médiatrice de $[B C]$
Les deux médiatrices $(d 1)$ et $(d 2)$ se coupent en $O$ .
$(d 3)$ est la médiatrice de $[A C]$

1) Démontrer que le point $O$ appartient aussi à $(d 3)$

2) Recopier et compléter la propriété suivante (importante à retenir)

Les trois médiatrices d’un triangle sont …

Le point de concours des trois médiatrices est le … d’un cercle qui passe par les … du triangle.

Ce cercle est appelé …..au triangle.

Correction de l’exercice 5

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors ce point est à égale distances des extrémités de ce segment.

Le point O appartient à la médiatrice de $[A B]$
Donc $OA = OB$

Le point O appartient à la médiatrice de $[B C]$
Donc $OB = OC$

Si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
$O A = O C$
Donc Le point $O$ appartient à la médiatrice de $[A C]$

2) Propriété
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.

Le point de concours des trois médiatrices est le centre d’un cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle.

Exercice 6:

$A B C$ et un triangle tels que $B C = 7 c m, A C = 4 c m e t A B = 6 c m$

La médiatrice $(Δ)$ de $[B C]$ coupe la droite $(A B)$ en $M$ .

Soit le point $N$ le projeté orthogonal de point A sur la droite $(B C)$

1) Faire une figure.

2) Montrer que $M B C$ est un triangle Isocèle.

3) Calculer $A M + M C$

4) Montrer que $(Δ) / / (A N)$

Correction de l’exercice 6

2) Puisque $(Δ)$ est la médiatrice du segment $[B C]$ et $M \in (Δ)$

Alors : $M C = M B$

Donc le triangle MBC est isocèle.

3) $A M + M C = A B - M B + M C = A B$ car $(M C = M B)$

Donc : $A M + M C = 6 c m$

4) Puisque $(Δ)$ est la médiatrice du segment $[B C]$ alors $(Δ) ⊥ (B C)$

Aussi on a : le point $N$ le projeté orthogonal de point A sur la droite $(B C)$ alors $(A N) ⊥ (B C)$

Donc : $(Δ) / / (A N)$

Exercice 7:

1) Tracer un cercle $(C)$ de centre $O$ et de Rayon $4 c m$ .

– Placer deux point $A$ et $B$ sur le cercle $(C)$ tel que $A B = 6 c m$

– Tracer la corde $[A B]$

– Placer le point $M$ milieu de $[A B]$

2) Montrer que $(O M)$ est La médiatrice du segment $[A B]$ ?

Correction de l’exercice 7

2) Le point $M$ est le milieu du segment $[A B]$

Et : $A O = B O$ car c’est le rayon

Donc d’après la propriété réciproque la droite $(O M)$ est La médiatrice du segment $[A B]$

Exercice 8:

Tracer un cercle $(C)$ de centre $O$ et de Rayon $4 c m$ .

Soit $[B P]$ un diamètre de $(C)$ .

La médiatrice de $[O B]$ coupe $[O B]$ en $N$ et le cercle $(C)$ en $E$ et $F$ .

$(Δ)$ est la médiatrice de $[O N]$ coupe $[O N]$ en $I$ .

1) Faire une figure.

2) Montrer que $(Δ) / / (E F)$

3) Calculer $B I$

4) Montrer que $P E = P F$

Correction de l’exercice 8

2) Montrer que $(Δ) / / (E F)$

$(E F)$ est la médiatrice de $[O B]$ , alors : $(E F) ⊥ (O B)$

$(Δ)$ est la médiatrice de $[O N]$ , alors : $(Δ) ⊥ (O B)$

Donc : $(Δ) / / (E F)$

” Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. “

3) Calculer $B I$

On a : $B I = B N + N I$

$B N = \frac{B O}{2} = 2 c m$ et $N I = \frac{O N}{2} = \frac{B N}{2} = 1 c m$

Donc : $B I = 2 c m + 1 c m = 3 c m$

4) Montrer que $P E = P F$

Le point $N$ milieu de $[A B]$

Puisque : $O E = O F$ (le rayon)

Et : $(E F) ⊥ (O B)$

Donc d’après la propriété réciproque la droite $(O B)$ est La médiatrice du segment $[E F]$

Et puisque : $P \in (O B)$ alors : $P E = P F$